直線專題直線與點的對稱問題-【題型分類歸納】2

直線專題：直線與點的對稱問題一、點關(guān)于點的對稱問題1、實質(zhì)：該點是兩對稱點連線段的中點2、方法：利用中點坐標(biāo)公式平面內(nèi)點關(guān)于對稱點坐標(biāo)為，平面內(nèi)點，關(guān)于點對稱二、直線關(guān)于點的對稱問題1、實質(zhì)：兩直線平行2、法一：轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于點”的對稱問題（在l上找兩個特殊點（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點），求出各自關(guān)于A對稱的點，然后求出直線方程）法二：利用平行性質(zhì)解（求一個對稱點，且斜率相等或設(shè)平行直線系，利用點到直線距離相等）三、點關(guān)于直線的對稱問題1、實質(zhì)：軸（直線）是對稱點連線段的中垂線2、（1）當(dāng)直線斜率存在時：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個條件建立方程組，就可求出對稱點的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則（2）當(dāng)直線斜率不存在時：點關(guān)于的對稱點為四、直線關(guān)于直線的對稱問題1、當(dāng)與l相交時：此問題可轉(zhuǎn)化為“點關(guān)于直線”的對稱問題；求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線第一步：聯(lián)立算出交點第二步：在上任找一點（非交點），求出關(guān)于直線對稱的點第三步：利用兩點式寫出方程2、當(dāng)與l平行時：對稱直線與已知直線平行.兩條對稱直線到已知直線的距離相等，利用平行線間距離公式建立方程即可解得。題型一點關(guān)于點的對稱問題【例1】點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為【答案】【解析】設(shè)點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為，∴點即為點和點的中點，由中點坐標(biāo)公式可得，解得.【變式1-1】若點是線段的中點，且點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為【答案】【解析】設(shè)點，∵點是線段的中點，且點的坐標(biāo)為∴，解得所以點的坐標(biāo)為.【變式1-2】已知兩點，，則點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為.【答案】【解析】設(shè)點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為，由中點坐標(biāo)公式得：，即，∴點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為.題型二直線關(guān)于點的對稱問題【例2】直線關(guān)于原點對稱的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】點在直線上，則在所求直線上所求直線的斜率，則所求直線方程為，故選：A【變式2-1】直線關(guān)于點對稱的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)直線上的點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為，所以，，所以，，將其代入直線中，得到，化簡得，故選：C．【變式2-2】點在直線上，直線與關(guān)于點對稱，則一定在直線上的點為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題設(shè)，關(guān)于對稱的點必在上，若該點為，∴，解得，即一定在直線上，故選：C【變式2-3】已知直線與關(guān)于點對稱，則______.【答案】【解析】在直線上取點，，M，N關(guān)于點對稱的點分別為.點在直線上，，解得，.題型三點關(guān)于直線的對稱問題【例3】點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)．【答案】【解析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即對稱點的坐標(biāo)為.【變式3-1】已知點，關(guān)于直線對稱，則_________.【答案】【解析】由題意，點，關(guān)于直線對稱，可得，解得，所以.故答案為：.【變式3-2】已知，從點射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過直線反射回到時點，則光線所經(jīng)過的路程為_____．【答案】【解析】直線的方程為：，點關(guān)于軸的對稱點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則，，解得，．，光線所經(jīng)過的路程．故答案為：．【變式3-3】已知點P(－1，1)與點Q(3，5)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為________.【答案】x＋y－4＝0【解析】∵直線PQ的斜率k1＝1，由點P(－1，1)與點Q(3，5)關(guān)于直線l對稱，∴直線l的斜率k2＝－1，又線段PQ的中點坐標(biāo)為(1，3)，∴直線l的方程為x＋y－4＝0.故答案為：x＋y－4＝0.【變式3-4】將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點與點重合，則折痕所在直線的一般式方程為___________.【答案】【解析】點與點連線斜率，折痕所在直線斜率，又點與點的中點為，折痕所在直線方程為：，即.故答案為：.【變式3-5】將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，點(7，3)與點(m，n)重合，則m+n=（）A．B．10C．D．5【答案】A【解析】若將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，則坐標(biāo)紙折疊一次的折痕是點(0，2)與點(4，0)連線的垂直平分線，∵點(0，2)與點(4，0)中點為(2，1)，兩點連線的斜率為k=，∴其垂直平分線的斜率為2，則其垂直平分線方程為：y﹣1=2(x﹣2)，即y=2x﹣3，它也是點(7，3)與點(m，n)連線的垂直平分線，則，解得.∴m+n=，故選：A.題型四直線關(guān)于直線的對稱問題【例4】兩直線方程為，，則關(guān)于對稱的直線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)所求直線上任一點，關(guān)于直線的對稱點，，則，解出點在直線上，將式代入，得，化簡得，即為關(guān)于對稱的直線方程．故選：C【變式4-1】已知直線，，．（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因為，所以．設(shè)直線的方程為（，且）．在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即點的坐標(biāo)為．把點的坐標(biāo)代入直線的方程，得，解得，所以直線的方程為．（2）由，得，所以與的交點坐標(biāo)為．另取上不同于A的一點，設(shè)關(guān)于的對稱點為，則，得，即點的坐標(biāo)為．所以過與的直線的方程為，即．【變式4-2】直線2y－x＋1＝0關(guān)于y－x＝0對稱的直線方程是（）A．y－2x－1＝0B．y＋2x－1＝0C．.y＋2x＋1＝0D．2y＋x＋1＝0【答案】A【解析】在直線2y－x＋1＝0上任取一點，設(shè)關(guān)于y－x＝0的對稱點為，則，解得，代入直線2y－x＋1＝0，得y－2x－1＝0，故選：A【變式4-3】若直線l1：x－3y＋2＝0與直線l2：mx－y＋b＝0關(guān)于x軸對稱，則m＋b＝（）A．