高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-運用分類討論法解三角函數(shù)問題運用分類討論法解復(fù)數(shù)、平面向量問題解析

文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除第61講運用分類討論法解三角函數(shù)問題在研究三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)過程中,在處理解三角形題型時,都需要運用分類與整合的思想方法.典型例題【例1】若函數(shù)的圖像經(jīng)過點和,且當(dāng)時,恒成立,則實數(shù)的取值范圍是____________.【分析】由的圖像經(jīng)過和兩點的條件消去和,使原函數(shù)含有單參數(shù),在后續(xù)的解題過程中必須對的取值分類討論.【解析】經(jīng)過點和,故.①當(dāng)時,.∴,要使恒成立,只要.即,又,從而;(2)當(dāng)時,;(3)當(dāng)時,.∴,要使恒成立,只要.解得,又,從而.綜上所述，的取值范圍為.【例2】已知.若,且在上為減函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求實數(shù)和角的值.【分析】在研究三角函數(shù)的性質(zhì)時，當(dāng)A的正負(fù)未定時，則必須對A的正、負(fù)進行分類討論.【解析】(1)顯然的最小正周期為.(2)若在上為減函數(shù),且的最大值為2.即,此時.若,同理,此時.綜上所述或【例3】如圖11-1所示,有一塊等腰三角形形狀的空地ABC,腰CA的長為3,底AB的長為4,現(xiàn)決定在該空地內(nèi)內(nèi)一條筆直的小路EF(寬度不計),將該空地分成一個四邊形和一個三角形,設(shè)分成的四邊形和三角形的周長相等,面積分別為和.(1)若小路一端為的中點,求此時小路的長度;(2)求的最小值.【分析】本例引起分類討論的是小路端點E,F的位置，位置的可能性以及位置不同導(dǎo)致結(jié)論的變化.【解析】（1）先確定點的位置.①若點在上(如圖中位置).設(shè),則,即,得(舍去),故點不在上.②若點在上(如圖中位置,設(shè),則,即,得,此時,于是在中,,得.故若小路一端為的中點,此時小路的長度為.（2）分情況討論點的位置.(1)若小路的端點都在兩腰上如圖所示),設(shè),則,即,得,（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）(2)若小路的端點分別在一腰(不妨設(shè)在腰上)和底邊上(如圖所示,設(shè),由,即,得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)綜上所述,的最小值為.【例4】如圖11-5所示，半圓O的直徑為2,點A為直徑延長線上的一一點,OA=2,點B為半圓上任意一點,以AB為邊向半圓外作等邊三角形ABC.(1)求四邊形OACB的面積的最大值;(2)求線段OC長的最大值.【分析】求解時，若設(shè)∠AOB=a,則必須對a為銳角、鈍角、直角的情況分類討論，如圖11-6所示.【解析】(1)設(shè),則,在中,于是又當(dāng)即時，取到最大值,(2)設(shè).①若為銳角,見圖,則且若為鈍角,見圖,則,且②若為直角,見圖,則仍有.于是在中,∵當(dāng),即時,取得最大值.第62講運用分類討論法解復(fù)數(shù)、平面向量問題在討論兩個復(fù)數(shù)集關(guān)系時,涉及參數(shù),就需要分類討論，復(fù)數(shù)集內(nèi)解一元二次方程,必須按判別式分類求解,運用平面向量研究幾何圖形的性質(zhì)也常常需要對圖形的某元素的變化分類與整合.典型例題【例1】設(shè)是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根,求(用含的解析式表示).【分析】在復(fù)數(shù)集內(nèi)解一元二次方程,必須對,分類求解，在去掉絕對值號時又需進一步對a的取值進行分類討論.【解析】若,即或.此時.由得或,當(dāng)或時,當(dāng)時若,即,此時,為一對共軛虛根.綜上所述,【例2】設(shè)兩復(fù)數(shù)集,.(1)若,求實數(shù)的取值范圍;(2)當(dāng)實數(shù)在(1)中變化時,進一步討論集合的元素個數(shù),并當(dāng)取定值時,求;(3)本題的幾何意義是什么?【分析】第(1)問,M∩N≠0,即兩集合有公共元素，利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件,消去m,即可得λ關(guān)于的三角函數(shù),進而求值域.第(2)問，可通過函數(shù)與方程的思想方法結(jié)合方程根的情況進行分類討論,分類要全面,防止遺漏.第(3)問，求出集合M,集合N在復(fù)平面上的點的軌跡,把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題,其中集合N對應(yīng)的軌跡含參數(shù)入，當(dāng)λ變化時，該曲線在運動，從而本題探求的是兩曲線相交的不同情況.本例涉及函數(shù)與方程、分類與整合、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)思想，是一道既具新穎性又具典型性的好題.【解析】(1)由,得.∴,消去,得由,得.(2)由,令,考慮.①當(dāng),此時,,而.此時集合有2個元素.②當(dāng).此時,在內(nèi)有一解,而有兩解.此時集合有兩個元素.③當(dāng),此時有,即,∴舍∴,此時有1個元素.④當(dāng).此時有,即,∴,當(dāng)時,;當(dāng)時,.∴⑤當(dāng)此時有4個元素.（3）令知,集合在復(fù)平面上的點的軌跡為拋物線,集合在復(fù)平面上的點的軌跡為橢圓.故本題討論的是,當(dāng)變化時,橢圓上下移動與拋物線相交的不同情況.【例3】已知,求為等腰直角三角形的充要條件.【分析】直角頂點未明確，必須對哪一角為直角進行分類討論.【解析】①當(dāng)時,為等腰直角三角形.此時且解得.②當(dāng)時,為等腰直角三角形.此時,且,,且解得或③當(dāng),CA=CB時,△ABC為等腰直角三角形.此時且,且,解得或綜上所述,為等腰直角三角形的充要條件是或或或或【例4】在中,,點.(1)若,且能構(gòu)成直角三角形,求點的坐標(biāo);(2)軸上是否存在點滿足?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.【分析】第(1)問,必須對中哪一個角是直角進行分類討論,即使某角不可能是直角,也應(yīng)當(dāng)說明理由