函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開

§1.函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開

2021/5/9

一.傅里葉級數(shù)的引進在物理學(xué)中,我們已經(jīng)知道最簡單的波是諧波(正弦波),它是形如的波,其中是振幅,是角頻率,是初相位.其他的波如矩形波,鋸形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來.這就是說,設(shè)是一個周期為的波,在一定條件下可以把它寫成其中是階諧波,我們稱上式右端的級數(shù)是由所確定的傅里葉級數(shù)2021/5/9二.三角函數(shù)的正交性設(shè)是任意實數(shù),是長度為的區(qū)間,由于三角函數(shù)是周期為的函數(shù),經(jīng)過簡單計算,有利用積化和差的三角公式容易證明還有2021/5/9我們考察三角函數(shù)系其中每一個函數(shù)在長為的區(qū)間上定義，其中任何兩個不同的函數(shù)乘積沿區(qū)間上的積分等零，而每個函數(shù)自身平方的積分非零。我們稱這個函數(shù)系在長為的區(qū)間上具有正交性。2021/5/9三、傅里葉系數(shù)設(shè)函數(shù)已展開為全區(qū)間設(shè)的一致收斂的三角級數(shù)現(xiàn)在利用三角函數(shù)系數(shù)的正交性來研究系數(shù)與的關(guān)系。將上述展開式沿區(qū)間積分，右邊級數(shù)可以逐項積分，由得到即又設(shè)是任一正整數(shù)，對的展開式兩邊乘以沿積分，由假定，右邊可以逐項積分，由和，得到2021/5/9即同樣可得因此得到歐拉-傅里葉公式2021/5/9自然，這些系數(shù)也可以沿別的長度為的區(qū)間來積分。以上是在已展開為一致收斂的三角級數(shù)的假定下得到系數(shù)的表達式的。然而從歐拉-傅里葉公式的形式上看，只要周期為的函數(shù)在區(qū)間上可積和絕對可積（如果式有界函數(shù)，則假定它是可積的。這時它一定式絕對可積的；如果是無界函數(shù)，就假定他是絕對可積，因而也是可積的，這樣，不論在哪一種情形，都是可積和絕對可積了），就可以按歐拉-傅里葉公式來確定所有的數(shù)，從而作出三角級數(shù)2021/5/9我們稱這級數(shù)是關(guān)于三角函數(shù)系的傅里葉級數(shù)，而稱為的傅里葉系數(shù)，記為2021/5/9四、收斂判別法

傅里葉級數(shù)的收斂判別法。設(shè)函數(shù)在上可積和絕對可積若在點的左右極限和都存在，并且兩個廣義單側(cè)導(dǎo)數(shù)都存在，則的傅里葉級數(shù)在點收斂。當(dāng)是的連續(xù)點時它收斂與，當(dāng)是的間斷點（一定是第一類間斷點）時收斂于2021/5/9例1在上展開函數(shù)為傅里葉級數(shù)。例2在上展開函數(shù)為傅里葉級數(shù)。例3在上展開為傅里葉級數(shù)。2021/5/9例4將在上展開為余弦級數(shù)。例5將以下函數(shù)展開為正弦級數(shù)2021/5/9五、傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式傅里葉級數(shù)的階諧波可以用復(fù)數(shù)形式表示。由歐拉公式得如果記那么上面的傅里葉級數(shù)就化成一個簡潔的形式2021/5/9這就是傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式，為復(fù)振幅，與是一對共軛復(fù)數(shù)2021/5/9六、收斂判別法的證明

1、狄利克雷積分

為了研究傅里葉級數(shù)的收斂性問題，我們必須把傅里葉級數(shù)的部分和表示為一個特定形式的反常積分——狄利克雷積分。設(shè)在上可積和絕對可積，它的傅里葉級數(shù)為其中2021/5/9傅里葉級數(shù)的部分和由三角公式當(dāng)，有公式2021/5/9當(dāng)時把右邊理解為時的極限值，值一等式也就成立。把它應(yīng)用到的表達式中，得到經(jīng)過驗證知道，被積函數(shù)是的周期為的函數(shù)，可以把積分區(qū)間換為，因此作代換，得2021/5/9上面的幾種積分表達式都稱為狄利克雷積分。2021/5/92、黎曼引理

黎曼引理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可積和絕對可積，那么以下的極限式成立局部性定理函數(shù)的傅里葉級數(shù)在點的收斂和發(fā)散情況，只和在這一點的充分領(lǐng)近區(qū)域的值有關(guān)。2021/5/93、迪尼判別法及其推論迪尼定理（迪尼判別法）設(shè)能取到適當(dāng)，使由函數(shù)以及點所作出的滿足條件：對某正數(shù)，使在上，為可積和絕對可積，那么的傅里葉級數(shù)在點收于。利普希茨判別法（地理判別法的一個推論）如果函數(shù)在點連續(xù)，并且對于充分小的正數(shù)在點的利普希茨條件成立，其中皆是正數(shù)，且，那么的傅里葉級數(shù)在點收斂于，更一般地，如果對于充分小的成立2021/5/9

同前，那么的傅里葉級數(shù)在點收斂于一個重要推論

如果在點有有限導(dǎo)數(shù)，或是有兩個單側(cè)的有限導(dǎo)數(shù)2021/5/9甚至只是有更一般的有限導(dǎo)數(shù)那么的傅里葉級數(shù)在點收斂于或因為這時對于函數(shù)在點的的利普希茨條件是成立的。2021/5/9七、傅里葉級數(shù)的性質(zhì)一、一致收斂性

1設(shè)周期為的可積和絕對可積函數(shù)在比更寬的區(qū)間上有有限導(dǎo)數(shù)，那么的傅里葉級數(shù)在區(qū)間上一致收斂于。

2設(shè)周期為的可積和絕對可積函數(shù)在比更寬的區(qū)間上連續(xù)且為分段單調(diào)函數(shù)，那么的傅里葉級數(shù)在區(qū)間上一致收斂于。2021/5/9二，傅里葉級數(shù)的逐項求積和逐項求導(dǎo)

設(shè)是上分段連續(xù)函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)是我們并不假定右端級數(shù)的和是甚至也不假定它收斂，然而它卻可以逐項積分，設(shè)和是上任意兩點，則有三，最佳平方平均逼近設(shè)是任意一個次三角多項式2021/5/9其中