第七章線性變換

第七章線性變換[教學(xué)過(guò)程]§1線性變換的定義§2線性變換的運(yùn)算定義和例子定義設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，A是V上的變換，如果，有則稱為上的線性變換。例1在R2中，A為平面上繞原點(diǎn)逆時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)角的變換，即容易驗(yàn)證A是V上的線性變換。例2P[x]中，令D（f(x)）=f(x)的導(dǎo)數(shù)，容易驗(yàn)證A是V上的線性變換,二、幾個(gè)特殊的線性變換1、恒等（單位）變換：。2、零變換：。3、數(shù)乘變換：。三、性質(zhì)：1、。2、若，則。3若線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。練習(xí)：1。四、記1乘法：對(duì)可證，設(shè)A，B，C，有。2、定義加法：，可證。則也是上的線性空間。（若又有，則作成一個(gè)環(huán)）。五、逆變換：若，使，則稱是可逆的線性變換，而稱為的逆變換，記為，則也是可逆的線性變換。特別地：；；。（A可逆）六、，A是線性變換，則稱為的多項(xiàng)式且。作業(yè)：3，4。§3線性變換的矩陣給定數(shù)域上的線性空間，是的一組基，，有，在下的坐標(biāo)是唯一的。，。這說(shuō)明：任一向量的象均可被一組基的象線性表出。（1）、設(shè)是的一組基，對(duì)若。則。（2）、設(shè)是的一組基，對(duì)，必存在，使得，。由以上結(jié)論可得定理：設(shè)是的一組基，是中任意向量，則存在唯一的，，。二、線性變換在基下的矩陣：設(shè)是的一組基，，基向量的象可被線性表出如下：即其中稱為線性變換在基下的矩陣。例：={|},求D在基1，x,…，xn下的矩陣。例：中，，求A在基E11，E12，E21，E22下的矩陣。在線性空間三、設(shè)是的所有線性變換構(gòu)成的集合；是數(shù)域上的所有階方陣的集合。則存在到上的雙射。（證明略）三、線性變換的性質(zhì)：1、線性變換的和對(duì)應(yīng)于矩陣的和。2、線性變換的乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的乘積。3、線性變換的數(shù)乘對(duì)應(yīng)于矩陣的數(shù)乘。4、可逆的線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)于逆矩陣。四、給定一組基及線性變換，把在該組基下的矩陣記為，如何通過(guò)來(lái)計(jì)算一個(gè)向量的象呢？設(shè)所以故。五、同一線性變換在不同基下的矩陣給定線性空間的兩組基，，及的一個(gè)線性變換。如果在這兩組基下的矩陣分別為，而到的過(guò)渡矩陣是，則有。（證明略）七、相似：，若存在可逆矩陣，使，則稱相似于。記為∽。問(wèn)：若∽，是否有∽？相似滿足1、反身性：∽；2、對(duì)稱性：若∽，則∽；3、傳遞性：若∽，∽，則∽。故相似為等價(jià)關(guān)系。從而，同一線性變換在不同基下對(duì)應(yīng)的矩陣是相似的。反之是否正確？定理5若兩矩陣相似，則它們可看成同一線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣。（證明略）練習(xí)：1、設(shè)是維線性空間的個(gè)向量組，中每一個(gè)向量均可由它們線性表出，證明：是的一組基。2、試證：的一組基，并求在該組基下的坐標(biāo)。3、6作業(yè)：9，10§4特征值與特征向量一矩陣的特征值與特征向量定義1、特征值與特征向量：設(shè)如果對(duì)中一個(gè)數(shù)，存在，使，則稱為的一個(gè)特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量。定義2、特征多項(xiàng)式：是一文字，把稱為的特征多項(xiàng)式。這是數(shù)域上的次多項(xiàng)式。性質(zhì)1矩陣A的特征值即為特征多項(xiàng)式的根。A的屬于特征值的一個(gè)特征向量即為齊次線性方程組的非零解。性質(zhì)2性質(zhì)3相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式和相同的特征值。性質(zhì)4（Hamiltong-cally定理）如果是矩陣A的特征多項(xiàng)式，有=0。例設(shè)A=，求A的全部特征值與特征向量。方法總結(jié)：1求A的特征多項(xiàng)式的根即為A的全部特征值。2對(duì)每個(gè)，求齊次線性方程組的非零解，即為A的屬于特征值的一個(gè)特征向量。二、線性變換的一個(gè)特征值與特征向量定義，是數(shù)域上的線性空間，如果對(duì)中一個(gè)數(shù)，存在，使，則稱為的一個(gè)特征值，而稱為的屬于特征值的一個(gè)特征向量。定義設(shè)線性變換A在給定基下的矩陣為A，把矩陣A的特征多項(xiàng)式叫做線性變換A的特征多項(xiàng)式。同一個(gè)線性變換在不同基下的矩陣是相似的。定義是的屬于的全部特征向量與零向量的集合，顯然是上的一個(gè)子空間，稱之為V的一個(gè)特征子空間。的維數(shù)就是屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量的最大個(gè)數(shù)。性質(zhì)1、設(shè)線性變換A在給定基下的矩陣為A，則（1）矩陣A的特征值即為線性變換A特征值。（2）向量是線性變換A的屬于特征值的一個(gè)特征向量是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量。方法（1）取V的一組基，并寫(xiě)出在該組基下的矩陣；2、求出的所有解（在中的解），即為全部特征值；3、將所有特征值分別代入方程：求出基礎(chǔ)解系，即為屬于A特征值的幾個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo)。例：在基下的矩陣是，求的特征值與特征向量。練習(xí)：19（1），（2）證明略）定理：設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)矩陣，是的特征多項(xiàng)式，則練習(xí)：6，作業(yè)：19（6），（7），24。§5對(duì)角矩陣是數(shù)域上的一個(gè)線性空間，，定理8屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。定理7線性變換在某組基下的矩陣為對(duì)角形有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。推論：1、若有個(gè)不同的特征值，則有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，在某組基下的矩陣為對(duì)角形。2、若，的特征多項(xiàng)式無(wú)重根，則在某組基下的矩陣也是對(duì)角形。定理8還可以推廣為定理9如果是的不同特征值，而是屬于的線性無(wú)關(guān)的特征向量，，則也線性無(wú)關(guān)。定理9中，如果線性無(wú)關(guān)的向量的總個(gè)數(shù)是個(gè)，則在某組基下的矩陣為對(duì)角形，即的特征子空間的維數(shù)之和等于。在某組基下的矩陣成對(duì)角形。且主對(duì)角線上的元素是的特征值，除元素的排列次序外是唯一確定的。矩陣相似于對(duì)角矩陣的求法：1、先求的特征值；2、再求屬于不同特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量；3、若線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于的階，則可相似于對(duì)角形，所有線性無(wú)關(guān)的特征向量按列排成矩陣，則對(duì)應(yīng)的是屬于的特征向量。（可以相同）作業(yè)：23?！?線性變換的值域與核，的值域：，其維數(shù)叫的秩。的核：，其維數(shù)叫的零度。易證：與均是的子空間。例：在中，則二者均是的子空間。定理10設(shè)的一組基，，在下的矩陣是，則：（1）（2）線性變換的秩=矩陣的秩。說(shuō)明：是包含的最小子空間。定理11若是維線性空間的線性變換，則的秩+的零度=。證明略。注意：雖有的秩+的零度=，但這并不等于+=成立。當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，的秩=，是映上的。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的零度=0，是1—1的。故：有限維線性空間的線性變換是1—1的當(dāng)且僅當(dāng)該線性變換是映上的。作業(yè)：14。§7不變子空間一、不變子空間1、定義：是數(shù)域上的線性空間，，若對(duì)，則稱為的不變子空間。簡(jiǎn)稱-子空間。2、舉例說(shuō)明： 例1和是的-子空間，。例2與均是的-子空間。例3若，則和是-子空間。例4任一子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間。二、性質(zhì)：1、一維不變子空間是由一個(gè)特征向量生成的，反之也對(duì)。2、也是-子空間。3、-子空間的交與和還是-子空間。4、為的不變子空間，可看作是的一個(gè)線性變換，用表示，即在上的限制。與的異同5、，為零變換；為數(shù)乘變換。6、，則為-子空間。二、不變子空間與線性變換的矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)系。設(shè)是維線性空間，，是的-子空間，取的一組基，擴(kuò)充為的一組基，在這組基下的矩陣形如：……（※）其中是在的基下的矩陣。（證明略）若，是-子空間，。在中取基，則是的一組基（Ⅰ），在該基下的矩陣形如（準(zhǔn)對(duì)角形）……………………（○）其中是在下的矩陣。反之，若在基（Ⅰ）下的矩陣是準(zhǔn)對(duì)角形（○），則生成的子空間是-子空間。由此可知：矩陣分解為對(duì)角形的充要條件為空間分解為不變子空間的直和。作業(yè)：25。§8若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹一、定義：1、若當(dāng)塊：形如的矩陣稱為若當(dāng)塊，。例如：均是若當(dāng)塊。2、若當(dāng)形矩陣：由若干個(gè)若當(dāng)塊組成的準(zhǔn)對(duì)角形矩陣就是若當(dāng)形矩陣。例如…（※）是一個(gè)若當(dāng)形矩陣。二、結(jié)論：是復(fù)數(shù)域上維線性空間的線性變換，在中必存在一組基，使在該基下的矩陣是若當(dāng)形矩陣，并且除去若當(dāng)塊的排列次序外，是被唯一決定的。該若當(dāng)形矩陣稱為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。換句話說(shuō)：每個(gè)階復(fù)數(shù)矩陣均相似于一個(gè)若當(dāng)形矩陣，且除去若當(dāng)塊的排列次序外，是被唯一決定的。該若當(dāng)形矩陣稱為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。因?yàn)槿舢?dāng)形矩陣是下三角形矩陣，所以主對(duì)角線上的元素正是特征多項(xiàng)式的全部根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）例如在（※）中，存在一組基，使在這組基下的矩陣為（※），，1，4，均為特征值，?！?最小多項(xiàng)式一、定義：若多項(xiàng)式，使得，則稱以為根。由哈密爾頓-凱萊定理知以為根的多項(xiàng)式一定存在，其中