整式的乘法冀教版知識精講

初一數(shù)學整式的乘法冀教版

【本講教育信息】

一、教學內(nèi)容：

整式的乘法

1.單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘.

2.多項式與多項式相乘時常用到的兩個公式：平方差公式、完全平方公式.

二、知識要點：

I.單項式與單項式相乘

單項式與單項式相乘的運算性質：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的塞

分別相乘，其余字母連同它們的指數(shù)作為積的?個因式.

注意：

①積的系數(shù)等于各因式系數(shù)的積，這是有理數(shù)的乘法，應先確定符號，再計算絕對值；

②相同字母相乘，是同底數(shù)幫的乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加；

③不要丟掉只在?個單項式里含有的字母；

④對于三個以上的單項式相乘同樣適用.

2.單項式與多項式相等

單項式與多項式相乘的運算性質：單項式與多項式相乘,用單項式去乘多項式的每一項,

再把所得的積相加.

3.多項式與多項式相等

多項式與多項式相乘的運算性質：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另

一個多項式的每一項，再把所得的積相加.注意：

①必須做到不重不漏，計算時應按一定的順序；

②應確定積中每一項的符號；

③多項式與多項式相乘時，如有同類項的要合并.

4.平方差公式:(a+h)(a—b)=a2-h2

兩個數(shù)的和與兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

注意：

(1)公式的左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互

為相反數(shù).

(2)右邊是左邊因式中的兩項的平方差(相同項的平方減去相反項的平方).

(3)公式中的。與匕可以是單個的數(shù)，也可以是單項式或多項式.

(4)只有對于形如兩數(shù)的和與這兩數(shù)的差相乘時，才可以用平方差公式.

5.完全平方公式：(〃土人)2=a1+2ah+b2

兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方利，加(或減)它們的積的2倍.

注意：

(1)(a+6)2=a2+2a/>+Z?2和(a—b)'—cT—lab-^-b1都叫做完全平方公式.為了區(qū)

別，我們把前者叫做兩數(shù)和的完全平方公式，后者叫做兩數(shù)差的完全平方公式.

(2)公式的特點：兩個公式的左邊都是一個二項式的完全平方，二者僅一個“符號”

的不同；右邊都是二次三項式，當中有兩項是公式左邊二項中每一項的平方，第三項是左邊

二項式中兩項乘積的2倍，二者也僅是一個“符號”的不同.

(3)公式中的〃與b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式.

(4)在運用公式時要注意保持前后“符號”的致性.

6.乘法公式和血積之間的關系

如圖(1),(a+b)(a~b^=

如圖(2),(。+。)2=；

如圖(3),(a—b)2=.

⑵⑶

三、重點難點：

本講重點是掌握整式乘法的運算性質，能夠使用公式進行運算，難點是在運算過程中,

特別是因式較復雜時，注意不要丟項漏項.

【典型例題】

例L計算(一刀)")?(—|x2y).

分析：按單項式與單項式相乘的法則進行計算.

解：(-2x3y2z)?(一53)

=(-2)?(—1)?x3?x2?y2?y?z2(乘法交換律)

=[(-2)?(―?(%3?%2)?(y2?y)?z2(乘法結合律)

(有理數(shù)乘法法則、同底數(shù)基相乘).

評析：單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘，同樣適用.

例2.計算：(1)(―Jb)C^ab2—2ah+^h)；

(2)6mn2(2—^mn4)+(—2

分析：這兩個小題都是單項式與多項式相乘的計算題，計算時，符號的確定是解題的關

鍵.

解：(1)(一，曲)(多加2〃匕+%)

=(一/仍)加)+(―5))?(—2")+(―/曲)?命)

=—V+a2/?2~^ab2

(2)6mn2(2—gm//)+(—^tnn3)2

=12加〃2-2加，6+，2〃6

7A

=⑵甘/一心

評析：(1)計算時容易出現(xiàn)符號錯誤，多項式中每一項都包括它前面的符號，同時還要

注意單項式本身的符號.(2)單項式乘以多項式，結果仍是多項式，其項數(shù)與多項式的項

數(shù)相同.(3)對于混合運算，要注意運算順序，同時要注意：運算結果中若有同類項一定

要合并同類項，從而得出最簡結果.

例3.計算：(1)(4x+5y)(2x-y)；(2)(x-l)(?+x2+x+l).

分析：這兩個小題都是直接運用多項式乘以多項式法則的，計算時一定要細心.

解：(1)(4x+5y)(2x—y)

—8x2-4xy+1OA},—5y2

=8f+6xy_5y2；

(2)(x—1)(x3+x2+x+1)

=x4+x3+x2+JC—X3—X2—X—1

—X4—1.

評析：要用一個多項式中的每一項去和另一個多項式中的每一項分別相乘，不能有遺漏.

多項式相乘的結果中若有同類項，應合并，使結果最簡，并且最終結果一般都按某個字母的

降黑(或升寨)排列，這樣符合規(guī)范性要求.

例例計算：(1)C3a~2b)(3。+2匕)；(2)201X199.

分析：(1)題是兩個數(shù)的和乘以兩個數(shù)的差的形式.可直接應用公式寫出結果；(2)題

是兩個數(shù)相乘，201=200+1,199=200—1,可化成兩個數(shù)的和乘以兩個數(shù)的差，可用平方

差簡化計算.

解：(1)(3a-2b)(3。+2〃)=(3a)2-(2b)2=9a2-4ft2；

(2)201X199=(200+1)(200-1)=2002-12=39999.

評析：利用平方差公式計算直接寫出結果時，“平方”是一個整體的平方，不但字母要

平方，系數(shù)也必須同時平方，要防止出現(xiàn)這樣的錯誤：(3a+2b)(3a-2b)=3/一2/.

例5.計算：(1)(3a+b)，(2)(—x+3y)2；

(3)999?；(4)Cb+c)C~b-c).

分析：此題可利用完全平方公式計算，(1)題是兩數(shù)和的平方，應選用和的完全平方公

式，其中3〃是公式中的“，方是公式中的b；(2)題(—x+3y)2=(3y-x)2=(x-3y)2；

所以選用差的完全平方公式；(3)題可化成兩數(shù)差的平方，即999?=(io。?！?)2；(4)題

中(一匕一C)=—(b+c),原式=—(/?+c)2.

解：(1)(3a+b)2=(3a)2+2?3a?b+^^a+bab+b2

(2)(r+3y)2=(3>—x)2

=(3y)2-2?3y?x+x2=9y2_

(3)9992

=(1000-1)2

=10002-2X1000X1+1

=1000000-2000+1

=998001

(4)(Z?+c)(—b-c)

=—(b+c)2

=—(b?+2bc+c2)

=-b2-2hc-c2

評析：通過例題可以發(fā)現(xiàn)：當所給的二項式中兩項符號相同時，一般選用“和”的完全

平方公式，當二項式中兩項符號相反時，一般選用“差”的完全平方公式.

例6某公司欲建如圖所示的草坪（陰影部分是草坪，中間白色區(qū)域為小路），需要鋪設草

坪多少平方米？若每平方米草坪需120元，則修建該草坪需投資多少元？（單位：m）

分析：陰影部分面積等于4個長方形面積之和.

解：3a,2a+4a?2aa?3a+a,4a=6a2+8a2+3a2+4a2=21fz2（m2）.

120X21/=2520J（元）

答:需要鋪設草坪為修建該草坪需投資2520/元.

評析：找準長方形邊長大小，不要受中間非陰影部分影響.把圖中小路移向邊緣可得下

圖，用下圖計算草坪面積更簡單.

a

2

【方法總結】

單項式相乘的結果仍是單項式，只是系數(shù)和指數(shù)發(fā)生了變化.單項式與多項式相乘的計

算方法，實質是利用乘法分配律將其轉化為前面學過的單項式乘以單項式的問題，這充分運

用了“化歸”的數(shù)學思想方法.兩多項式相乘的結果仍是多項式，在沒有合并同類項之前，

所得積的項數(shù)應為兩個多項式的項數(shù)的積.注意乘法公式與面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，進而感受

幾何與代數(shù)內(nèi)在的統(tǒng)一性.

【模擬試題】（答題時間：60分鐘）

選擇題

I.下列運算正確的是（)

A.2a?3a2=5（?B.0.25x?

C.3??2X2=6X2D.—2y3?3y2=-6)"

2.下列計算正確的是（)

A.（2x—5）（3x—7）=67-29x+35

B.(3x+7)(10x-8)=30f+36x—56

C.(x+g)(3尤=3f+5+:

D.(l-x)(x+1)+(x+1)(x-1)=2?—3

3.在下列多項式乘法中，可以用平方差公式計算的是（）

A.(x+y)(―x—y)B.(a2—b)(<72+Z?2)

C.(2x-3y)(2y+3x)D.(一3〃+4。)(一3。一4/力

4.下列式子中是完全平方式的是()

A.a~-1-ab-\~b~B.6Z2+2a+2C.a~一2b+b°D./+2a+l

5.用科學記數(shù)法表示(5X102)X(16X105)的計算結果應是()

A.80X107B.8.0X107C.8.0X108D.8.OX1O10

6.在下列各式中，計算結果等于5x+6的是()

A.(x—6)(x+1)B.(x—2)(x+3)

C.(x+6)(x—1)D.(%—2)(%—3)

*7.一個長方形的長是2xcm,寬比長的一半少4cm,若將長方形的長和寬都增加3c”，則

該長方形的面積增加了()

A.9B.9x—3C.2X2+X_3D.—lx—3

**8.已知(a+b)2=8,(a-b)2=12,則1+好的值為()

A.10B.8C.20D.4

二.填空題

1.(-3%)3?(一町2)3=_________

2.計算(-2x)2?(一3xy2)3.$2=

3.(x—y)(x2+xy+y2)=.

4.(1)(x+3)(x—3),(2)(3x+y)(y—3x)—.

5.當x=3,y—1時，代數(shù)式(x+y)(x—y)+y2的值是.

*6.(一機+2)2=,(x_2>,—3)(x+2y_3)[()—2y]

[()+2y]=()2—4y2.

21

7.利用乘法公式計算：19哼*20吟=.

8.柜臺上放著一堆罐頭，它們擺放的形狀如圖：

第一層有2X3聽罐頭，

第二層有3X4聽罐頭，

第三層有4X5聽罐頭，

根據(jù)這堆罐頭排列的規(guī)律，第〃(〃為正整數(shù))層有聽罐頭(用含〃的式子

表示).

三.解答題

1.計算下列各題：

(1)(-|x2y)3,(3肛2)2；

(2)3x(尤2—2%—1)—2x2(X-2)；

2.運用乘法公式進行簡便計算：

(1)103X97；(2)4012；(3)20082-2009X2007.

3.先化簡，再求值：(x+2)(%—2)—x(x—1),其中x=-1.

*4.如圖所示，在一塊長方形空地上建一座樓房，剩下的地方（圖中陰影部分）植綠地和

鋪便道破，根據(jù)圖中所標的用字母表示的數(shù)據(jù)（單位：，"），求出陰影部分的面積.

**5.?個三位數(shù)，其十位數(shù)字比個位數(shù)字大1,百位數(shù)字又比十位數(shù)字大2,另外有?個

兩位數(shù)，其十位數(shù)字與該三位數(shù)的個位數(shù)字相同，都可用。表示，其個位數(shù)字比十位數(shù)字小

3,請把這兩個數(shù)的積用含。的代數(shù)式表示出來，并把此代數(shù)式化簡.若a=4,把這兩個數(shù)

表示出來，并求出它們的根.

【試題答案】

選擇題

1.D2.A3.D4.D5.C6.D7.B8.A

二.填空題

1.27//2.-54x5ys3.x3-/4.?-9,y2~9x5.9

6.僅2一4機+4,x-3，x-3,X-