同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件包含習(xí)題exec

b

y=f1x)y=f2x)A=af1x-

qA=

br

x-

22a

obar=r2q)bV=b

f2x-

2a

y=f1x)y=f2x) bV=aAxb

dw=FxdxbW=aFxb dP=ggxAxdx,ba P=ggAxdx.a 求兩條拋物線x=5y2,x=1+y2所圍平面圖 ,

,y=–

51=1+

2M y1

x=5323

42x=1+A=20

+y2-5y2= 求曲線y=lnx2￡x￡的一條切線，使得該直線與x=2,x=6及y=lnx圍成的面積為最小。 設(shè)切點(diǎn)為,lnx則切線方程y-lnx=1x-xyy=yy=lno 6x y=x+lnx-6 A=2x+lnx-1-lnx 6 = +xlnx-xln 4x=4lnx++2ln2-6lnx dA=41-4=0,x= xx2 x4,dA0,x4,dA0,所以x4 y-ln4=1x-4 求心形線r=1-cosq與圓盤r￡cosq圍成的 p p p A=2A=

1-cosq)dq+ p p1+cos2q

dq+ =3q-2sinq+1sin2q3+1q+1sin2q00=7-

3例 證明由平面圖形0￡a￡x￡b,0￡y￡fybV=2paxfx證在區(qū)間xxDxyyyyy=fx)o x其邊長(zhǎng)為2xp,f厚度為dx,dV=2pxfxdxbV=2pab

x例 設(shè)曲

y=sinx0￡x￡

,y=1,x=2 2 圍成平面圖形為D，試求平面圖形繞xp2yy1y=sinoxy1y=sinox dV=p - -arcsiny 10 V=pparcsin10

y=sinp

2px-x2

s0 =p2x-px2nx -p2p-2xsin0p3p=+psxp4

y1yy1y=sinox 0p

p3cosxdx -p2+ “剝皮法”以x1sinxpx，厚度為dx2dV=1-sinxpp-x p

y1y=y1y=sin xxV=21-sinxp pux,2pV=2p2u1-cosu0p 2 -usinu-2 p3p=-p2+4例 求由曲線y3=x2,y

2A= 0

-x3

y=2-11

5

y3=

A1,1)2

+arcsinx-x3 2 ⑵平面圖形的周長(zhǎng)等于OAC長(zhǎng)度的 -11+yS= dx= 1+ 1+y x3 x3=

dx=x3+

91+y1+y12-

=

dx

0=

1 22

2arcsin20

=24S=2

-8

p=

2-16 22 2

V=

1y

-y2 =

42-x2-x

dx

202

y=2- y3=C

A1,1) S=b2p 1+y2aS1

1+y20

y=fx)11

2 1

= 2dx= 1S2=1

1+y2dx=121121 =2p1x 01

9

yy=2-t=

6p1t30

t2

9

y3=

A1,1)

13+64C C2S=4p2

例 一開口容器的側(cè)面和底面分別由曲線弧yx2-1￡x￡y00￡x￡軸旋轉(zhuǎn)而成，坐標(biāo)軸長(zhǎng)度單位為m，現(xiàn)以2m3由題設(shè)，當(dāng)x2y

V=p +1dy

y+1dy,

=pH+1)

2

pHH=2

=4m/min 解設(shè)底邊的寬度為2a,兩腰的長(zhǎng)度為2l,q,2a+2l=8,l=4-4-4-a2-y=tanqx+

=168a,yx+lq V=

016-

x+a

dx

2pa6-8a- -3a3=即當(dāng)a=,l3 y=10-23oxoxx+xydW=gpy2dx 3=xgrp10-x3 x2xW=xg0

10

pgr 100x- 57697.5kJ

在x軸上，從原點(diǎn)到點(diǎn)P0有一線密度為常數(shù)為r的細(xì)棒，在點(diǎn)A0,a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求⑵當(dāng)lfi+￥ 建立坐標(biāo)系如圖。對(duì)應(yīng),x+的引力為dF大小為 mrdx

A0,adF=k

+

Pl,0) x x2+x2+

kdFx

a

dFx2+x2+

3/2dFy=

dF=

3/2aa2+laa2+ll2+lFl2+l

3/2dx=

-a

lFy=l

x=atandx 3/ dx

acos0

a2+l=-a2+la2 a2 22a2+lxx+yF

a2+la2+l ⑵當(dāng)lfi+￥

+a2lFfikmr,Ffi-kmr

fi2kmr,tanafi1,afip xy2,y成的面積

y2x在y4

xr=1cosq與圓盤r￡cosq的公共設(shè)一立體,其底為xOy平面上由y=x2-1,y=0圍成 等邊三角形,求立體體積4.設(shè)曲線ysinx0￡x￡p,y=1x0圍成平面圖形 2 求平面圖形繞x

2旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積yx2-1￡x￡2)y0￡x￡繞y軸旋轉(zhuǎn)而成（單位:m）,線以2m3/min的速度向容器內(nèi)注水, 設(shè)底半徑為R,高為H且頂點(diǎn)在下方的 把容器內(nèi)的水全部抽出,需作多少功?兩細(xì)棒的線密度均為常數(shù)其長(zhǎng)度分別為a,.棒放在同一水平線上,距離為c求兩棒之間的引力.1

8 x2S=02x-xdx+2x-4dx=21-ln2 21 p1

pS=

1 3=7p-0V=0

1x

-12dx= V