初等變換與初等矩陣演示文稿

初等變換與初等矩陣演示文稿1當(dāng)前第1頁\共有34頁\編于星期五\18點2（優(yōu)選）第六講初等變換與初等矩陣當(dāng)前第2頁\共有34頁\編于星期五\18點一、分塊矩陣——1.分塊矩陣的概念將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣如第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第3頁\共有34頁\編于星期五\18點2.分塊矩陣的運算規(guī)則

分塊矩陣運算把握2點，第一，子塊當(dāng)元素看可運算，第二，子塊當(dāng)矩陣看也可運算。如：設(shè)矩陣A與B為同型矩陣，采用相同的分塊法，有其中與為同型矩陣，那么第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第4頁\共有34頁\編于星期五\18點4.分塊對角矩陣：設(shè)A

為n階矩陣，如果A的對角線分塊矩陣為方陣，且只在對角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，即其中都是方陣，那么稱為分塊對角矩陣。分塊對角矩陣有下列性質(zhì)：（b）若則并有（a)OO第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第5頁\共有34頁\編于星期五\18點若且子塊均可逆，則B可逆，且同理，容易驗證如下結(jié)論第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第6頁\共有34頁\編于星期五\18點3.分塊運算的作用1.分塊運算使得矩陣結(jié)構(gòu)簡單，利于詮釋一些問題和概念記如按分塊矩陣的記法或利用矩陣乘法，此方程組可記作將B按列分塊第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第7頁\共有34頁\編于星期五\18點若將系數(shù)矩陣A

按行分成m

塊，則線性方程組可記作這就相當(dāng)于把每個方程記作若將系數(shù)矩陣A

按列分成n

塊，則線性方程組可記作即第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第8頁\共有34頁\編于星期五\18點例1（2004、4）第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第9頁\共有34頁\編于星期五\18點第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第10頁\共有34頁\編于星期五\18點第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第11頁\共有34頁\編于星期五\18點第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第12頁\共有34頁\編于星期五\18點（1）行階梯形矩陣及其特點（i）可畫出一條階梯線，每個臺階只有一行，（ii）階梯的首元非零，階梯下全為零。二、幾類特殊矩陣——行階梯、行最簡與標(biāo)準(zhǔn)型矩陣（2）行最簡形矩陣及其特點（i）是一個行階梯形矩陣；（ii）非零行的第一個非零元為1，該元素所在的列的其它元素都為0，如：為行最簡形矩陣第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第13頁\共有34頁\編于星期五\18點（3）矩陣的標(biāo)準(zhǔn)型形如其中為

r

階單位矩陣。的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，如：就是一個標(biāo)準(zhǔn)形矩陣第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第14頁\共有34頁\編于星期五\18點簡要概括特點：

1.行階梯的3個特點：1.畫成階梯，且每階梯首元不為0；2.每階梯1行；3.階梯下全為0。

2.行最簡3個特征：1.是行階梯；2.首元為1，3.1所在列余元為0變換的逆變換就是本身；變換的逆變換是（或記作）；2.初等變換性質(zhì)1）可逆性：即矩陣的三種初等變換都是可逆的變換的逆變換是或記作）。三、初等變換1.定義第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第15頁\共有34頁\編于星期五\18點2）等價性：矩陣之間的等價關(guān)系具有下列特征：（i）反身性A~A；（ii）對稱性若A~B，則B~A；（iii）傳遞性若A~B，B~C，則A~C.如果矩陣A

經(jīng)有限次初等變換變成矩陣

B，就稱矩陣A

與矩陣B等價，記作A~B.3.初等變換的作用：（1）一個矩陣的行最簡形矩陣是唯一確定的；（2）一個矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的。矩陣A行階梯形矩陣和行最簡形矩陣；有限次初等行變換1.2.對行最簡形矩陣施以初等列變換，可以變成標(biāo)準(zhǔn)形。即第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第16頁\共有34頁\編于星期五\18點例如：第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第17頁\共有34頁\編于星期五\18點3.如果把線性方程組的系數(shù)與常數(shù)看成一個線性方程組的增廣矩陣，則初等變換與方程組的代數(shù)消元法完全一致。就是說，經(jīng)過初等行變換，增廣矩陣表示的線性方程與原方程組同解。如方程組：這一方程組與原方程組同解第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第18頁\共有34頁\編于星期五\18點例1:化成行最簡形.設(shè)把解:第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第19頁\共有34頁\編于星期五\18點四、初等矩陣的概念定義4由單位矩陣

E

經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。（1）對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列：注意記法：E(i,j)把單位矩陣中第i,j兩行對調(diào)(),得初等矩陣第i

行第j

行初等矩陣分3類1.初等矩陣的概念第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第20頁\共有34頁\編于星期五\18點（2）以數(shù)k≠0

乘某行或某列以數(shù)k≠0乘單位矩陣的第

i

行（），得初等矩陣第i

行第i

行第j

行（3）以數(shù)k

乘某行（列）加到另一行（列）上去第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第21頁\共有34頁\編于星期五\18點（1）變換的逆變換就是其本身，則（2）變換的逆變換是，則（3）變換的逆變換是，則初等變換對應(yīng)著初等矩陣，由初等變換可逆知初等矩陣可逆，且初等變換的逆變換對應(yīng)著相應(yīng)初等矩陣的逆矩陣：2.初等矩陣的可逆性第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第22頁\共有34頁\編于星期五\18點1.A的1次初等行變換是A的左邊乘一個初等矩陣五、初等變換與初等矩陣，初等矩陣與逆矩陣（這里僅就第一類兩行互換與第三類行初等變換的情形給出證明）第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第23頁\共有34頁\編于星期五\18點證明：設(shè)A經(jīng)過一次第3類行初等變換rij（k）后變成B，記作：A~B，這B也是m*n陣，將A、B按行分塊，則有第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第24頁\共有34頁\編于星期五\18點第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第25頁\共有34頁\編于星期五\18點定理：方陣

A

可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣2.任一可逆矩陣均是k個初等矩陣之積1)充分性：若存在有限個初等矩陣證:第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第26頁\共有34頁\編于星期五\18點2)必要性：設(shè)A可逆，因任何矩陣經(jīng)初等變換均可變成初等矩陣，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為F,則F經(jīng)有限次初等變換可以變成A,由定理1，即存在有限個初等矩陣第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第27頁\共有34頁\編于星期五\18點由該定理，顯然可推出如下重要結(jié)論：推論：系列初等行變換恒等于一可逆矩陣五、系列初等行變換等同于A左邊乘一可逆矩陣第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第28頁\共有34頁\編于星期五\18點第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第29頁\共有34頁\編于星期五\18點同樣討論列的情況：可得到如下結(jié)論：初等列變換第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第30頁\共有34頁\編于星期五\18點例2設(shè)求解第六講：分塊矩陣、初等變換與初等矩陣當(dāng)前第31頁\共有34頁\編于星期五\18點所以5.用初等變換求解方程組我們采用利用初等變換求逆矩陣同樣的辦