最全的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

J與質(zhì)量大小、質(zhì)量分布、轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)演示程序：影響剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的因素質(zhì)量離散分布的剛體質(zhì)量連續(xù)分布的剛體dm為質(zhì)量元，簡(jiǎn)稱質(zhì)元。其計(jì)算方法如下：質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布5.3定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2021/5/91例題1求質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)棒對(duì)下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直。有將代入上式，得：解：(1)在棒上離軸x處，取一長度元dx（如圖所示），如果棒的質(zhì)量線密度為，則長度元的質(zhì)量為dm=dx，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式：2021/5/92（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并與棒垂直時(shí)OAldxx2021/5/93例題2）半徑為R的質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，質(zhì)量均為m，試分別求出對(duì)通過質(zhì)心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。R2021/5/94例題3求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為h的均質(zhì)圓盤對(duì)通過盤心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。dm為薄圓環(huán)的質(zhì)量。以表示圓盤的質(zhì)量體密度解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環(huán)組成。取任一半徑為r，寬度為dr的薄圓環(huán)，此薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2021/5/95代入得J與h無關(guān)一個(gè)質(zhì)量為m、半徑為R的實(shí)心圓柱體對(duì)其中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也與上述結(jié)果相同。2021/5/96例4）求一質(zhì)量為m的均勻?qū)嵭那驅(qū)ζ湟粭l直徑為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：一球繞Z軸旋轉(zhuǎn)，離球心Z高處切一厚為dz的薄圓盤。其半徑為其體積：其質(zhì)量：其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：YXZORrdZZ2021/5/972021/5/98（2）薄板的正交軸定理yxzo（1）平行軸定理dJCJDC2021/5/99常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2021/5/910解:受力分析取任一狀態(tài),由轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題1一長為l,質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置,其下端與一固定鉸鏈o相連,并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí),細(xì)桿將在重力的作用下由靜止開始繞鉸鏈o轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)到與鉛直線呈角時(shí)的角加速度和角速度.Po2021/5/911初始條件為：=0，=02021/5/912例題2一個(gè)質(zhì)量為M，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩。繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落h高度時(shí)的速度和此時(shí)滑輪的角速度。對(duì)物體m，由牛頓第二定律，滑輪和物體的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系為解：對(duì)定滑輪M，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，對(duì)于軸O，有2021/5/913物體下落高度h時(shí)的速度這時(shí)滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為2021/5/914圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：純滾動(dòng)條件為：圓柱對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：例題3一質(zhì)量為m、半徑為R的均質(zhì)圓柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線與圓柱中心軸線的垂直距離為l，如圖所示。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。lFacbf解：設(shè)靜摩擦力f的方向如圖所示，則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程2021/5/915聯(lián)立以上四式，解得：由此可見，靜摩擦力向前。時(shí)，當(dāng)02<>fRl，靜摩擦力向后；時(shí)，當(dāng)02><fRl2021/5/916例一靜止剛體受到一等于M0（N.m)的不變力矩的作用,同時(shí)又引起一阻力矩M1，M1與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度成正比,即|M1|=

a(Nm),(a為常數(shù))。又已知?jiǎng)傮w對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,試求剛體角速度變化的規(guī)律。M+M0M1已知：M0M1=–aJ|t=0=0求：（t）=？解：1）以剛體為研究對(duì)象；2）分析受力矩3）建立軸的正方向；4）列方程：J2021/5/917M+M0M1=–a解：4）列方程：分離變量：2021/5/918例）設(shè)一細(xì)桿的質(zhì)量為m，長為L，一端支以樞軸而能自由旋轉(zhuǎn)，設(shè)此桿自水平靜止釋放。求：1）當(dāng)桿與鉛直方向成角時(shí)的角加速度：2）當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)的角速度：

3)當(dāng)桿過鉛直位置時(shí)，軸作用于桿上的力。已知：m，L求：，，N解：1）以桿為研究對(duì)象受力：mg，N（不產(chǎn)生對(duì)軸的力矩）建立OXYZ坐標(biāo)系ZNmgYXOL2021/5/919建立OXYZ坐標(biāo)系（并以Z軸為轉(zhuǎn)動(dòng)量的正方向）ZmgYXON故取正值。沿Z軸正向，L2021/5/9202）=？?jī)蛇叿e分：ZmgYXON2021/5/9212）=？3）求N=？軸對(duì)桿的力，不影響到桿的轉(zhuǎn)動(dòng)，但影響質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，故考慮用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理來解。ZmgYXON2021/5/922ZNmgmgNNYNX3）求N=？寫成分量式：CYXONC求N，就得求，即C點(diǎn)的加速度，現(xiàn)在C點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，可分為切向加速度和法向加速度但對(duì)一點(diǎn)來說，只有一個(gè)加速度。故這時(shí)：….實(shí)際上正是質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)