人口指數(shù)增長模型及Logistic模型

./根據(jù)美國人口從1790年到1990年間的人口數(shù)據(jù)〔如下表,確定人口指數(shù)增長模型和Logistic模型中的待定參數(shù),估計出美國20XX的人口,同時畫出擬合效果的圖形。表1美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)年份1790180018101820183018401850人口<×106>3.95.37.29.612.917.123.2年份1860187018801890190019101920人口<×106>31.438.650.262.976.092.0106.5年份193019401950196019701980人口<×106>123.2131.7150.7179.3204.0226.5提示：指數(shù)增長模型：Logistic模型：解：模型一:指數(shù)增長模型。Malthus模型的基本假設下,人口的增長率為常數(shù),記為r,記時刻t的人口為,〔即為模型的狀態(tài)變量且初始時刻的人口為,因為由假設可知經(jīng)擬合得到：程序：t=1790:10:1980;x<t>=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5];y=log<x<t>>;a=polyfit<t,y,1>r=a<1>,x0=exp<a<2>>x1=x0.*exp<r.*t>;plot<t,x<t>,'r',t,x1,'b'>結果：a=0.0214-36.6198r=0.0214x0=1.2480e-016所以得到人口關于時間的函數(shù)為：,其中x0=1.2480e-016,輸入：t=2010;x0=1.2480e-016;x<t>=x0*exp<0.0214*t>得到x<t>=598.3529。即在此模型下到20XX人口大約為598.3529。模型二：阻滯增長模型〔或Logistic模型由于資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,人口增長到一定數(shù)量后,增長率會下降,假設人口的增長率為x的減函數(shù),如設,其中r為固有增長率<x很小時>,為人口容量〔資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量,于是得到如下微分方程：建立函數(shù)文件curvefit_fun2.mfunctionf=curvefit_fun2<a,t>f=a<1>./<1+<a<1>/3.9-1>*exp<-a<2>*<t-1790>>>;在命令文件main.m中調(diào)用函數(shù)文件curvefit_fun2.m%定義向量〔數(shù)組x=1790:10:1990;y=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976...92106.5123.2131.7150.7179.3204226.5251.4];plot<x,y,'*',x,y>;%畫點,并且畫一直線把各點連起來holdon;a0=[0.001,1];%初值%最重要的函數(shù),第1個參數(shù)是函數(shù)名〔一個同名的m文件定義,第2個參數(shù)是初值,第3、4個參數(shù)是已知數(shù)據(jù)點a=lsqcurvefit<'curvefit_fun2',a0,x,y>;disp<['a='num2str<a>]>;%顯示結果%畫圖檢驗結果xi=1790:5:2020;yi=curvefit_fun2<a,xi>;plot<xi,yi,'r'>;%預測20XX的數(shù)據(jù)x1=2010;y1=curvefit_fun2<a,x1>holdoff運行結果：a=311.95310.02798178y1=267.1947其中a<1>、a<2>分別表示中的和,y1則是對美國美國20XX的人口的估計。第二題：問題重述：一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生,打算按照放生的魚的重量給與鼓勵,俱樂部只準備了一把軟尺用于測量,請你設計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假定魚池中只有一種鱸魚,并且得到8條魚的如下數(shù)據(jù)〔胸圍指魚身的最大周長：身長<cm>36.831.843.836.832.145.135.932.1重量<g>76548211627374821389652454胸圍<cm>24.821.327.924.821.631.822.921.6問題分析：鱸魚的體重主要與魚的身長、胸圍有關系。一般來說,鱸魚的胸圍越大,魚的體重會越重,身長越長,體重也越重。但魚的胸圍與身長之間又有些必然的聯(lián)系,共同影響魚的體重。建模的目的是尋求鱸魚體重與身長、胸圍之間的數(shù)量規(guī)律模型假設：1、鱸魚的身長越長體重越重,體重與身長存在正相關關系；2、鱸魚的胸圍越大體重也越重,體重與胸圍存在正相關的關系；3、鱸魚的胸圍、身長互相影響,共同作用鱸魚的體重；4、鱸魚的形態(tài)近似為與胸圍等周長與身長等高的圓柱體。符號說明：鱸魚的身長鱸魚的胸圍鱸魚的體重模型的建立及求解：〔一、鱸魚體重與身長模型的確立為了研究鱸魚身長與體重的關系,我們利用已測量的數(shù)據(jù),取出身長及體重的數(shù)據(jù),利用MATLAB軟件畫出散點圖,如下：從圖形上看,鱸魚的體重與身長可能是二次函數(shù)關系,我們利用多項式擬合的方法,得到：<1>根據(jù)擬合的函數(shù),我們畫出擬合圖：從擬合圖上看,大部分原始數(shù)據(jù)在擬合函數(shù)附近,說明用二次函數(shù)擬合的效果較好,下面利用得出的函數(shù)對魚的體重進行估計,用相對誤差檢驗擬合度,得到下表：表一、鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表身長〔cm>31.832.132.135.936.836.843.845.1重量〔g>48248245465273776511621389擬合值〔g466.6479.9479.9674.4727.3727.31228.81339.4相對誤差〔%3.20.445.73.444.935.753.570.86從表中的數(shù)據(jù),我們可以得出鱸魚體重的實際值與估計值的相對誤差不大,說明用二次函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關系式可行的?！捕Ⅶ|魚體重與胸圍的模型確立僅僅考慮鱸魚胸圍對體重的影響,我們采用與模型一相同的方法,先畫出鱸魚體重與胸圍的散點圖：從圖形上看,鱸魚體重與胸圍可能成線性關系,利用多項式擬合的方法,我們得到鱸魚體重與胸圍的函數(shù)表達式：<2>根據(jù)擬合函數(shù)〔2,畫出胸圍與體重關系的擬合圖：利用擬合函數(shù)及實際數(shù)據(jù),求出實際值與擬合值得相對誤差表：表二、鱸魚體重實際值與估計值對比及誤差表胸圍〔cm21.321.621.622.924.824.827.931.8重量〔g>48248245465273776511621389擬合值〔cm462.1489.7489.7609.3784.1784.11069.31428.1相對誤差〔%4.131.607.866.556.392.507.982.81從鱸魚胸圍與體重的擬合圖,及表二中的數(shù)據(jù),我們可以得出用線性函數(shù)擬合胸圍與體重的關系擬合程度高,鱸魚體重的實際值與估計值的相對誤差不大,說明用線性函數(shù)擬合鱸魚身長與體重的關系式可行的?！踩?、建立體重與身長、胸圍相互影響的模型實際情況下,鱸魚的體重不可能只由身長、胸圍單方面影響,因此考慮建立身長、胸圍共同作用體重的模型。此模型的建立是基于假設⑶,〔4,即：鱸魚的體態(tài)用與胸圍等周長,與身長等高的圓柱形來近似。因為圓柱體的體積等于底面積乘高,底面積可以用周長表示：.因此可以分析得出.又物體質(zhì)量等于密度與體積的乘積,因此只需根據(jù)數(shù)據(jù)求出密度即可。于是身長、胸圍與體重的關系可以表示為：,問題轉化為對系數(shù)的求解。根據(jù)已知數(shù)據(jù),利用MATLAB軟件求解,得到：0.0327〔3因此,〔4利用得出的函數(shù)對魚的體重進行估測并列如下表：表三、重量估計值及相對誤差重量