【DOC】-單個正態(tài)總體的假設檢驗

單個正態(tài)總體的假設檢驗

第二節(jié)單個正態(tài)總體的假設檢驗

1.單個正態(tài)總體數學期望的假設檢驗

2（1）σ已知關于μ的假設檢驗（Z檢驗法(Z-test)）

設總體X~N（μ，σ），方差σ已知，檢驗假設

H0：μ=μ0；H1：μ≠μ

由

X~N（μ，022(μ0為已知常數）

n）

N（0，1），

我們選取

Z

（8.2）

作為此假設檢驗的統(tǒng)計量，顯然當假設H0為真（即μ=μ0正確）時，Z~N（0，1），所以對于給定的顯著性水平α，可求zα/2使

P{｜Z｜＞zα/2}=α，

見圖8-1，即

P{Z＜-zα/2}+P{Z＞zα/2}=α.

從而有

P{Z＞zα/2}=α/2，

P{Z≤zα/2}=1-α/2.

圖8-1

利用概率1-α/2，反查標準正態(tài)分布函數表，得雙側α分位點（即臨界值）zα/2.另一方面，利用樣本觀察值x1，x2，?，xn計算統(tǒng)計量Z的觀察值

z0

.（8.3）

如果：（a）｜z0｜＞zα/2，則在顯著性水平α下，拒絕原假設H0（接受備擇假設H1），所以｜z0｜＞zα/2便是H0的拒絕域.

（b）｜z0｜≤zα/2，則在顯著性水平α下，接受原假設H0，認為H0正確.

這里我們是利用H0為真時服從N（0，1）分布的統(tǒng)計量Z來確定拒絕域的，這種檢驗法稱為Z檢驗法（或稱U檢驗法）.例8.1中所用的方法就是Z檢驗法.為了熟悉這類假設檢驗的具體作法，現在我們再舉一例.

例8.2根據長期經驗和資料的分析，某磚廠生產的磚的“抗斷強度”X服從正態(tài)分布，方差σ2=1.21.從該廠產品中隨機抽取6塊，測得抗斷強度如下（單位：kg2cm-2）：32.5629.6631.6430.0031.8731.03

-2檢驗這批磚的平均抗斷強度為32.50kg2cm是否成立（取α=0.05，并假設磚的抗斷強度的

方差不會有什么變化）？

解①提出假設H0：μ=μ0=32.50；H1：μ≠μ0.

②選取統(tǒng)計量

1

Z

=X，

若H0為真，則Z~N（0，1）.

③對給定的顯著性水平α=0.05，求zα/2使

P{｜Z｜＞zα/2}=α，

這里zσ/2=z0.025=1.96.

④計算統(tǒng)計量Z的觀察值：

｜z0｜

-2≈3.05.⑤判斷：由于｜z0｜=3.05＞z0.025=1.96，所以在顯著性水平α=0.05下否定H0，即不能認為這批產品的平均抗斷強度是32.50kg2cm.

把上面的檢驗過程加以概括，得到了關于方差已知的正態(tài)總體期望值μ的檢驗步驟：（a）提出待檢驗的假設H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.

（b）構造統(tǒng)計量Z，并計算其觀察值z0：

Z

，z0

.

（c）對給定的顯著性水平α，根據

P{｜Z｜＞zα/2}=α，P{Z＞zα/2}=α/2，P{Z≤zα/2}=1-α/2

查標準正態(tài)分布表，得雙側α分位點zα/2.

（d）作出判斷：根據H0的拒絕域

若｜z0｜＞zα/2，則拒絕H0，接受H1；

若｜z0｜≤zα/2，則接受H0.

（2）方差σ2未知，檢驗μ（t檢驗法(t-test)）

設總體X~N（μ，σ2），方差σ2未知，檢驗

H0：μ=μ0；H1：μ≠μ0.

由于σ2

便不是統(tǒng)計量，這時我們自然想到用σ2的無偏估計量——樣本

方差S2代替σ2，由于

~t（n-1），

故選取樣本的函數

t

（8.4）

圖8-2

作為統(tǒng)計量，當H0為真（μ=μ0）時t~t（n-1），對給定的檢驗顯著性水平α，由

P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α，

P{t＞tα/2（n-1）}=α/2，

見圖8-2，直接查t分布表，得t分布分位點tα/2（n-1）

.

2

利用樣本觀察值，計算統(tǒng)計量t的觀察值

t0

因而原假設H0的拒絕域為

｜t0｜

，＞tα/2（n-1）.（8.5）

所以，若｜t0｜＞tα/2（n-1），則拒絕H0，接受H1；若｜t0｜≤tα/2（n-1），則接受原假設H0.

上述利用t統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t檢驗法.

在實際中，正態(tài)總體的方差常為未知，所以我們常用t檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的問題.

例8.3用某儀器間接測量溫度，重復5次，所得的數據是1250°,1265°，1245°，1260°，1275°，而用別的精確辦法測得溫度為1277°(可看作溫度的真值），試問此儀器間接測量有無系統(tǒng)偏差？

這里假設測量值X服從N（μ，σ2）分布.

解問題是要檢驗

H0：μ=μ0=1277；H1：μ≠μ0.

由于σ2未知（即儀器的精度不知道），我們選取統(tǒng)計量

t

當H0為真時，t~t（n-1），t的觀察值為

｜t0｜

18

5.399.＞3.

對于給定的檢驗水平α=0.05，由

P{｜t｜＞tα/2（n-1）}=α，

P{t＞tα/2（n-1）}=α/2，

P{t＞t0.025(4)}=0.025，

查t分布表得雙側α分位點

tα/2（n-1）=t0.025(4)=2.776.

因為｜t0｜＞3＞t0.025(4)=2.776，故應拒絕H0，認為該儀器間接測量有系統(tǒng)偏差.

（3）雙邊檢驗與單邊檢驗

上面討論的假設檢驗中，H0為μ=μ0，而備擇假設H1：μ≠μ0意思是μ可能大于μ0，也可能小于μ0，稱為雙邊備擇假設，而稱形如H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0的假設檢驗為雙邊檢驗.有時我們只關心總體均值是否增大，例如，試驗新工藝以提高材料的強度，這時所考慮的總體的均值應該越大越好，如果我們能判斷在新工藝下總體均值較以往正常生產的大，則可考慮采用新工藝.此時，我們需要檢驗假設

H0：μ=μ0；H1：μ＞μ0.（8.6）

（我們在這里作了不言而喻的假定，即新工藝不可能比舊的更差），形如（8.6）的假設檢驗，稱為右邊檢驗，類似地，有時我們需要檢驗假設

H0：μ=μ0；H1：μ＜μ0.（8.7）

形如（8.7）的假設檢驗，稱為左邊檢驗，右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗.

3

下面來討論單邊檢驗的拒絕域.

設總體X~N（μ，σ），σ為已知，x1，x2，?，xn是來自X的樣本觀察值.給定顯著性水平α，我們先求檢驗問題

H0：μ=μ0；H1：μ＞μ0.

的拒絕域.

取檢驗統(tǒng)計量Z

X2

2

，當H0為真時，Z不應太大，而在H1為真時，由于X是μ的

無偏估計，當μ偏大時，X也偏大，從而Z往往偏大，因此拒絕域的形式為

Z

≥k，k待定.

因為當H0

X~N（0，1），由

P{拒絕H0｜H0為真}=

P得k=zα，故拒絕域為

Z

類似地，左邊檢驗問題

X

k=α

≥zα.（8.8）

H0：μ=μ0；H1：μ＜μ0.

的拒絕域為

Z

X≤-zα.8.9）

例8.4從甲地發(fā)送一個信號到乙地，設發(fā)送的信號值為μ，由于信號傳送時有噪聲迭

加到信號上，這個噪聲是隨機的，它服從正態(tài)分布N（0，22），從而乙地接到的信號值是一個服從正態(tài)分布N（μ，2）的隨機變量.設甲地發(fā)送某信號5次，乙地收到的信號值為：8.410.59.19.69.9

由以往經驗，信號值為8，于是乙方猜測甲地發(fā)送的信號值為8，能否接受這種猜測？取α=0.05.

解按題意需檢驗假設

H0：μ=8；H1：μ＞8.這是右邊檢驗問題，其拒絕域如（8.8）式所示，即Z

=而現在

z0

X2

≥z0.05=1.645.

=1.68＞1.645，

所以拒絕H0，認為發(fā)出的信號值μ＞8.

2.單個正態(tài)總體方差的假設檢驗（2檢驗法(2-test)）（1）雙邊檢驗

設總體X~N（μ，σ2），μ未知，檢驗假設

H0：σ=σ

其中σ

02

2

02

；H1：σ≠σ

2

2

.

為已知常數.

2

2

由于樣本方差S是σ的無偏估計，當H0為真時，比值

S

22

0

一般來說應在1附近擺動，而不應過分大于1或過分小

于1，由第六章知當H0為真時

=

2

(n1)S

2

0

2

~2（n-1）.（8.10）

所以對于給定的顯著性水平α有（圖8-3）

圖8-3

P{1/2（n-1）≤2≤/2（n-1）}=1-α.（8.11）

對于給定的α，查2分布表可求得2分布分位點1/2（n-1）與/2（n-1）.

由（8.11）知，H0的接受域是

1/2(n-1)≤2≤/2(n-1)；(8.12)

2

2

2

2

2

2

H0的拒絕域為

22

＜1/2（n-1）或＞/2（n-1）.（8.13）

2

2

這種用服從2分布的統(tǒng)計量對個單正態(tài)總體方差進行假設檢驗的方法，稱為2檢驗法.例8.5某廠生產的某種型號的電池，其壽命長期以來服從方差σ2=5000（小時2）的正態(tài)分布，現有一批這種電池，從它的生產情況來看，壽命的波動性有所改變，現隨機抽取26只電池，測得其壽命的樣本方差s2=9200（小時2）.問根據這一數據能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往有顯著的變化（取α=0.02)?

解本題要求在α=0.02下檢驗假設

H0：σ2=5000；H1：σ2≠5000.

現在n=26，

/2（n-1）=0.01(25)=44.314，1/2(n-1)=0.99(25)=11.524,

2

2

2

2

σ02=5000.

由（8.13）拒絕域為

(n1)s

2

0

2

＞

44.314

或

(n1)s

2

0

2

＜11.524

由觀察值s=9200得

2

(n1)s

2

0

2

=46＞44.314,所以拒絕H0，認為這批電池壽命的波動性較以往

有顯著的變化.

（2）單邊檢驗（右檢驗或左檢驗）

設總體X~N（μ，σ2），μ未知，檢驗假設

H0：σ≤σ0；H1：σ＞σ0.（右檢驗）

由于X~N（μ，σ），故隨機變量

*2

2222

2

=

(n1)S

2

2

~2（n-1）.

當H0為真時，統(tǒng)計量

=

2

(n1)S

2

0

2

≤*2.

對于顯著性水平α，有

P{*2＞（n-1）}=α

圖8-4

（圖8-4）.于是有

P{2＞（n-1）}≤P{*2＞（n-1）}=α.

可見，當α很小時，{2＞（n-1）}是小概率事件，在一次的抽樣中認為不可能發(fā)生，所以H0的拒絕域是：

=

2

22

2

2

(n1)S

2

0

2

＞（n-1）（右檢驗）.（8.14）

222

0，H1：σ＜σ0的拒絕域為

2

類似地，可得左檢驗假設H0：σ2≥σ

2

2

＜1（n-1）（左檢驗）.(8.15)

例8.6今進行某項工藝革新，從革新后的產品中抽取25個零件，測量其直徑，計算

得樣本方差為s2=0.00066，已知革新前零件直徑的方差σ2=0.0012，設零件直徑服從正態(tài)分布，問革新后生產的零件直徑的方差是否顯著減??？（α=0.05)

解(1）提出假設H0：σ2≥σ02=0.0012；H1：σ2<σ02.

(2)選取統(tǒng)計量

=

2

2

(n1)S

0

2

.

*2

=

(n1)S

2

2

~2（n-1），且當H0為真時，*2≤2

(3）對于顯著性水平α=0.05，查2分布表得

22

1（n-1）=0.95(24)=13.848，

當H0為真時，

P{2<1

故拒絕域為

22

<1(n-1)=13.848.2

(n1)S22

(n1)(n-1)}≤P=α.12

(4)根據樣本觀察值計算2的觀察值

2

=

(n1)s

2

0

2

240.000660.0012

=13.2.

(5)作判斷：