等腰三角形 全省一等獎

汕頭市翠英中學王煒煜

13.3.1等腰三角形（1）

北京五塔寺

等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角等腰三角形定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形.一、復習舊課

1.等腰三角形一腰為3cm,底為4cm,則它的周長是

；

2.等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為4cm,則它的周長是

；

3、等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為8cm,則它的周長是

。

10cm10cm或11cm19cm一、復習舊課如圖所示，把一張長方形的紙按圖中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的△ABC

有什么特點？ABCDAB=AC二、自主探究

把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.找一找等腰三角形是軸對稱圖形嗎？思考是重合的線段重合的角

AC

B

D

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝

∠ADC

等腰三角形除了兩腰相等以外,

你還能發(fā)現(xiàn)它的其他性質(zhì)嗎?

大膽猜想已知：△ABC中，AB=AC求證：∠B=C分析：1.如何證明兩個角相等？2.如何構造兩個全等的三角形？ABCD等腰三角形的兩個底角相等猜想與論證如何證明兩個三角形全等?ABC則∠ADB＝∠ADC＝90o.D在Rt△ABD和Rt△ACD中證明：作BC邊上

的高AD，AB＝AC，

AD＝AD

（公共邊），

∴

Rt△ABD≌Rt△ACD

（HL）.

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應角相等）.

方法一ABC則有BD＝CD.D在△ABD和△ACD中證明:

作△ABC

的中線AD，AB＝AC，

BD＝CD，AD＝AD

（公共邊），

∴

△ABD≌

△ACD

（SSS），

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應角相等）.

方法二ABC則有∠1＝∠2.D12在△ABD和△ACD中證明:

作頂角的平分線AD，AB＝AC，

∠1＝∠2，

AD＝AD

（公共邊），

∴

△ABD≌

△ACD

（SAS）.

∴

∠B＝∠C

（全等三角形對應角相等）.

方法三D如圖，作△ABC的中線AD

D┌如圖，作△ABC的高ADD如圖，作頂角的平分線AD.ABCABCABC等腰三角形常見輔助線想一想:

由剛才證明的△ABD≌△ACD，除了能得到∠B＝∠C你還能發(fā)現(xiàn)什么?重合的線段重合的角

A

B

D

C

AB＝AC

BD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD

∠ADB＝∠ADC=90°等腰三角形的性質(zhì)：性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成等邊對等角）.性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡寫成三線合一）.ABCD性質(zhì)1在△ABC中，∵AB=AC∴________=________.性質(zhì)2(1)∵AB=AC，AD是角平分線，∴______⊥______，________=________

；

(2)∵AB=AC，AD是中線，∴

⊥

，∠

=∠____；

(3)∵AB=AC

，AD⊥BC，∴∠_____=∠______，_____=______.幾何語言：ABCD∠B∠CADBCBDCDADBCBADCADBADCADBDCDABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對等角).設∠A=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x，于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x二、自主探究例1

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)？例2如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).解：∵AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC設∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，∠B+∠C+∠BAD+∠DAC=2x+x+26°+x=180°.解得：x=38.5°.∴∠B=77°，∠C=38.5°.三、課堂練習P771、2四、補充練習1.如圖，△ABC中,AB=AC,∠A=36°,則∠B=

；2.如圖，△ABC中,AB=AC,∠A=3∠B,則∠A=

；

3.等腰三角形一個角為40°,它的另外兩個角為___________________.ABCABC70°，70°或40°，100°108°72°第一題圖第二題圖4.如圖，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分線交AC于D，求∠DBC的度數(shù).45度5.求證：等腰三角形底邊中點到兩