2023學(xué)年完整公開課版三角形

三角形（1）

----三角形的基本概念觀察

觀察下圖，找一找圖中的三角形，并把它們勾畫出來.你還能舉出一些實例嗎？定義：由不在同一直線上的三條線段首尾相接所構(gòu)成的封閉圖形叫作三角形.三角形可用符號“△”來表示，如圖中的三角形可記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”.其中，點A，B，C叫作△ABC的頂點；∠A，∠B，∠C叫作△ABC的內(nèi)角（簡稱△ABC的角）；線段AB，BC，CA叫作△ABC的邊.通?！螦，∠B，∠C的對邊BC，AC，AB可分別用a，b，c來表示.ABCabc

三角形中，有的三邊各不相等，有的兩邊相等，有的三邊都相等.

兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.在等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰，

另外一邊叫作底邊，

兩腰的夾角叫作頂角，腰和底邊的夾角叫作底角.腰腰底邊頂角底角底角

三邊都相等的三角形叫作等邊三角形（或正三角形）。

等邊三角形是特殊的等腰三角形——腰和底邊相等的等腰三角形。

在一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊的長度之間有怎樣的大小關(guān)系？為什么？動腦筋

在△ABC中，BC是連接B，C兩點的一條線段，由基本事實“兩點之間線段最短”可得

AB+AC>BC。同理可得AB+BC>AC，AC+BC>AB

。結(jié)論1三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差的絕對值小于第三邊。三角形的三邊關(guān)系：做一做

有三根木棒，其長度分別為2cm，3cm，6cm，它們能否首尾相接構(gòu)成一個三角形？

判斷方法：把較小的兩個數(shù)加起來，如果大于最大的數(shù)就能圍成三角形；如果等于或小于最大的數(shù)就不能圍成三角形。例1如圖，D是△ABC的邊AC上一點，AD=BD，試判斷AC與BC的大小。解：在△BDC中，有BD+DC>BC（三角形的任意兩邊之和大于第三邊）.又AD=BD，則BD+DC=AD+DC=AC，所以AC>BC.課堂練習(xí)1、（1）如圖，圖中有幾個三角形？把它們分別表示出來.答：五個三角形.（2）如圖，在△DBC中，寫出∠D的對邊，BD邊的對角.答：∠D的對邊是BC，

BD邊的對角是∠BCD.2、三根長分別為2cm，5cm，6cm的小木棒能首尾相接構(gòu)成一個三角形嗎？答：能。隨堂練習(xí)：參見練習(xí)冊。三角形（2）

-----三角形的三線

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高線，簡稱三角形的高。

如圖，AH⊥BC，垂足為點H，則線段AH是△ABC的BC邊上的高。如圖，試畫出圖中△ABC的BC邊上的高。做一做D

在三角形中，一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線。

如圖，∠BAD=∠CAD，則線段AD是△ABC的一條角平分線。

在三角形中，連接一個頂點和它的對邊中點的線段叫作三角形的中線。

如圖，BE=EC，則線段AE是△ABC的BC邊上的中線。

任意畫一個三角形，畫出三邊上的中線。你發(fā)現(xiàn)了什么？做一做EFDEFD

事實上，三角形的三條中線相交于一點。

我們把這三條中線的交點叫作三角形的重心。

如圖，△ABC的三條中線AD，BE，CF相交于點G，則點G為△ABC的重心。G例2如圖，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高。

（1）圖中共有幾個三角形？請分別列舉出來。解（1）圖中有6個三角形，它們分別是：△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ADC，△ABC.（2）其中哪些三角形的面積相等？解：因為AD是△ABC的中線，所以BD=DC。因為AE是△ABC的高，也是△ABD和△ADC的高，所以S△ABD=S△ADC.又等底等高的兩個三角形的面積相等。例3如圖，AB∥DC，CB⊥AB，若AB=6，△ABC的面積為12，求△ABD中AB邊上的高。練習(xí)1、利用三角尺（或直尺）、量角器任意畫出一個三角形，并畫出其中一條邊上的中線、高以及這條邊所對的角的平分線。2、如圖，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中線，BF是△EBD的角平分線，根據(jù)已知條件填空：ADC90AEABEBFDBE三角形（3）

---三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)動腦筋

在小學(xué)，我們通過對一個三角形進行折疊、剪拼等操作，知道三角形的內(nèi)角和是180°，你能說出這些方法的原理嗎？

上述兩種操作都是將三角形的三個內(nèi)角拼到一起構(gòu)成一個平角。由此受到啟發(fā)：因為直線在平移下的像是與它平行的直線，如圖，將△ABC的邊BC所在的直線平移，使其像經(jīng)過點A，得到直線.所以

.則

，所以∠B+∠BAC+∠C=180°。又結(jié)論2三角形的內(nèi)角定理：三角形的內(nèi)角和等于180°。例3在△ABC中，∠A的度數(shù)是∠B的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù)。解

設(shè)∠B為x°，則∠A為(3x)°，∠C為(x+15)°，從而有3x+x+(x+15)=180。解得x=33。所以3x=99，x+15=48。答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°。議一議

一個三角形的三個內(nèi)角中，最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？由于三角形的內(nèi)角和等于180°，因此任意三角形中最多有一個直角或一個鈍角。三角形中，三個角都是銳角的三角形叫銳角三角形，有一個角是直角的三角形叫直角三角形，有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。銳角三角形直角三角形鈍角三角形

直角三角形可用符號“Rt△”來表示，例如直角三角形ABC可以記作“Rt△ABC”。

在直角三角形中，夾直角的兩邊叫作直角邊，直角的對邊叫作斜邊。

兩條直角邊相等的直角三角形叫作等腰直角三角形。如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD。像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫作三角形的外角.

對外角∠ACD來說，∠ACB是與它相鄰的內(nèi)角，∠A，∠B是與它不相鄰的內(nèi)角。D

探究

在圖中，外角∠ACD和與它不相鄰的內(nèi)角∠A，∠B之間有什么大小關(guān)系？

我覺得可以利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論。因為∠ACD+∠ACB=180°，

∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD

-∠A

-∠B=0（等量減等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B。結(jié)論3

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。例4如圖，在△ABC中，D是BC上一點，∠1=∠2，∠3=∠4,∠BAC=63°，求∠DAC的度數(shù)。課堂練習(xí)1、填空：（1）在△ABC中，∠A=60°，∠B=∠C，則∠B=

；（2）在△ABC中，∠A-∠B=50°，

∠C-∠B