重難點(diǎn)突破：不等式題型匯編

不等式常見題型匯編

題型一不等式的概念與性質(zhì)

L.比較法原理：a-b>O<^>a>b,a-b<O<^>a<b,a-b=O<=>a=b.

2.a>bb<a（反對(duì)稱性）

3.若a>b,b>c,則（傳遞性）

4.若a>b,則a+c>Z?+c

5.若a>b,c>。,則ac>be；若a>h,c<0,ac<be

6.若a>b,c>d,則a+c>/?+d

7,若Q>b>O,c>d>0,則ac>/?d

8.若a>b>0,則一<一:若avbvO,則一〉一

abab

9.若a>b>0,則〃22）

10.若a>b>0,則6>痛（neN,nN2）

角度1：利用不等式的性質(zhì)判定大小

例題1:12018衡水中學(xué)高三十五?！恳阎陗＜土＜0,則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）

ab

?a—b八.ci_

A.問(wèn)》同B.ac>beC.---->0D.In—>0

cb

c、’]]ct—b

【解析】—<—<0,當(dāng)cv0時(shí)，一>一〉0,即b>a>0,/.\b\>It/I,cic>he,------>0

abahc

成立，此時(shí)0<一<1,/.in—<0,故選D

bh

例題2：【2018吉安一中高三聯(lián)考】若4>1,0<C<〃<1,則下列不正確的是.(）

A.log(12018>logA2018B.log/?<z<logra

C.(c—b)c">(c—t>WD.(a—c)ac>^a-c)ab

【分析】函數(shù)單調(diào)性的判斷：(1)常用方法：定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖象法及復(fù)合函數(shù)法

(2)兩增(減)函數(shù)和仍為增(減)函數(shù)；一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減(增)函數(shù)差是增(減)函數(shù)

(3)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間，上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)

間上有相反的單調(diào)性.

【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得108“2018>0>1081,2018,108〃4<108<々，故A、B

正確.：a>1,0<c<Z?<1,/.0<ca<ba,c—b<0,Q<a'<ab,a-c>0,

(c—b)cf>(^c—bjba,(?—c)ac<(?—c)tz*,則C正確，D錯(cuò)誤.故選D.

變式1：[2018北京十一學(xué)校高三3月模擬】設(shè)a=0.642]=7叫c=logofi7，則a,o,c的

大小關(guān)系是

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<b<c

6

【解析】0co.642<I,7°->1,log067<0,所以b>a>c,選B.

\_

變式2：[2018四川成都第七中學(xué)高三上學(xué)期模擬】設(shè)a=log52力=10g22,c=e2,則

3

a,A,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【解析】因?yàn)?=10852€（0,1）功=1（抽22（0,。=/）1,所以力<a<c,選B.

角度2:求范圍問(wèn)題

例題3：［2018黑龍江雙鴨山市一中高二4月月考】已知l?a+bW5,—?jiǎng)t

3a-2b的取值范圍是

【分析】根據(jù)不等式組確定二元目標(biāo)式范圍的方程有二，其一：利用待定系數(shù)法表示目標(biāo),

直接加減一次即可；其二：利用線性規(guī)劃的方法處理.

【解析】設(shè)3a—力=x(a+0)+y(a—b),易得：x=；,y=g，

3a_2b=—+[-2,10]

例題4：［2018廣西防城港市高中畢業(yè)班1月模擬】已知。>0/>0,。+?=2,若

2"+4”>m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

【解析】由題意可得：2°+4*=2fl+2lb>2-j2a+2u=2>/F^=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=1乃=1時(shí)等號(hào)成立，

即(2。+4，)=4,由恒成立的結(jié)論可得：m<(2a+，)，即實(shí)數(shù)7M的取值范圍是胴<4.

\/mtn、iintn

變式3：三個(gè)正數(shù).a,b,c滿足。動(dòng)+c42a,b<a+c<2b,則2的取值范圍是.

a

hc

【解析】三個(gè)正數(shù)4，C滿足把力+旦4b<a+c<2b,貝i］：14-+-W2,①

aa

且+即-24T-￡w-2②

aaaaaa

2b.b

、1——W-1+一

①益有：1—竺4-1+色42-4即：｛，f,求解關(guān)于2的不等式組可得白的取值范圍是

aaabbaa

-1+-42——

aa

~23-

3：2,

變式4：[2018遼寧大連渤海高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期期中考試】設(shè)，(力=?2+瓜，且

-1</(-1)<2,2</(1)<4,求/(—2)的取值范圍.

【解析】由/(%)=加+加得/(-2)=包-力.已知1),/⑴范圍，用⑴表示

a,b,再把/(—2)=4。一2匕化簡(jiǎn)，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)可得所求范圍.

〃1)+/(T)

f[-\)=a-b2

由已知得｛

/(1)=?+/?AX)

2

/⑴？(T)―2'/⑴丁T)=/(1)+3〃-1),

V-l</(-l)<2,.-.-3<3/(-l)<6,V2</(1)<4,.---1</(1)+3/(-1)<10,

/--l</(-2)<10

變式5：【2018江蘇祁江中學(xué)高二下學(xué)期期中考試】若不等式(-1)=<3+(二1)七對(duì)

n+1

任意的正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【分析】本題主要考查了不等式恒成立問(wèn)題，將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為求式子的最值問(wèn)題解

決恒成立問(wèn)題是解答恒成立問(wèn)題的基本方法，著重考查分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.

11

【解析】當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，不等式可化為-a<3+—即a>-3-----要使得不等式對(duì)任

n+1n+1

1

意自然數(shù)幾恒成立，則。2-3,當(dāng)九為偶數(shù)時(shí)，不等式可化為QV3-----要使得不等式對(duì)

n+l

1188

任意自然數(shù)九恒成工，則QV(3----7)"而=3=三，即a<2,綜上，-3WQV亍

n+l333

角度3:不等式的性質(zhì)與充要條件

例題5：【2018廣東省中山市高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)】若。力為實(shí)數(shù)，則/〉〃是4>力>（）

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不也，不必要條件

【解析】當(dāng)a>8>0時(shí)，a~>b~成立，當(dāng)a=-3,b=-1時(shí)，滿足a?>b~,但a>8>0不

成立，即>后，，是“。>力>0，，的必要不充分條件，故選B.

2<x+y<4

例題6：[2018廣東.中山市高二上學(xué)期理科數(shù)學(xué)期末考試】條件甲：｛；條

0cAy<3

0<x<1

件乙：｛，則甲是乙的（）

2<y<3

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不也不必要條件

（）<%<1<4<1

【解析】由｛,根據(jù)不等式的性質(zhì)可得｛";由｛"，而

2<y<30<孫<32cx<3

152<x+y<40<y<l

x=-,y=-時(shí)，｛成立，｛'不成立，所以甲是乙的必要不充分條

220<xy<32cx<3

件，故選B.

變式6：下列四個(gè)不等式：?a<0<b；?b<a<0-,③b<0<a；?0<b<a,其中能使,〈工

ah

成立的充分條件有

11111111

【解析】①〃<0<6=-<0,->()=>-<-；②③6<0<“=>一>一；

abahabab

@0<b<a=>-<-.故答案為：①②④.

ab

d—4x

變式7：［2018衡水金卷(四)】設(shè)〃：-------<0,q：X2-(2m+l)%+m2+m<0,

2x

若P是4的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)利的取值范圍為.

d—4x

【解析】設(shè)p：------40的解集為A,所以A二｛x卜2sxVO或OVx02｝,設(shè)q:

2x

f—(2利+l)x+m?+m<0的解集為B,所以B=｛x|mgxWm+l｝,由題知p是q的必要不充

分條件，即得B是A的真子集，所以有

m>()一根+1<()「、r

=>()<加41或｛=>—2Km<—1.得01￡F-2,-1)U(O,11

m+1<2m>-2L，'」

題型二不等式的解法

㈠一元二次不等式

我們把只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次項(xiàng)的次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等

式.當(dāng)a>0時(shí)，

(1)若方程以2+陵+。=0的兩實(shí)根分別為不，々(玉<x2),則不等式52+〃x+c>0的

解集為｛x|x<%或x|x>w｝，不等式以2+bx+c<0的解集為卜|》<玉<々｝；

(2)若方程辦2+版+c=o的兩實(shí)根分別為％=々=一2,則不等式批2+陵+c>0的

2a

解集為｛x|x€R且XH不等式辦2+笈+c<0的解集為0；

(3)若方程。￡+力％+。=0無(wú)實(shí)數(shù)根，則不等式ad+Z?x+c>0的解集為R,不等式

a^c+Z?x+c<0的解集為。.

⑵分式不等式

⑴^^>0=〃x)g(x)>。；⑵^^<0o/(x)g(x)<0；

〃x)<0」〃x)g(x)K°，

g(x)一1g(x)*O.(4)g(x)一1g(x)wO.

⑶簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值不等式

1去絕對(duì)值符號(hào)的常用方法

(1)基本性質(zhì)法：國(guó)<00-4<》<0,國(guó)><70%<-0或1>。(4>0)；

(2)平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)；

(3)零點(diǎn)分段法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)

值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解.

2.形如|x-a|+|x-b|Nc(或Wc,c>0)絕對(duì)值不等式的三種解法

解法一：分段討論法，又稱“本點(diǎn)分段法”，利用絕對(duì)值號(hào)內(nèi)式子對(duì)應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為

(Y>：a],(0:可,(尻+00)(此處設(shè)a<b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對(duì)信號(hào)分別列出對(duì)應(yīng)的不等式

求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集；體現(xiàn)了分類討論的思想；

解法二：幾何法，利用,一。|+卜一瓦段(或Wc:c>0>的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)再=。和X1s的距離

之和大于c的全體(卜-@+卜-論"-。)-(工-4訃-同);體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；

解法三：圖象法，作出函數(shù)M=|x-a|+|x-b|和%=c的圖象，結(jié)合圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.

3.六類絕對(duì)值不等式的解法

(1)|/(x)|<a,|/(x)|>?(aeR)§y：|/(x)|<a<^-a<f(x)<a,|/(x)|>a<^>f(x)<-a

或/(x)>a(a>0)(等價(jià)命題法)

⑵|/(x)|<|g(x)|型：|〃x)|<|g(x)|o/'2(x)<g2(x)；

⑶|/(x)|<(>)g(x)型:

⑸<g(X)=-g(x)<f(x)<g(x),(x)|>g(X)=f(x)V-g(x)或/(x)>g(x);

(4)?<|/(x)|</?(/?>a>0)^:

a<\f(x)|<Z?(Z?>?>0)<=>?</(x)<Z?BK-/?</(x)<-a；

⑸|/(x)|<(>)/(x)型：|/(x)|<f(x)無(wú)解；|/(x)|>/(x)of(x)<0：

⑹|〃x)|+|g(x)|<(>)Mx)型：

(x)|+|g(x)|>Mx)o|/(x)+g(x)|>，(x)或|/(x)—g(x)|>〃(%)?

角度1:一元二次不等式解法

例題7：【2018安徽淮南高三一?！咳?={衛(wèi)辦2一"+I?O,X€R}=。，則。的取值

范圍是?

【解析】當(dāng)。=0時(shí)，顯然成立；當(dāng)a>()時(shí)，△=/-4a<0,得0<a<4.綜上，a的

取值范圍是[0,4).

.11,

例題8：不等式62一區(qū)一120的解集是一,一,則不等式工2-法一。<0解集是

.32.

【分析】(1)解一元二次不等式時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)要先化為正，再根據(jù)判別式符號(hào)判

斷對(duì)應(yīng)方程根的情況，然后結(jié)合相應(yīng)二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集.

(2)解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：

首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即判別式的符號(hào)進(jìn)行分類，最

后當(dāng)根存在時(shí)，再根據(jù)根的大小進(jìn)行分類.

【解析】?.,不等式ax?-bxT步的解集是，；.a<0,

32_

二方程ax?-bx-]=0的兩個(gè)根為」，-,--=1+1,—=/.a=-6,b=-5,

23a23a6

.e.x2_bx-a<C0,.'.X24-5X+6<C0,(x+2)(x+3)<0,...不等式的解集為：(-3：-2).

變式8：[2018湖南張家界市高三三?！恳阎螹={x|-l<x<2},

N={x|V一3<o},若McN={x[O<x<l},則機(jī)的值為()

A.1B.-1C.±1D.2

【解析】由超=卜|一1<工<2},雙=卜|——的<0},且〃八？={兄0<工<1},得

.V={x|0<x<l),又由，一血<0,貝必有ZH>0,且0<X<7M,所以Wl=l.故選A.

角度2:分式不等式解法

YIQ

例題9：[2018河南省平頂山高二第一學(xué)期期末調(diào)研】解不等式?丁J<2.

x2+2x-3

-2x2-3x+14

【解析】試題分析：移項(xiàng)通分得一---------<0,利用穿根法解不等式.

X2+2X-3

-2Y2-3Y+14(2x+7)(x-2]

試題解析：原不等式可化為---------<0,繼續(xù)化為^——^>0,其等價(jià)于

X2+2X-3(X+3)(X-1)

(7V7

x+—(x+3)(x-l)(x-2)>0..??原不等式的解為x<——或一3Vxvl或2

<2/2

ox+b

例題10：設(shè)關(guān)于%的不等式Q*+b>0的解集為｛%[%<1｝,則關(guān)于%的不等式②------40

x-x—G

的解集為.

【解析】???不等式or+b>0的解集為｛對(duì)％V1｝,,1是方程Q%+b=0的解，且QV0,

QX+ba(x-1)(x-1)

???Q+b=0(QV0),----------工0=7―\；>0,由標(biāo)根法得

X2-X-6(X-3)(X+2)(X-3)(X+2)

%>3或-2〈工工1,???原不等式的解集為(-2,1]U(3,+oo),故答案為(-2,1]U(3,+oo).

/一4x

變式9：設(shè)〃：------<0,q：x2—（2m+l）%+m24-m<0,若p是4的必要不充分

條件，則實(shí)數(shù)利的取值范圍為

d—4x

【解析】設(shè)p：---------40的解集為A,所以A二3?2gxV0或0VxW2},

2x

設(shè)q:x?—（2m+1）%+m2+,%4（）的解集為B,所以B={x|mWxgm+l},

由題知p是q的必要不充分條件，即得B是A的真子集，

m>0m+l<0.

所以有｛n0<加(1或｛n—2<m<—1.得m￡1一2,—l)D

fn+l<2m>-2L7

變式10：已知不等式二土;<0的解集為（一2,-1）,則二項(xiàng)式（以一二）展開式的常數(shù)

axI1yXJ

項(xiàng)是（）

A.-15B.15C.-5D.5

【分析】先將分式不等式右邊化零，化為以下四種類型之一再等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解

⑴^4>0o/(x)g(x)>。；⑵■^^<0o/(x)g(x)<。;

g(x)g⑴

⑶翳。。,C%⑷隙。T/(x)g(x)W。，

g(x)r0.

工+21

【解析】?.?不等式K<0的解集為（_2T）,.二m.二項(xiàng)式ax—的

展開式式的通項(xiàng)公式為4-=《工'"，令6-3尸=0,求得尸=2,可得展開式的常數(shù)項(xiàng)是C；=15.故選B.

角度3:絕對(duì)值不等式解法

例題11：解不等式：|2x+l|-2|x-l|>0

【解法一】原不等式可化為|2》+1]>2,一1|,兩邊平方得4/+4%+1>4（%2-2x+l）,

1…flA

解得X>—,所以原不等式的解集為一，+8.

4U）

1[1

【解法二】原不等式2'或12—一'或

—（2x+l）+2（x-l）>02x+l+2（x-l）>0

%>1,1

/、，解得了>一所以原不等式的解集為

2元+1—2（九一1）〉04

例題12：[2018四川資陽(yáng)高三4月模擬考試（三診）】已知函數(shù)/（x）=—國(guó)一歸+2|.

（1）解不等式/（力<-4;

b2,

（2）若正實(shí)數(shù)。，匕滿足a+/?=石，試比較"+1與〃x）+3的大小,并說(shuō)明理由.

【解析】⑴由題知國(guó)+|x+2]>4,

①當(dāng)x4—2時(shí)，一2犬一2>4,解得x<—3;②當(dāng)一2<x40時(shí)，2>4,矛盾，無(wú)解:

③當(dāng)x>0時(shí)，2x+2>4,x>l;所以該不等式的解集為{x|x<-3或x>l}.

(2)因?yàn)殁?卜+2月x-x—2|=2,當(dāng)且僅當(dāng)一24x40時(shí),取“=",

所以/(%)=—國(guó)_|%+2|?-2,即〃x)+34l.

又/+藝=生一2@+5=-(b2--y[5b]+5=-(b--45]+1>1.

444l5J4(5J

當(dāng),且僅當(dāng)a=^,人時(shí)取等號(hào).所以//(x)+3.

變式11:[2018貴州凱里市第一中學(xué)高三下學(xué)期《黃金卷》第三套】設(shè)函數(shù)

/(x)=|3x—<7|+|x—3|,g(x)=|%_[+3,其中々>0

(I)求不等式g(%)之區(qū)一5|的解集

(II)若對(duì)任意都存在/6R，?使得/(xj=g(w)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍

【解析】(I)不等式g(x)N|x-5|=|x—1|4-3>|X—5|=>I%—1|—|x—5|>—3

x<1、l<x<5x>5

則{^{x-l+x-5>-3或屋-1-x+52-3

1—x+x—52—3

333

解得：54冗(5或x>5,即x2,，所以不等式g(x)2|x—5|的解集為任1x2鼠.

(II)設(shè)/(x)的值域?yàn)镹,g(x)的值域?yàn)镸.對(duì)任意都存在々cR，使得

/(芭)=g(w)等價(jià)于：NjM,而g(x)e[3,+oo).

①當(dāng)a=9時(shí)，/(工)=|31一。|+|工一3|二4|工一3|20不滿足題意；

②當(dāng)()vav9時(shí)，/(x)=13x—-3|,由NqM得勺一3|之3,得

不滿足題意；

③當(dāng)a>9時(shí),/(x)=|3x-6z|+|x-3|>|-1—3|,由NqM得號(hào)一3|N3,得〃之18,滿

足題意；

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[18,+x)).

角度4:指數(shù)對(duì)數(shù)不等式解法

例題13：不等式0.3.+'+|>0.3-2/+5,的解集為.

【分析】簡(jiǎn)單的指數(shù)不等式(對(duì)數(shù)不等式)可以利用指數(shù)函數(shù)(對(duì)數(shù)函數(shù))的單調(diào)性求解.

(1)當(dāng)4>1時(shí)，

/(*)>y)o〉g(x),iogfl/(x)>logug(x)o/(x)>g(x)>0；

(2)當(dāng)0<。<1時(shí)，

a/(、)>。杰)o〃尤)<g⑴,logj(%)>log(/g(x)o0</(x)<g(x).

【解析】由于0v0.3<1,+x+1<—2x~+5x,整理得3x?—4x+1<0,解得—<x<1,

因此解集為

例題14：已知指數(shù)函數(shù))，=(▲),xe(O,+x))時(shí)，有y>l.

(1)求a的取值范圍：(2)解關(guān)于x的不等式logo(x-l)Wlog〃(x2+x-6).

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解得問(wèn)題的注意點(diǎn)：

(1)確定函數(shù)的定義域，所有問(wèn)題必須在定義域內(nèi)討論；

(2)分析底數(shù)與1的大小關(guān)系，底數(shù)大于1與底數(shù)小于1的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)截然不同.

(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性將問(wèn)題化為方程(或不等式)的問(wèn)題解決.

C1Y1

【解析】(1)?.?指數(shù)函數(shù)y=在xe(0,+8)時(shí)，有>>1,...一>1,又a>0,解得

0<a<l,.?.實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,1).

(2)由⑴得：k)g“(x—l)<k)g"(x2+x—6),J"'+"6

'r+x-6>0

解得2<%〈行，.?.不等式的解集為｛%|2<》式括｝.

變式12：已知/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且％之0時(shí)，/(x)=(-r，則不等式

/(x)>I的解集為

【解析】由題意得，當(dāng)北0時(shí)，/(x)=(|r,則不等式即(乎>；，解得m；又因

為函數(shù)/(x)是定義域?yàn)槲宓呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，/(x)=2x,則不等式即2*>g,解

得-1<x<0,所以不等式/(x)>1的解集為｛x|-l<x<l)

變式13：不等式/(x)?0(xwE)解集為［—1,2］,則不等式/(lgx)>0解集為

【解析】因?yàn)椴坏仁?(x)M0(xeK)的解集為［-L2］,則的解集為，(YO「1)U(Z??),則不

等式f(lgx)>0的解集為？或［拒，「，即［o<xJ或x>100］.

x>0x>010

變式14：函數(shù)/(x)(xeR)滿足/⑴=2且/(x)在R上的導(dǎo)數(shù)/'(%)滿足

/'(%)-3>0,則不等式/(log3x)<31og3x-l的解集為..

【解析】構(gòu)造函數(shù)F(x)=/(x)-3x,則F1(x)=f(x)-3>0,說(shuō)明尸(只在R上是增函數(shù)，且

F(l)=/(l)-3=-l.又不等式/(log3X)<31og3X-l可化為了(fogmx)-310g3工<一1，即

F(bg3x)<F(l),.-.log3x<L解得0<x<3.，不等式，(k>g3X)<31og3X-l的解集為(03).

變式15：若指數(shù)函數(shù)/(%)的圖象過(guò)點(diǎn)(-2,4),則/(3片；不等式

/(x)+f(rx)；的解集為.

_1

【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)為f(x)=罐(a>0且〃W1),Q-9=4=Q=—,

則f(x)+f(—x)<—n(一)'+2'<-n—<2'<2=>—1<x<1,解集是(—1,1).

題型三不等式恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題

角度1:不等式的恒成立問(wèn)題、恰成立、能成立問(wèn)題

例題15：若不等式(加一〃一])尤+2>0的解集是R,則利的范圍是()

A.[1,9)B.(1,9)C.(T?,1]D(9，*?)D.(-OO,1)D(9,一)

【分析】不等式ox'+b/H-c〉。的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)。=0時(shí)，b=Qyc>0：

a>0.,,

當(dāng)。工0時(shí)，｛不等式ar+/zrFc<0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)。=0時(shí),

A<0

a<0

b=Q,c<0；當(dāng)a#0時(shí)，｛

△<()

【解析】由題意得不等式(加一1)9+(m—1)l+2>0在R上恒成立.

①當(dāng)機(jī)=1時(shí)，不等式為2>0,不等式恒成立.符合題意.

m-1>0

②當(dāng)相wl時(shí)，由不等式恒成立得｛,、，，、，解得1<相<9.

(m-l)--8(zn-l)<0

綜上146<9,所以實(shí)數(shù)機(jī)的范圍是[1,9),故選A.

例題16：當(dāng)時(shí)，不等式丁+(。-4)1+4-2a>0恒成立，則x范圍為()

A.(-oo,l)u(3,+oo)B.(-oo,l)<j(2,+oo),C.(-oo,2)u(3,+oo)D.(1,3)

【解析】令/(“)=(x-2)a+x2-4%+4,則不等式V+(a-4)x+4—2a>0恒成立轉(zhuǎn)

化為/(a)>0在上恒成立，

則｛“[)>°=「(％—2)+/一以+4>0,整理得｛X：—5x+6>°,

/(1)>0X-2+X2-4X+4>0x2-3%+2>0

解得x<l或x>3,所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(TO,1)7(3,4w),故選A.

變式16：[2018福建閩侯第六中學(xué)高二上學(xué)期期末考】已知不等式◎〈以2+2^2對(duì)

任意xe[l,2],ye[4,5]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[-1,+<x>)B.[-6,+oo)C.[—28,+oo)D.[-45,+oo)

【解析】由題意可知：不等式DW<2￥2+2y2對(duì)任意xe[],2],y目4,5]恒成立，即：

a>—-2(—)2,對(duì)于任意xe[l,2],ye[4,5]恒成立，令，=2,則24江5」.役JZ?

在[2,5]上恒成立，y^-2r+t的對(duì)稱軸為，=g,且開口向下，.“=-2/+r在[[2,5]

單調(diào)遞減，，y“1ax——2x2"+2=—6,aN-6.故選B.

變式17：【2018廣東省珠海高一上.學(xué)期期末考】設(shè)函數(shù)/(x)=a？-2x+2,對(duì)于滿

足1<x<4的一切x值都有/(x)>0.則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【分析】主要考查二次函數(shù)的最值以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題.不等式恒成立問(wèn)題常

見方法：①分離參數(shù)恒成立可)或/(x)恒成立即

可)；②數(shù)形結(jié)合(y=/(x)圖象在y=g(x)上方即可)；③討論最值/(x%,,NO或

/(X)40恒成立；④討論參數(shù).本題就是利用方法①求得a的取值范圍的.

【解析】滿足l<x<4的一切x值，都有/(x)=ax2-2x+2>0恒成立，

2(%-i)「1<1iyl

可知aw0,，a>'、--=2——----,滿足1vx<4的一切％值恒成立，

%24\x2；

e(0,1,實(shí)數(shù)a的取值范圍是I；,+8)

角度2:恒成立與其他知識(shí)交匯

不等式恒成立問(wèn)題可以與其它知識(shí)產(chǎn)生交匯，如數(shù)列、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何、常用邏

輯用語(yǔ)等.

d—4x

例題17：設(shè)p：<0,q：Y一（2,w+l）x+m2+加<0,若p是q的必要不

充分條件，則實(shí)數(shù)利的取值范圍為

【解析】設(shè)P:反薩，0的解集為4二/=卜卜24:<<0或0<&42},

設(shè)q：/_（2掰+1）X+導(dǎo)+加40的解集為B,所以B={x|mSEm-l},由題知p是q的必要不充分條件,

即得B是A的真子集，所以有{祖>°OOCZHVI或{”+：。=>-2<m<-l.

m+l<2m>-2

例題18：已知函數(shù)在1i,i］上單調(diào)遞減，則0范圍是

【解析】V/(x)=x3+ax2-a2x+l,f\x)=3x2+2ax-a2.

又函數(shù)〃x）在［-1,1］上單調(diào)遞減，二/'（0=3/+20—“2<0在［-1,1］上恒成立,

/,(-l)=3-2a-?2<0u~+2tz-320

即，，解得aS—3或aN3.

,f(l)=3+2a-a2<0a2-2?-3>0

.??實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ro,—3］7［3,+8）

例題19：若不等式》2<上一1|+。的解集是區(qū)間（一3,3）的子集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【解析】不等式f+a等價(jià)于x2一,一［一。<0.設(shè)/（刈=%2—a.

./(-3)=5-?>0

?.?不等式x2<|x—1+a的解集是區(qū)間（一3,3）的子集,

■*/(3)=7-?>0'

：.a<5,故答案為（一8,5］.

變式18：已知命題pH%wR,說(shuō)+/+5<0.若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

【解析】由題意得命題p的否定為r?:VxwR,ar2+x+g>0.

91

，.,命題p是假命題，命題rp為真命題，即ax~+x+]>0在R上恒成立.

1a>01

①當(dāng)a=0時(shí)，x+—>0不恒成立；②當(dāng)awO時(shí)，則有{,解得。>一

2A=l-2a<02

綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(g,+co)

變式19：【2018山東濰坊第七中學(xué)高一上學(xué)期期中考試】下列命題中：

①集合A={x|0?x<3且xeN}的真子集的個(gè)數(shù)是8；

②函數(shù)〃x)=x2+(3a+l)x+2a在(ro,4)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的范圍是a4—3；

'3'

③已知函數(shù)y二羋一年？“^-"^<2),則函數(shù)的值域?yàn)橐?1：

④關(guān)于x的一元二次方程d+inx+Z加+1=0一個(gè)根大于1,一個(gè)根小于I,則實(shí)數(shù)機(jī)的取

2

值范圍加<一一.其中正確的有.(請(qǐng)把所有滿足題意的序號(hào)都填在橫線上)

3

【解析】①?.?集合/={x|0Wx<3且xe陰=他1」}…集合/的直子集是

式{0},{1}/2},{O[}」O.2}.{L2}共有7個(gè),①錯(cuò)誤.

②函數(shù)/(x)=/+(3a+l)x+%的圖象是開口向上，且以直線工=吾4為對(duì)稱軸的拋物線，若函數(shù)

〃*)=￥+(30+1拉+%在(94)上為激函數(shù)，則三匚"，解得a4—3,②正確.

③已知函數(shù)y=4、—42+1(-1〈元K2),令2*=(；WfW4),y=*-今+1,對(duì)稱軸是

t=2,當(dāng)t=2,取最小值—3；當(dāng)7=4時(shí)，取得最大值1,故值域是[-3,1],③錯(cuò)誤

④設(shè)函數(shù)/(x)=x2+mx+2m+\,則關(guān)于x一元二次方程無(wú)?+如+2m+1=0一個(gè)根大

2

于1,一個(gè)根小于1,則/(1)<0,即1+加+2〃?<0,得機(jī)<一§,④正確，答案②④

變式20：【2018四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三11月月考】已知/(x)是定義在R上的偶函

數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，若Vxe［a,a+1］,有/(x+a)之/(x)成立，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是

【解析】由題意可得/2(X)=〃2X),所以〃x+a)N/(x)即為〃x+a)2/(2x).

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是偶函數(shù)，故函數(shù)圖象關(guān)于P軸對(duì)稱，目在(Y\0)上單調(diào)遞減，在(0：+。)上單調(diào)遞增.所

以由〃x+a)2〃2x)可得卜+。|22國(guó)在［a,a+l］上恒成立，從而(x+af24/在［a：a+1］上恒成立,

化簡(jiǎn)得3"-25-犀40在［a：a+1］上恒成立，

設(shè)網(wǎng)x)=3*-2s0則有｛,解得。4-二，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是一0一二.

力(a+1)=4a+3W04I4

題型四基本不等式的常見用法

角度1:利用基本不等式求最值

(x+5)(x+2)的最小值為

例題20：設(shè)x＞—1,求函數(shù)y

X+1

(尤+5)(x+2)<4「jZ

【解析】考慮將分式進(jìn)行分離常數(shù),y---------------=尤+1+----+5,使用均值不守

x+1x+1

式可得：y>2J(x+l)--^-+5=9,等號(hào)成立條件x+l=4

nx=l,最小值為9

Vx+1X+1

4

例題21：已知2a＞力＞0,則。+----------的最小值為

bQa—b)

【解法一】所求表達(dá)式為和式，故考慮構(gòu)造乘積為定值以便于利用均值不等式，分母為

b(2a-b),所以可將a構(gòu)造為;+三項(xiàng)使用均值不等式即可。

418

。+---------=一(2。一。)+0+>--33(2a-b)-b——--=3

b(2a-b)2b(2a—b)2Vb(2a-b)

【解法二】觀察到表達(dá)式中分式的分母。(2。一人)，可想到作和可以消去匕，

b+(2a-b)=a2,從而a+——-——>a+^,

可得"2。一b)4

~1b(2a-b)

4

設(shè)/(a)=a+F，可從函數(shù)角度求得最小值(利用導(dǎo)數(shù)),

也可繼續(xù)構(gòu)造成乘積為定值：f(a)=-+-+^、ca4

N3?/一,一=3

八，22a222a2

變式21：已知a,〃都是負(fù)實(shí)數(shù)，則一^+一也的最小值是______

a+2ba+b

22

a_____b__|____a__+—2_ab+2bt—]__a_b_________A___—]_1__________

ci4-2ha+ba2+3ah+lb1a2+3ah+2h2a\^\3

ba

八十』皿

fab口a2bla2bnr

a,〃v()—,一ZE正實(shí)數(shù)，—I-----22J—>—=2>/2

haha\ba

ab一去

---------4----------21=l_(3-2&)=2夜-2

a+2ba+b

變式22：已知x,y,zwR+,則〃=2孫,的最大值是________

f+y2+大

【解析】本題變量個(gè)數(shù)較多且不易消元，考慮利用均值不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，要求得最值則需要

分子與分母能夠?qū)⒆兞肯?，觀察分子為孫，”均含y,故考慮將分母中的V拆分與J,z?

搭配，即〃=一「二）Jxy+yz

x+y_+Z

而爐十之；22

3^2,f.y2