江蘇高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題

2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)

初賽參考答案與評分細(xì)則一、填空題〔本題滿分70分，每小題7分）.當(dāng)耳￡［-3,3］時，函數(shù)冊0=*—3*的最大值為.答案；18.在A4RC中,已知就?就二12,芯，無］==-%則4C=.答案：4.從集合［3,4,5,6,7.8｝中隨機(jī)選取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率是?答案修.已知，為實效，方程幺+（4+i*+4+0i=O的一個實數(shù)根是b（i是虛數(shù)單位），則以+而|的值為.答案：2^2.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，雙曲線C：方一9=1的右焦點為F,一條過原點。且傾斜角為銳角的直線/與雙曲線。交了4、A兩點.若△砂的面積為隊萬，則直線/的斜率為.答案：.設(shè)。為正實數(shù)，無=，巴則4的取值范圍是.答案：［1,+~).在四面體ABCD中，AB=AC=AD=DB=5,EC=3,CD=4,該四面體的體積為..'答案；5a/3 ,.. -.已知等差數(shù)列｛&｝和等比數(shù)列｛九｝滿足：6=3,色+比=7,與+b=15,俏+6=35,則/+4=(n￡N*).答案；2〃+3廠【.將27,37,47,4g,55,71,75這7個數(shù)排成一列，使任意連續(xù)4個數(shù)的和為3的倍數(shù)，則這樣的排法有種，答案：144.三角形的周長為31,三邊a,b,c均為整數(shù)，Ji 則滿足條件的三元數(shù)組（a,b,c］的個數(shù)為答案e24二、解答題（本題滿分80分3每小題20分）11,在△四C中，角48C對應(yīng)的邊分別為。，b,C,證明:⑴/>cosC+ccosJ9=a；.￡8a+cosB2Sin2q+A證明；(1)在MC中，由正弦定理島=焉=妥=斌(其中&是△/月C外接圓的半徑),得bcosC+ccosB=2/?sinBcosC+27?sinCcos5=27?sin(8+C)=27?siivf=〃?故命題得證， 10分(2)由(I)知AosC+eoBna,同理有acosC+eoJ=b,所以/>cosC4-ecos5+dcosC+ecos4=a+/>,即c(co&5+coJ)=(a+b)(l—oos<7)=(a+/>)?ZsiniTi4所以,，￡goM+cosB所以,，￡goM+cosB s,n220分// e12.已知a,b為實數(shù),a>2,函數(shù)知)=|11比一不+6(￡>0).若火l)=e+l,<2)=5—In2+L(1)求實數(shù)a,b；(2)求函數(shù)加0的單調(diào)區(qū)間；(3)若實數(shù)c,d滿足c>d,cd=l,求證，.標(biāo))<氏/).解；(1)由題設(shè)義I)=e+L負(fù)2)=］一疽2+1得同+b=e+l,|E2一g+6=］一山2+1，因為42.所以a>2ln2,從而a+b=e+L且?+8=1+1,解得a=e,b=】. 5分<2)由(1)得朋=|lnx—孝+1.因為lux,一三在(0,+叼上均單調(diào)遞增，Ine—;=0.x e令》)=lnx-$所以有當(dāng)x>e時，g(x)>g(c)=0，從而危，+1單調(diào)遞增；當(dāng)0?u時，於O〈g(e)=O,從而用)=三一hu+1單調(diào)遞減.故人幻的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,e);單調(diào)遞增區(qū)間為(匕，+3).1515分20分20分(3)因為c>d,cd=\9所以d=%c>\9e干是次c)=k—lncl+1，7W)=7『)=|c<?+lnd+l=ec+lnc+l.v G又13為當(dāng)c>l時，ec+Lnc>lnc+*A|hK,一?€7 Cr所以兒命題得證. 33.如圖，半徑為1的圓。上有一定點"，/為網(wǎng)。上的動點.在射線0M上有一動點以13=1,。8>】，線段43交圓。于另一點C,D為線段。8的中點，求線段。長的取值范圍.解：設(shè)乙4。二。.因為0/1=月%所以NO3=6,又OH=OG得NO%=180°—的丁是/8。，=180。一3仇因為。為線段08的中點，所以ADLOB,從而d>=0/yos8=Gos8. 5分在△08中，由余弦定理得CD'oNQDJOCQD.cqsNR。。=1+cos%—2cos0-cos（180°—3e=1+8$%+28的?cos36=8cod。-5cos力+1TOC\o"1-5"\h\z=8（cos%一得），+春.…一…… 10分又NROC=180。-319VNAOB=8,N0C2=180°—2。＞NQB4=B,得180。-36V/1的°-26＞以所以45。＜6＜60。. 15分從而:vooJevg.于是看《CD2得，得乎，等號在8$。=乎時成立.Jx / 25 4 Q所以線段CD長的取值范闈是坐，碑）. 20分0 114.設(shè)a,b,c,d是正整數(shù)，a,b是方程W-(d-ck+〃=O的兩個根,證明：存在邊長是整數(shù)且面積為帥的直角三角形.證明；由題設(shè)可知a+6=d—c,ab=cd. 5分由于&b,c,d是正整數(shù)，所以a+兒a+c,6+c中任意兩個數(shù)之和大于第三個數(shù)，從而知存在以a+九g+c,b+c為邊的三角形.因為3+C>?+0+c)N=a2+y+及2+2c(q+b)=/+扶+2?+2c(d-e)=/+/+24=J+b?+2讓TOC\o"1-5"\h\z=5+6了.