高中數(shù)學(xué)校本課程《趣味數(shù)學(xué)》精編版

PAGE序言數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)科學(xué)，一切自然科學(xué)都離不開數(shù)學(xué)嚴(yán)密的計(jì)算和推理，數(shù)學(xué)也是人文科學(xué)和邏輯思維的基礎(chǔ)。趣味數(shù)學(xué)是以傳統(tǒng)的課堂教學(xué)為基礎(chǔ)，以開放，創(chuàng)新的思維模式，集中體現(xiàn)了素質(zhì)教育思想，立足培養(yǎng)興趣，旨在提高成績，通過講，學(xué)，練這一科學(xué)有效的訓(xùn)練方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和教學(xué)思維。立足基礎(chǔ)知識，結(jié)合教學(xué)實(shí)際，博采眾長，寓理于例，重在思維訓(xùn)練，并加以適合的延伸和拓展，以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，啟發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力和思維能力，愛學(xué)，樂學(xué)，增強(qiáng)孩子的學(xué)習(xí)主動性，提高學(xué)生思維的敏捷性，靈活性，準(zhǔn)確性和深刻性是我們的宗旨和目標(biāo)。“千里之行，始于足下”愿廣大學(xué)生在汗水中積累知識，在靈感中啟迪智慧，在和諧中走向成功！目錄第一部分：課程目標(biāo)第二部分：課程的組織形式與實(shí)施計(jì)劃第三部分：課程內(nèi)容簡介第1講集合中的趣題—“集合”與“模糊數(shù)學(xué)………………第2講函數(shù)中的趣題—一份購房合同…………第3講函數(shù)中的趣題—孫悟空大戰(zhàn)牛魔王……第4講三角函數(shù)的趣題—直角三角形…………第5講三角函數(shù)的趣題—月平均氣溫問題……第6講數(shù)列中的趣題—柯克曼女生問題………第7講數(shù)列中的趣題—數(shù)列的應(yīng)用……………第8講不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題―兩邊夾不等式的推廣及趣例……第9講不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題―均值不等式的應(yīng)用………………第10講立體幾何趣題—正多面體拼接構(gòu)成新多面體面數(shù)問題…第11講立體幾何趣題—球在平面上的投影………第12講解析幾何中的趣題―神奇的莫比烏斯圈……第13講解析幾何中的趣題―最短途問題……………第14講排列組合中的趣題―抽屜原理………………第15講排列組合中的趣題―摸球游戲………………第16講概率中的趣題………………第17講簡易邏輯中的趣題…………第18講解數(shù)學(xué)題的策略……第四部分：課程評價(jià)第一部分：課程目標(biāo)1.啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；2.能利用一次函數(shù)及其圖象解決簡單的實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.3.體會數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值．4.探索直角三角形在生活中應(yīng)用，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用。5.通過有關(guān)數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)列的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。它要求教師給學(xué)生提供研究的問題及背景，讓學(xué)生自主探究知識的發(fā)生發(fā)展過程6．了解均值不等式在日常生活中的應(yīng)用，訓(xùn)練學(xué)生空間想象能力，動手動腦能力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣，培養(yǎng)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納猜想和發(fā)現(xiàn)的能力，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生去探求事物的內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系．第二部分：課程的組織形式與實(shí)施計(jì)劃1、組織形式：校本課程的開課以自選班為單位安排在“地方與我校課程”課時(shí)中進(jìn)行，具體教學(xué)時(shí)間是每周一節(jié)課，也可以進(jìn)行集中安排（如考察、社會實(shí)踐等活動）。2、課程實(shí)施：1）校本課程由我校教師開發(fā)，只有講義，學(xué)生不需要教材，減輕學(xué)生的經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)，體現(xiàn)“以生為本”的教學(xué)理念。2）授課教師結(jié)合我校的校本課程，依據(jù)學(xué)生層次特點(diǎn)、接受能力等可以適當(dāng)補(bǔ)充材料，逐步實(shí)施，并在實(shí)施中進(jìn)一步完善教材內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)問題，及時(shí)反思，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。3）任課教師精心備課，準(zhǔn)備資料，設(shè)計(jì)好教學(xué)過程，按時(shí)上好校本課程，并及時(shí)對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況做出評價(jià)。4）教學(xué)過程中所需材料、設(shè)備、設(shè)施由學(xué)校統(tǒng)一安排。學(xué)生需要外出調(diào)查、參觀時(shí)，由學(xué)校出面聯(lián)系，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)和班主任、任課教師一起帶領(lǐng)學(xué)生外出，確保師生安全。第三部分：課程內(nèi)容第1講集合中的趣題——“集合”與“模糊數(shù)學(xué)”教學(xué)目標(biāo)：啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題；教學(xué)過程：一、情境引入1965年，美國數(shù)學(xué)家扎德發(fā)表論文《模糊集合》，開辟了一門新的數(shù)學(xué)分支——模糊數(shù)學(xué)。二、實(shí)例嘗試，探求新知模糊數(shù)學(xué)是經(jīng)典集合概念的推廣。在經(jīng)典集合論當(dāng)中，每一個(gè)集合都必須由確定的元素構(gòu)成，元素對于集合的隸屬關(guān)系是明確的，這一性質(zhì)可以用特征函數(shù)：來描述。扎德將特征函數(shù)改成所謂的“隸屬函數(shù)”，這里A稱為“模糊函數(shù)”，稱為x對A的“隸屬度”。經(jīng)典集合論要求隸屬度只能取0，1二值，模糊集合論則突破了這一限制，=1時(shí)表示百分之百隸屬于A；=0時(shí)表示不屬于A還可以有百分之二十隸屬于A，百分之八十不隸屬于A……等等，這些模糊集合為對由于外延模糊而導(dǎo)致的事物是非判斷上的上的不確性提供了數(shù)學(xué)描述。由于集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重基石,因此,模糊數(shù)學(xué)的概念對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了廣泛的影晌，人們將模糊集合引進(jìn)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，從而出現(xiàn)了模糊拓?fù)?、模糊群論、模糊測度與積分、模糊圖論等等，它們一起形成通常所稱的模糊數(shù)學(xué)，模糊數(shù)學(xué)是20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展中的新新事物，它在理論上還不夠成熟，方法上也未臻統(tǒng)一，它將隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展而進(jìn)一步發(fā)展。例1、學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動會，某班有8名同學(xué)參加，又舉辦了一次球類運(yùn)動會，這個(gè)班有12名同學(xué)參加，那么這兩次運(yùn)動會這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽？⑴如果有5名同學(xué)兩次運(yùn)動會都參加了，問這兩次運(yùn)動會這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽？⑵如果每一位同學(xué)都只參加一次運(yùn)動會,問這兩次運(yùn)動會這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽？解析：可能有的同學(xué)兩次運(yùn)動會都參加了，因此，不能簡單地用加法解決這個(gè)問題。因?yàn)檫@5名同學(xué)在統(tǒng)計(jì)人數(shù)時(shí)，計(jì)算了兩次，所以要減去．8

+

12

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5

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15．8

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12

=

20.這兩次運(yùn)動會這個(gè)班共有20名同學(xué)參賽.三、本課小結(jié)通過“模糊數(shù)學(xué)”了解到數(shù)學(xué)的發(fā)展是靠堅(jiān)忍不拔的意志，實(shí)事求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神而進(jìn)步的。四、作業(yè)下列各組對象能否形成集合？（1）高一年級全體男生；（2）高一年級全體高個(gè)子男生；（3）所有數(shù)學(xué)難題；（4）不等式的解；第2講函數(shù)中的趣題——一份購房合同教學(xué)目標(biāo)：能利用一次函數(shù)及其圖象解決簡單的實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.教學(xué)過程：一、情境引入最早把"函數(shù)"（function）這個(gè)詞用作數(shù)學(xué)術(shù)語的數(shù)學(xué)家是萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz，1646-1716，德國數(shù)學(xué)家），但其含義和現(xiàn)在不同，他把函數(shù)看成是"像曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長度、垂線長度等所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量".1718年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰。貝努利（JohnBernoulli，1667-1748，歐拉的數(shù)學(xué)老師）將函數(shù)概念公式化，給出了函數(shù)的一個(gè)定義，同時(shí)第一次使用了"變量"這個(gè)詞。他寫到："變量的函數(shù)就是變量和變量以任何方式組成的量。"他的學(xué)生，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonardEuler，1707-1783，被稱為歷史上最"多產(chǎn)"的數(shù)學(xué)家）將約翰。貝努利的思想進(jìn)一步解析化，他在《無限小分析引論》中將函數(shù)定義為："變量的函數(shù)是一個(gè)由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式"，歐拉的函數(shù)定義在18世紀(jì)后期占據(jù)了統(tǒng)治地位。二、實(shí)例嘗試，探求新知例1、陳老師急匆匆的找我看一份合同，是一份下午要簽字的購房合同。內(nèi)容是陳老師購買安居工程集資房72m2,單價(jià)為每平方米1000元，一次性國家財(cái)政補(bǔ)貼28800元，學(xué)校補(bǔ)貼14400元，余款由個(gè)人負(fù)擔(dān)。房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實(shí)行分期付款，每期為一年，等額付款，分付10次，10年后付清，年利率為7.5%,房地產(chǎn)開發(fā)公司要求陳老師每年付款4200元，但陳老師不知這個(gè)數(shù)是怎樣的到的。同學(xué)們你們能幫陳老師算一算么？解析：陳老師說自己到銀行咨詢，對方說算法是假設(shè)每一年付款為a元,那么10年后第一年付款的本利和為1.0759a元，同樣的方法算得第二年付款的本利和為1.0758a元、第三年為1.0757a元，…，第十年為a元，然后把這10個(gè)本利和加起來等于余額部分按年利率為7.5%計(jì)算10年的本利，即1.0759a+1.0758a+1.0757a+…+a=(72×1000-28800-14400)×1.07510,解得的a的值即為每年應(yīng)付的款額。他不能理解的是自己若按時(shí)付款，為何每期的付款還要計(jì)算利息？我說銀行的算法是正確的。但不妨用這種方法來解釋：假設(shè)你沒有履行合同，即沒有按年付每期的款額，且10年中一次都不付款，那么第一年應(yīng)付的款額a元到第10年付款時(shí)，你不僅要付本金a元，還要付a元所產(chǎn)生的利息，共為1.0759a元，同樣，第二年應(yīng)付的款額a元到第10年付款時(shí)應(yīng)付金額為1.0758a元，第三年為1.0757a元，…，第十年為a元，而這十年中你一次都沒付款，與你應(yīng)付余款72×1000-28800-14400在10年后一次付清時(shí)的本息是相等的。仍得到1.0759a+1.0758a+1.0757a+…+a=(72×1000-28800-14400)×1.07510．用這種方法計(jì)算的a值即為你每年應(yīng)付的款額。例2、經(jīng)調(diào)查得知，若我們把每日租金定價(jià)為160元，則可客滿；而租金每漲20元，就會失去3位客人。每間住了人的客房每日所需服務(wù)、維修等項(xiàng)支出共計(jì)40元。我們該如何定價(jià)才能賺最多的錢？解析：日租金360元。雖然比客滿價(jià)高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人還是能給我們帶來360*50=18000元的收入；扣除50間房的支出40*50=2000元，每日凈賺16000元。而客滿時(shí)凈利潤只有160*80-40*80=9600元三、本課小結(jié)通過本課學(xué)習(xí)我們認(rèn)識到，生活是多面的，我們在研究一個(gè)問題時(shí)，可以多角度、多層次的思考，如若正面不行，亦可利用反面思考四、作業(yè)家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層．臭氧含量呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量，是所經(jīng)過的時(shí)間．1）隨時(shí)間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？2）多少年后將會有一半的臭氧消失？第3講函數(shù)中的趣題——孫悟空大戰(zhàn)牛魔王教學(xué)目標(biāo)：體會數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值．教學(xué)過程：一、故事引入孫悟空大戰(zhàn)牛魔王。牛魔王不是孫悟空的對手，力倦神疲，敗陣而逃。可是，牛魔王不簡單，他會變。他見悟空緊緊追趕，便隨身變成一只白鶴，騰空飛去。悟空一見，立刻變成一只丹鳳，緊追上去。牛魔王一想：鳳是百鳥之王，我這只白鶴那里斗得過這個(gè)丹鳳？！他無可奈何，只好飛下山崖，變作一只香獐，裝著悠閑的樣子，在崖前吃草。悟空心里想：好牛精，你休想混過我老孫的火眼金睛！他馬上變作一只餓虎，猛撲過去。牛魔王心慌，趕快變了個(gè)獅子，來擒拿餓虎。悟空看得分明，就地一滾，變成一只巨象，撒開長鼻，去卷那頭獅子。牛魔王拿出絕招，現(xiàn)出原形，原來是一頭大白牛。這白牛兩角堅(jiān)似鐵塔，身高八千余丈，力大無窮。他對悟空說：“你還能把我怎樣？”只見悟空彎腰躬身，大喝一聲“長”！立即身高萬丈，手持大鐵棒朝牛魔王打去。牛魔王見勢不妙，只好復(fù)了本象相，急忙逃去。孫悟空與牛魔王殺得驚天動地，驚動了天上的眾神，前來幫助圍困牛魔王。牛魔王困獸猶斗，又變成一頭大白牛，用鐵角猛頂托塔天王，被哪吒用火輪燒得大聲吼叫，最后被天王用照妖鏡照定，動彈不得，只得連聲求饒，獻(xiàn)出芭蕉扇，扇滅火焰山烈火，唐僧四人翻越山嶺，繼續(xù)往西天取經(jīng)二、實(shí)例嘗試，探求新知這段故事很吸引人，而且它和初中代數(shù)中所學(xué)的函數(shù)概念有關(guān)。首先，就從這個(gè)“變”字談起。孫悟空和牛魔王都神通廣大，都能變。他們能變飛禽、走獸；大喝一聲，身軀能“頂天立地”，也可變成一個(gè)小蟲兒。當(dāng)然，這些都是神話，不是真情實(shí)事。不過，世界上一切事物的確無有不在變化著的。既然物質(zhì)在變化，表示它們量的大小的數(shù)，自然也要隨著而變化了。這就告訴我們，要從變化的觀點(diǎn)來研究數(shù)和量以及它們之間的關(guān)系。其次，我們再來看一看，是不是所有的量在任何情況下，都始終變化著的呢？不是的。研究問題的某個(gè)特定過程中，在一定的范圍內(nèi)，有的數(shù)量是保持不變的?；蛘?，雖然它也在變，但變化微小，我們把它看成是不變的。還是用唐僧師徒來做例子。孫悟空的本事最大，能七十二變；唐僧最沒用，一點(diǎn)也不會變，所以妖怪一看就認(rèn)得他。都想吃他的肉。在代數(shù)中，把研究某一問題過程中不斷變化著的量叫做變量，孫悟空就好象是一個(gè)“變量”；把一定范圍內(nèi)保持不變的量叫做常量，唐僧就好象是一個(gè)“常量”。例1、1202年，意大利比薩的數(shù)學(xué)家斐波那契(約1170年～約1250年)在他所著的《算盤書》里提出了這樣一個(gè)有趣的問題：假定1對一雌一雄的大兔，每月能生一雌一雄的1對小兔，每對小兔過兩個(gè)月就能長成大兔。那么，若年初時(shí)有1對小兔，按上面的規(guī)律繁殖，并且不發(fā)生死亡等意外情況，1年后將有多少對兔子？解析：第一個(gè)月時(shí)，有小兔1對；第二個(gè)月時(shí)，小兔還沒有長大，因此兔子數(shù)仍是1對；第三個(gè)月時(shí)，小兔已長成大兔，并且生下1對小兔，這時(shí)兔子數(shù)是2對；第四個(gè)月時(shí)，原來的兔子又生了1對小兔，但上個(gè)月剛生的小兔尚未成熟，這時(shí)兔子數(shù)是3對；第五個(gè)月時(shí)，原來的兔子又生了1對小兔，第三個(gè)月出生的小兔這時(shí)也已長大并且也生了1對小兔，因此共有兔子5對；一直這樣推算下去，可以得到下面的表：如果仔細(xì)觀察，就不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：從第三個(gè)月份起，每個(gè)月的兔子對數(shù)都是前兩個(gè)月的兔子對數(shù)之和。表中兔子對數(shù)構(gòu)成的一列數(shù)1，1，2，3，5，8…就稱為斐波那契數(shù)列。斐波那契數(shù)列有很有趣的性質(zhì)和重要的應(yīng)用。例2、某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結(jié)600個(gè)橙子.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì),每多種一棵樹,平均每棵樹就會少結(jié)5個(gè)橙子.解析：假設(shè)果園增種x棵橙子樹,果園橙子的總產(chǎn)量為y(個(gè))，依題意，果園共有（100+x）棵樹,平均每棵樹結(jié)（600-5x）個(gè)橙子.y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000.=-5(x-10)^2+60500即種：100+10=110棵時(shí)，產(chǎn)量最高是：60500三、本課小結(jié)通過本課學(xué)習(xí)我們知道了，不僅《西游記》和我們的數(shù)學(xué)還很有關(guān)系其實(shí)，只要我們留意，到處都充滿著數(shù)學(xué)的原理。四、作業(yè)某市20名下崗職工在近郊承包50畝土地辦農(nóng)場這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種這幾種農(nóng)作物每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測如下表：作物品種每畝地所需職工數(shù)每畝地預(yù)計(jì)產(chǎn)值蔬菜1/21100元煙葉1/3750元小麥1/4600元請你設(shè)計(jì)一個(gè)種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物，20名職工都有工作，且使農(nóng)作物預(yù)計(jì)總產(chǎn)值最多。（設(shè)工人數(shù)）第4講三角函數(shù)的趣題——直角三角形教學(xué)目標(biāo)：探索直角三角形在生活中應(yīng)用，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用。教學(xué)過程：一、情境引入直角三角形就像一個(gè)萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個(gè)色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實(shí)生活中不可能實(shí)現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.二、例題分析例1、海中有一個(gè)小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險(xiǎn)嗎?解析：過A作BC的垂線，交BC于點(diǎn)D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=≈20.79(海里).這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險(xiǎn)例2、如圖，某貨船以20海里／時(shí)的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的B處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時(shí).接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里／時(shí)的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響.(1)問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由.(2)為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?解析：(1)過點(diǎn)B作BD⊥AC.垂足為D.依題意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD=AB=×20×16=160＜200，∴B處會受到臺風(fēng)影響.(2)以點(diǎn)B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120.AD=160.AE=AD-DE=160-120，∴=3.8(小時(shí)).因此，陔船應(yīng)在3.8小時(shí)內(nèi)卸完貨物.練習(xí)：一個(gè)人從山底爬到山頂，需先爬40°的山坡300m，再爬30°的山坡100m，求山高.(結(jié)果精確到0.01m)三、本課小結(jié)本節(jié)課我們運(yùn)用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題，提高了我們分析和解決實(shí)際問題的能力.四、作業(yè)如圖，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長.(結(jié)果保留根號)第5講三角函數(shù)的趣題——月平均氣溫問題教學(xué)目標(biāo)：選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望.教學(xué)過程：一、談話導(dǎo)入數(shù)學(xué)的應(yīng)用，隨著人類的進(jìn)步和科技的發(fā)展，已經(jīng)滲透到社會的各個(gè)方面，“數(shù)學(xué)已無處不在”。下面我們看看三角函數(shù)在生活中有哪些應(yīng)用。二、典例分析例1、受日月的引力，海水會發(fā)生漲落，這種現(xiàn)象叫做潮汐，在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢，卸貨后落潮時(shí)返回海洋，某港口水的深度y（米）是時(shí)間t（，單位：時(shí)）的函數(shù)，記作y=f(t)，下面是該港口在某季節(jié)每天水深的數(shù)據(jù)。t（時(shí)）0361215182124y（米）10.013.09.910.013.010.17.010.0

根據(jù)數(shù)據(jù)求出y=f(t)的擬合函數(shù)，，一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離為5米或5米以上時(shí)，認(rèn)為是安全的（船舶停靠時(shí)，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底離水面的距離）為6.5米，如果該船想在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，問它至多能在港內(nèi)停留多少時(shí)間？（忽略進(jìn)出港所需時(shí)間）解析：依題意，該船進(jìn)出港時(shí)，水深應(yīng)不小于5+6.5=11.5米，3，，2，得12，在同一天內(nèi)，取k=0或1，或，所以該船最早能在凌晨1時(shí)進(jìn)港，下午17時(shí)退出，在港口內(nèi)最多停留16小時(shí)。例2、某工廠因生產(chǎn)需要，要生產(chǎn)1200個(gè)如圖形狀的三角形鐵片，已知在△ＡＢＣ中，，問要生產(chǎn)這些三角形鐵片共需要鐵片的面積（精確到1cm2）.

解析：∵sinＡ+cosＡ=，①

∴（sinＡ+cosＡ）２＝.

∴２sinＡcosＡ＝－.∵0°＜Ａ＜１８０°，∴sinＡ＞０，cosＡ＜0.

∵（sinＡ-cosＡ）２=1-２sinＡcosＡ=，

∴sinＡ-cosＡ＝.②

①+②，得sinＡ=，

∴要生產(chǎn)這些三角形鐵片共需要鐵片的面積為：答：所以要生產(chǎn)這些三角形鐵片共需要鐵片的面積約3477cm2.三、本課小結(jié)三角函數(shù)不但應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支,也廣泛應(yīng)用于其他的學(xué)科及社會生產(chǎn)實(shí)踐中,.在實(shí)際生活中,也會經(jīng)常碰到一些需要運(yùn)用三角函數(shù)來解決的問題,特別是一些線段的度量和角的計(jì)算等問題我們要靈活運(yùn)用四、作業(yè)把一段半徑為R的圓木，鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法，才能使橫截面積最大？第6講數(shù)列中的趣題——柯克曼女生問題教學(xué)目標(biāo):通過有關(guān)數(shù)列實(shí)際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)研究數(shù)列的積極性．教學(xué)過程：一、問題引入：有一個(gè)學(xué)校有15個(gè)女生，她們每天要做三人行的散步，要使每個(gè)女生在一周內(nèi)的每天做三人行散步時(shí)，與其她同學(xué)在組成三人小組同行時(shí)，彼此只有一次相遇在同一小組，應(yīng)怎樣安排？二、典例分析例1、大樓共n層，現(xiàn)每層指定一人，共n人集中到設(shè)在第k層的臨時(shí)會議室開會，問k如何確定能使n位參加人員上、下樓梯所走的路程總和最短。（假定相鄰兩層樓梯長相等）分析：設(shè)相鄰兩層樓梯長為a，則分n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩類討論.例2、某地區(qū)荒山2200畝，從1995年開始每年春季在荒山植樹造林，第一年植樹100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝.（1）若所植樹全部都成活，則到哪一年可將荒山全部綠化?（2）若每畝所植樹苗、木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%，那么全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為S，求S的表達(dá)式.（3）若1.2≈4.3，計(jì)算S（精確到1立方米）.分析：由題意可知，各年植樹畝數(shù)為：100，150，200，……成等差數(shù)列三、本課小潔：下面回到課前問題，設(shè)１５位女生用下面１５個(gè)符號表示：x,a1,a2,b1,b2,c1,c2,d1,d2,e1,e2,f1,f2,g1,g2;將它們排成七行，每天五個(gè)三人行小組（共十五人），使ｘ處于七行中的最前一位置上：(x,a1,a2);(x,b1,b2);(x,c1,c2);(x,d1,d2);(x,e1,e2);(x,f1,f2);(x,g1,g2).于是只須分配１４個(gè)元素，再每一行中，后繼三人行小組，即對有下標(biāo)的七個(gè)元素ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ進(jìn)行三元素組合，填入每行，但每個(gè)字母只許出項(xiàng)兩次。即Sunday:(x,a,a),(b,d,f),(b,e,g),(c,d,g),(c,e,f);Monday:(x,b,b),(a,b,e),(a,f,g),(c,d,g),(c,e,f);Tuesday:(x,c,c),(a,d,e),(a,f,g),(b,d,f),(b,e,g);Wednsday:(x,d,d),(a,b,c),(a,f,g),(b,e,g),(c,e,f);Thursday:(x,e,e),(a,b,c),(a,f,g),(b,d,f),(c,d,g)Friday:(x,f,f),(a,b,c),(a,d,e),(b,e,g),(c,d,g);Saturday:(x,g,g),(a,b,c),(a,d,e),(b,d,f),(c,e,f)現(xiàn)在來填下標(biāo)，如果在同一行中，可以有兩個(gè)相同字母，例如在第三行中bdf,beg中，b出現(xiàn)兩次，可標(biāo)上不同的腳標(biāo)b1,b2;若每一個(gè)“三人行”，有兩個(gè)腳標(biāo)已定，則在同一行，別的三人行組不能再用；若不是由兩種原則定出腳標(biāo)，就定為１。得到解：Sunday:(x,a1,a2),(b1,d1,f1),(b2,e1,g1),(c1,d2,g2),(c2,e2,f2);Monday:(x,b1,b2),(a1,b2,e2),(a2,f2,g2),(c1,d1,g1),(c2,e1,f1);Tuesday:(x,c1,c2),(a1,d1,e1),(a2,f1,g1),(b1,d2,f2),(b2,e2,g2);Wednsday:(x,d1,d2),(a1,b2,c2),(a2,f2,g1),(b2,e1,g2),(c1,e2,f1);Thursday:(x,e1,e2),(a1,b1,c1),(a2,f1,g2),(b2,d1,f2),(c2,d2,g1)Friday:(x,f1,f2),(a1,b2,c1),(a2,d2,e1),(b1,e2,g1),(c2,d1,g2);Saturday:(x,g1,g2),(a1,b1,c2),(a2,d1,e2),(b2,d2,f1),(c1,e1,f2)三、作業(yè)某林場有荒山3250畝，從96年開始，每年春季在荒山上植樹造林，第一年植100畝，計(jì)劃以后每年比上一年多植樹50畝(假定全部成活)．(1)需幾年可將此荒山全部綠化.(2)已知新植樹苗每畝木材量為2ｍ，樹木每年的自然增長率為10%，設(shè)荒山全部綠化后的年底木材總量為S，求S的最簡表達(dá)式第7講數(shù)列中的趣題—數(shù)列的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力。它要求教師給學(xué)生提供研究的問題及背景，讓學(xué)生自主探究知識的發(fā)生發(fā)展過程教學(xué)過程：詩詞引入先由杜甫的詩《絕句》引出課題，每一句都與數(shù)有關(guān)系。再由一些生活中的例子進(jìn)一步探索數(shù)列的定義及其蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系典例分析例1、、有一序列圖形P1,P2,P3…….已知P1是邊長為1的等邊三角形，將P1的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得P2，…..，將Pk-1的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得Pn試分別求Pn的周長Cn和面積Sn.解析：這序列圖形的邊數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為：它們的邊長構(gòu)成的數(shù)列為：.S2比S1多3個(gè)面積為的正三角形.即例2．在［1000，2000］內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)有多少個(gè)？解析：不妨設(shè)，則{cp}為{an}與{bn}的公共項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列(1000≤cp≤2000)∵an=bm,即：3n=4m+1令n=3,則m=2∴c1=9且有上式可知：d=12∴cp=9+12(p1)(pN*)由1000≤cn≤2000解得：∴p取84、85、……、166共83項(xiàng)。本課小結(jié)根據(jù)數(shù)列的定義和前面所學(xué)的函數(shù)關(guān)系，由學(xué)生自己通過聯(lián)想、類比、對比、歸納的方法遷移到新情境中，將新的知識內(nèi)化到學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。作業(yè)1.一梯形兩底邊長分別為12cm22cm，將梯形一腰10等分，經(jīng)過每分點(diǎn)作平行于底邊的直線，求這些直線夾在梯形兩腰間的線段的長度和.2.某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場的要求雜質(zhì)含量不能超過0.1%.若初時(shí)含雜質(zhì)0.2%，每過濾一次可使雜質(zhì)減少，問至少過濾多少次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場的要求第8講不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題——“兩邊夾不等式”的推廣及趣例教學(xué)目標(biāo)：理解“兩邊夾不等式”的推廣及應(yīng)用教學(xué)過程：一、情境引入大家都熟知等比定理：若，則。若將條件中的等式改為不等式，如，那么結(jié)論如何呢?課本上有這樣一道練習(xí)：已知都是正數(shù)，且，則(高中數(shù)學(xué)第二冊(上)(人教版))，在平時(shí)的教學(xué)過程中，稍不注意，其豐富的內(nèi)涵和研究價(jià)值便被忽略了。下面為了說明問題的方便，稱不等式為兩邊夾不等式。當(dāng)然這個(gè)不等式的證明是簡單的，而探討這個(gè)不等式卻別有一番風(fēng)味．對該不等式的探討是從它的一個(gè)簡單應(yīng)用開始的．二、“兩邊夾不等式”理解推廣1、兩邊夾不等式的兩種理解解：（1）實(shí)際意義的理解：有同種溶液(如糖水)A、B，已知溶液A的濃度為，溶液B的濃度，現(xiàn)將兩種溶液混合成溶液C，此時(shí)溶液濃度為，由日常生活經(jīng)驗(yàn)知道有。（2）幾何意義的理解：由分式聯(lián)想到直線的斜率，設(shè)，則直線OA、OB斜率分別是，(如圖1)，則，它表示圖中的,顯然直線OC的斜率介于OA、OB的斜率之間，即。進(jìn)一步探討我們還可以得到更多的結(jié)論，如得到不等式，仿此還可到幾個(gè)不等式鏈：（1）（2）（3）（其中）2．兩邊夾不等式的一個(gè)簡單應(yīng)用練習(xí)1、利用此不等式，可以輕松地證明下面這個(gè)經(jīng)典不等式：已知都是正數(shù)，且，求證：。分析：，，由兩邊夾不等式立即得．3．兩個(gè)有意義的推廣推論1(等比定理的推廣)：已知，若，則。利用兩邊夾不等式可以容易得到證明，這里從略。由于分?jǐn)?shù)的分子分母同乘以一個(gè)非零實(shí)數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，那么將與的分子分母各乘以非零實(shí)數(shù)，又有什么結(jié)論呢?推論2(一般性推廣)：若正數(shù)及非零實(shí)數(shù)，滿足，則證明：，由兩邊夾不等式立即得練習(xí)2、無限夾數(shù)游戲(1)給你任意兩個(gè)正分?jǐn)?shù)，你能寫出大小介于它們之間的一些數(shù)嗎?如與，與，與等。依據(jù)兩邊夾不等式可以得到介于與之間，介于與之間，介于與之間。三、本節(jié)小結(jié)：本節(jié)主要講了兩邊夾不等式幾何意義理解及兩種推廣。四、作業(yè)：探求“黃金分割數(shù)”在0、l之間用兩邊夾不等式可以依次寫出一些數(shù)，寫這些數(shù)時(shí)按以下的規(guī)律進(jìn)行：第一個(gè)數(shù)為，此時(shí)得到兩個(gè)區(qū)間A1=（0，），B1=()在區(qū)間B1內(nèi)利用兩邊夾不等式得到第二個(gè)數(shù)a2=；此時(shí)a2又將區(qū)間B1分成兩個(gè)區(qū)間A2=(),B2=()在區(qū)間A2中利用兩邊夾不等式得到第三個(gè)數(shù)a=，依此類推，可以得到數(shù)列{}，數(shù)列{}的極限稱為黃金分割數(shù)，求此極限。()第9講不等式性質(zhì)應(yīng)用趣題——均值不等式的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：了解均值不等式在日常生活中的應(yīng)用教學(xué)過程：一、情境引入：日常生活中常用的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式和平均值不等式。前兩類不等式的應(yīng)用與其對應(yīng)函數(shù)及方程的應(yīng)用如出一轍，而平均值不等式在生產(chǎn)生活中起到了不容忽視的作用。下面，我主要談一下均值不等式和均值定理的應(yīng)用。

在生產(chǎn)和建設(shè)中，許多與最優(yōu)化設(shè)計(jì)相關(guān)的實(shí)際問題通?？蓱?yīng)用平均值不等式來解決。平均值不等式知識在日常生活中的應(yīng)用，筆者雖未親身經(jīng)歷，但從電視、報(bào)紙等新聞媒體及我們所做的應(yīng)用題中不難發(fā)現(xiàn)，均值不等式和極值定理通?？捎腥缦聨追矫娴臉O其重要的應(yīng)用：（表后重點(diǎn)分析“包裝罐設(shè)計(jì)”問題）

實(shí)踐活動已知條件最優(yōu)方案解決辦法

設(shè)計(jì)花壇綠地周長或斜邊面積最大極值定理一

經(jīng)營成本各項(xiàng)費(fèi)用單價(jià)及銷售量成本最低函數(shù)、極值定理二

車船票價(jià)設(shè)計(jì)航行里程、限載人數(shù)、票價(jià)最低用極值定理二求出

速度、各項(xiàng)費(fèi)用及相應(yīng)最低成本，再由此

比例關(guān)系計(jì)算出最低票價(jià)

（票價(jià)=最低票價(jià)++平均利潤）例1、包裝罐設(shè)計(jì)問題

1、“白貓”洗衣粉桶

“白貓”洗衣粉桶的形狀是等邊圓柱（如右圖所示），

若容積一定且底面與側(cè)面厚度一樣，問高與底面半徑是

什么關(guān)系時(shí)用料最?。幢砻娣e最?。?？

分析：容積一定=>лrh=V（定值）

=>S=2лr+2лrh=2л(r+rh)=2л(r+rh/2+rh/2)

≥2л3(rh)/4=32лV(當(dāng)且僅當(dāng)r=rh/2=>h=2r時(shí)取等號),

∴應(yīng)設(shè)計(jì)為h=d的等邊圓柱體.

例2、“易拉罐”問題

圓柱體上下第半徑為R,高為h，若體積為定值V,且上下底

厚度為側(cè)面厚度的二倍，問高與底面半徑是什么關(guān)系時(shí)用料最

省（即表面積最?。?？

分析：應(yīng)用均值定理，同理可得h=2d（計(jì)算過程請讀者自己

寫出,本文從略）∴應(yīng)設(shè)計(jì)為h=2d的圓柱體.第10講立體幾何趣題——正多面體拼接構(gòu)成新多面體面數(shù)問題教學(xué)目標(biāo)：訓(xùn)練學(xué)生空間想象能力，動手動腦能力，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣教學(xué)過程：一、問題提出在《數(shù)學(xué)(高二下冊)》“立體幾何多面體”一節(jié)的課堂教學(xué)中，老師給出了一道例題：“已知一個(gè)正四面體和一個(gè)正八面體的棱長都相等，把它們拼接起采，使一個(gè)表面重合，所得的新多面體有多少個(gè)面?”對于這個(gè)問題學(xué)生們表現(xiàn)出了極大的興趣．他們通過直觀感知，提出了自己的看法：正四面體和正八面體共12個(gè)面，兩者各有一個(gè)面重疊，因此減少兩個(gè)面，所以重合之后的新多面體有10個(gè)面．二、故事介紹教師乘著學(xué)生濃厚的興趣講了一個(gè)與這道例題有關(guān)的故事．多年前美國的一次數(shù)學(xué)競賽中有這樣一道題：一個(gè)正三棱錐和一個(gè)正四棱錐，所有棱長都相等，問重合一個(gè)面后還有幾個(gè)面?大學(xué)教授給這道競賽題的參考答案是7個(gè)面，他們認(rèn)為正三棱錐和正四棱錐共9個(gè)面，兩者各有一個(gè)面重疊，減少兩個(gè)面，所以重合之后還有7個(gè)面。但佛羅里達(dá)州的一名參賽學(xué)生丹尼爾的答案是5個(gè)面，與參考答案不合而被判錯(cuò)誤，對此丹尼爾一直有所疑惑，于是他動手拼接了符合題意的正三棱錐和正四棱錐實(shí)物模型，結(jié)果正如他所判斷的只有5個(gè)面；他將自己的結(jié)論和實(shí)物模型提交給競賽組委會，教授們接受了他的想法并改正了這道題的答案。三、操作確認(rèn)故事講完后學(xué)生立刻對丹尼爾的結(jié)論進(jìn)行了激烈地討論．于是教師建議：請同學(xué)們拿出課前分組做出上述兩個(gè)問題的實(shí)物模型，通過自己的操作(模型組合)來確認(rèn)自己的結(jié)論．學(xué)生展示大小不一的實(shí)物模型．教師讓每個(gè)組的學(xué)生代表在講臺上演示實(shí)物模型的組合過程．通過觀察、討論，全班同學(xué)明白丹尼爾結(jié)論的原因所在．同時(shí)也觀察到了正四面體和正八面體重合之后新多面體只有七個(gè)面，這與學(xué)生們在上一節(jié)課通過直觀感知所得的結(jié)論是不一致的。原因在于他們發(fā)現(xiàn)在重合過程中正四面體和正八面體另有兩個(gè)側(cè)面分別拼接成一個(gè)面了．四、思辯論證老師要求學(xué)生利用立體幾何的相關(guān)知識，對操作實(shí)物模型得出的結(jié)論進(jìn)行證明。學(xué)生對照實(shí)物模型提出了證明思路：將正八面體和正四面體拼接的兩個(gè)側(cè)面想象成兩個(gè)半平面拼接成一個(gè)平面即表示這兩個(gè)半平面所構(gòu)成的二面角為．證明如下：如圖1，在正八面體AC中，連結(jié)AC交平面BE于點(diǎn)O．設(shè)正八面體的棱長為1，BF的中點(diǎn)為D，連結(jié)AD、CD，易得∠ADC為二面角A―BF―C的平面角。AD=DC=,AC=2AO=由余弦定理得。仿上可求得正四面體鄰棱所成的二面角的余弦值為。由上可知，因此新多面體是七面體。五、問題擴(kuò)展理論證明的給出進(jìn)一步完善了學(xué)生對問題的全面理解，同時(shí)也激發(fā)了學(xué)生的多向思維．證明結(jié)結(jié)束后，立刻就有學(xué)生向老師提出了問題：如果再拼一個(gè)同樣的正四面體，又有多少個(gè)，又有多少個(gè)面呢？面對學(xué)生的問題，教師立刻利用學(xué)生的實(shí)物模型進(jìn)行操作確認(rèn)，從而發(fā)現(xiàn)新多面體的面數(shù)并不確定，而是依賴于拼接四面體在八面體上的位置．進(jìn)一步，當(dāng)拼接更多的四面體時(shí)問題更復(fù)雜了，但卻激發(fā)了學(xué)生更大的興趣．在激烈地爭論中，師生的思考一度陷入僵局．余是老師提出能否看看不同情況下新多面體可能新多面體最少面數(shù)．這一問題得到了學(xué)生的認(rèn)可，新一輪實(shí)物模型的操作確認(rèn)開始，很快學(xué)生得出了結(jié)論：當(dāng)兩個(gè)正四面體時(shí)，新多面體最少為6個(gè)面，構(gòu)成一個(gè)六面體(如圖2)．當(dāng)拼接三個(gè)正四面體時(shí)，新多面體最少為5個(gè)面，構(gòu)成一個(gè)棱臺如圖(3)．當(dāng)拼接四個(gè)正四面體時(shí)，新多面體最少為4個(gè)面構(gòu)成一個(gè)正四面體(如圖4)．本節(jié)小結(jié)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不要只靠我們的直覺，而要有推理論證檢驗(yàn)。第11講立體幾何趣題——球在平面上的投影教學(xué)目標(biāo)：明白球在不同光照下的投影教學(xué)過程：放在水平面上的球與水平面切于點(diǎn)A，一束光線投射到球上，那么球的影子的輪廓是什么曲線?切點(diǎn)A與輪廓曲線的關(guān)系又是什么?一、平行光線下球的投影放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)止，與水平面所成角為()的太陽光投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．分析：顯然，當(dāng)太陽光垂直于水平面，即時(shí)，球在水平面上的投影是以為A圓心，R為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖1．如圖l所示，與球面相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓柱面，與球切于圓O，則光線在水平面上的投影，可以看成圓柱面與水平面的交線，設(shè)與水平面平行且與球相切的平面與球相切于點(diǎn)D，與圓柱面的交線為；P為上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的光線為PP’，(P’，為光線PP’與平面的交點(diǎn))，且與球相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作與光線平行的直線交水平面于點(diǎn)B，連結(jié)PB,易知，PB=P'D=P’C，PA=PC,即知PA+PB=PP’,又PP’=為一定值，則知點(diǎn)P在以A,B為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓上，二、點(diǎn)光源下的球的投影放在水平面上的半徑為R的球與水平面切于點(diǎn)A，與水平面距離為h的點(diǎn)光源S(S在球面外)投射到球上，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線或以A為圓心的圓，且其形狀與大小與光源到水平面的距離h及SA與水平面所成角有關(guān)．1．當(dāng)過點(diǎn)S，球心O的直線與水平面垂時(shí)，此時(shí)必有h>2R．球在水平面上的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為圓心的圓(圖略)，2．當(dāng)過點(diǎn)S、球心O的直線與水平面不垂直時(shí)．①若h>2R，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，如圖2．如圖2所示，與球相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓；球與圓錐面及水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓，與水平面的切點(diǎn)為B；P為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過P的光線與球O、的切點(diǎn)分別為D，C，則有PC=PB、PD=PA，易知CD為兩圓錐母線之差(為一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓.②若h=2R,則球在水平面上的投影是以A為焦點(diǎn)的拋物線，如圖3．如圖3所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓Ol；過S、O，A的平面與水平面交于AG；圓Ol所在的平面與水平面的交線為L；P為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過P與平行的平面與圓錐面交于所以，球在水平面上的投影是以A為焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線的拋物線．eq\o\ac(○,3)若h<2R，則球在水平面上的投影是以A為一個(gè)焦點(diǎn)的雙曲線的一支，如圖4．如圖4所示，與球O相切的光線構(gòu)成一個(gè)圓錐面．設(shè)切點(diǎn)的集合為圓02；球Ol與圓錐面及水平面都相切，與圓錐面的切點(diǎn)的集合為圓03，與水平面的切點(diǎn)為月；戶為球在水平面的投影線上的任意一點(diǎn)，過戶的光線與球O、Ol的切點(diǎn)分別為G、打，則有PH二PB、PG二PA，且易知GH為兩圓錐母線之和(為一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的一支．小結(jié)：當(dāng)平行光線與水平面垂直時(shí)，球在光線的投射下的輪廓線是一個(gè)圓，且球與水平面的切點(diǎn)為這個(gè)圓的圓心，當(dāng)平行光線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．當(dāng)點(diǎn)光源S與球心的連線與水平面垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為圓心的圓，當(dāng)點(diǎn)光源與球心的連線與水平面不垂直時(shí)，球在光線下的投影是以球與水平面的切點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)的圓錐曲線．第12講解析幾何中的趣題——神奇的莫比烏斯圈教學(xué)目標(biāo)：利用幾何方法解決生活問題教學(xué)過程：一、故事引入老國王的問題神奇的莫比烏斯圈

一個(gè)年老的國王有五個(gè)兒子，他臨死前把五個(gè)兒子叫到身邊，打算把自己的國土平均分給每個(gè)兒子，但為了要兒子們團(tuán)結(jié)，他希望每片國土的邊界線都相連。如果你是帝國宰相的話，請問你如何來執(zhí)行老國王的遺囑？二、學(xué)習(xí)例題尋找方法例1假定你在赤道上饒了地球一周，這時(shí)你的頭頂要比你的腳底多跑多少路？分析與解答： 你的腳底一共走了的路，R是地球半徑。你的頭呢卻走了的路，1.7是你的身高。因此頭比腳多走米例2假定把一條鐵絲困到地球赤道上，然后把這條鐵絲放長一米，問這條松下來的鐵絲和地球之間能不能讓一只老鼠穿過？分析與解答：一般人都會回答這個(gè)間隙會比一根頭發(fā)還小，一米同地球赤道的40000000米相比簡直相差太大了。事實(shí)上，這個(gè)間隙大小為厘米，不僅老鼠，甚至大貓也可以過去。三、全課總結(jié)下面回到課前的問題，拿一張紙條，假設(shè)四個(gè)頂點(diǎn)ABCD，為了區(qū)分這兩個(gè)面，我們不妨把一面涂成蘭色，而一面涂成紅色使A與B；C與D重合地粘接起來，我們就得到了一個(gè)普通有兩個(gè)面的曲面如果讓一只螞蟻在這個(gè)曲面的某一面上爬行，不讓它繞過曲面的邊緣，也不讓它穿過曲面，那么無論它怎么爬，它也爬不到另一面上去。現(xiàn)在，把紙條從粘接處分開，扭轉(zhuǎn)

180。，再使

A與C、B與D

重新地粘接起來，我們就得到了只有一個(gè)面的曲面，已經(jīng)無所謂里外了在這個(gè)圈上，能玩出無限的小把戲。前面說的那個(gè)5個(gè)兒子分土地就是其一。你猜猜把這個(gè)帶子延中間切開、再切呢？玩過嗎？就是把第一次切得到的兩個(gè)圓再切呢？大家回家去試一下吧，很有趣.作業(yè)可以有多少種方法用對角線把一個(gè)n邊多邊形（平面凸多邊形）剖分成三角形？第13講解析幾何中的趣題——最短途問題教學(xué)目標(biāo)：利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)求最小值問題教學(xué)過程：談話引入路程短了在相同速度下可以節(jié)省時(shí)間，因此，求最短路程成為生產(chǎn)生活中最優(yōu)方案而被采用。二、學(xué)習(xí)例題尋找方法例1一個(gè)牧人從帳篷A處牽馬去河邊飲水，然后去B處趕集，A,B在河的同側(cè)。問他怎樣走路成最短？分析：由軸對稱原理找對稱點(diǎn)，然后兩點(diǎn)間距離最短。例2長寬高分別是4、2、1米的長方體?，F(xiàn)有一小蟲從頂點(diǎn)A出發(fā)沿長方體表面爬到對角頂點(diǎn),問小蟲爬行最短路程是多少？分析：我們把這兩點(diǎn)所在的兩個(gè)面展開，置于一個(gè)平面內(nèi)，根據(jù)展開面不同分三種情況討論。三、全課總結(jié)最短途問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，解決方法，通常是利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)將圖形作各種幾何變換利用不等量關(guān)系求解。四、作業(yè)在所有三角形中，外接圓的圓心，各中線的交點(diǎn)和各高的交點(diǎn)在一直線—?dú)W拉線上，而且三點(diǎn)的分隔為：各高線的交點(diǎn)（垂心）至各中線的交點(diǎn)（重心）的距離兩倍于外接圓的圓心至各中線的交點(diǎn)的距離.第14講排列組合中的趣題———抽屜原理教學(xué)目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析掌握一個(gè)最簡單的最基本的推理原則――抽屜原理教學(xué)過程：事實(shí)引入把5個(gè)蘋果放進(jìn)4個(gè)抽屜無論怎么放，至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋果個(gè)數(shù)不少于2，這是任何人都確信無疑的事實(shí)，在解答某些排列組合問題時(shí)都必須用它，這種方法稱為抽屜原理。二、學(xué)習(xí)例題尋找方法原理1：將m個(gè)元素，按照某種規(guī)則分成n各集合（mn，m、n、為自然數(shù)），那么至少有一個(gè)集合有2個(gè)或2個(gè)以上的元素。原理2：將m個(gè)元素，按照某種規(guī)則分成n個(gè)集合（，m、n、k為自然數(shù)），那么至少有一個(gè)集合含有k+1個(gè)或k+1以上的元素。例1一副撲克牌（52張）有4種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，最少要抽多少張牌，才能保證有4張是同一花色的？解析：抽出的牌按花色分類，可分4類，。由原理2知：k+1=4，得k＝3。此時(shí)，所取出的牌的張數(shù)為m，m應(yīng)滿足mkn＝12，故m＝13，14，15……，因此至少需要抽13張牌才能保證有4張是同一花色的。例2、某校高一一班有55個(gè)同學(xué)，老師說至少有兩個(gè)同學(xué)在同一周內(nèi)過生日，老師的話正確么？解析：平年是365天最多分布在53周內(nèi)；閏年是366天最多分布在54周內(nèi)，把54周當(dāng)作54個(gè)抽屜，把55個(gè)同學(xué)當(dāng)作55個(gè)元素，由抽屜原理1老師說的至少有兩個(gè)同學(xué)在同一周內(nèi)過生日是正確的。三、全課總結(jié)本節(jié)課要求我們應(yīng)用抽屜原理將需狀態(tài)進(jìn)行分類，即“制造抽屜”?！俺閷稀痹斓暮眉纯傻贸隼硐虢Y(jié)果。四、作業(yè)證明：在任意人群中，一定有2個(gè)人，他們在這群人中的朋友一樣多第15講排列組合中的趣題———摸球游戲教學(xué)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納猜想和發(fā)現(xiàn)的能力，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生去探求事物的內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系．教學(xué)過程一、游戲引入大約十年前，在北京西直門立交橋附近，曾有一個(gè)擺攤摸球的人。當(dāng)時(shí)圍觀的人們覺得很新鮮，曾有很多人參與摸球。現(xiàn)在看來，這不過是一個(gè)小型的賭博游戲罷了。這個(gè)游戲的規(guī)則很簡單：他先擺出了12個(gè)臺球一般大小的小球，其中有6個(gè)紅色球和6個(gè)白色球。當(dāng)著觀眾的面，他把所有12個(gè)色球裝進(jìn)一個(gè)普通的布袋中，然后慫恿大家來摸。怎么個(gè)摸法呢?就是從這個(gè)裝12個(gè)球的布袋中，隨便摸出6個(gè)球來，看看其中有幾個(gè)是紅球，有幾個(gè)是白球。當(dāng)然，摸球者只能把手伸進(jìn)袋口中把球一個(gè)一個(gè)地“掏出來”，而不能打開袋口看著摸。大家想一想共有多少種摸法？哪一種的概率大呢？二、學(xué)習(xí)例題尋找方法例1某乒乓球隊(duì)有8男7女共15名隊(duì)員，現(xiàn)進(jìn)行混合雙打練習(xí)，兩邊都必須是1男1女，共有多少種不同的搭配方法？分析：每一種搭配都需要2男2女，先把4名隊(duì)員選出來有種選法，然后考慮4人的排法，故乘以例2高二（1）班要從7名運(yùn)動員中選出4名組成4×100米接力隊(duì)，參加校運(yùn)會，其中甲、乙二人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？分析：分三類，第一類，沒有甲乙，有種選法；第二類，有甲沒乙或有乙沒甲有2種選法；第三類，既有甲也有乙，有種選法例3體育課上，趙紅老師安排4名男生和3名女生站隊(duì)，練習(xí)第三套中學(xué)生廣播體操。若滿足下列條件，分別有多少種站法？（1）3名女生要求站在一起；（2）3名女生要求互不相鄰；（3）梁偉不站在排頭，黃金葉不站在排尾；分析:排隊(duì)在現(xiàn)實(shí)生活中是很常見的現(xiàn)象，結(jié)合實(shí)例，使得學(xué)生感悟更深。三、全課總結(jié)回到課前那個(gè)游戲，根據(jù)排列組合知識從12個(gè)球中摸出6個(gè)球，總的方法數(shù)有：種，其中“6紅”或者“6白”的情況都緊有唯一的一種，按概率論計(jì)算有1/924的出現(xiàn)概率作業(yè)：若你家里來客人，鞋架上有5雙大小形狀不同的拖鞋，從中選擇4只，問：恰有2雙的選法？第16講概率中的趣題教學(xué)目標(biāo)：通過五個(gè)實(shí)例介紹概率的應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)概率的積極性，培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)重難點(diǎn)：如何利用概率知識解決生活中的問題。教學(xué)過程：在六合彩(49選6)中一共有13983816種可能性，普遍認(rèn)為，如果每周都買一個(gè)不相同的號，最晚可以在13983816/52(周)＝268919年后獲得頭等獎。事實(shí)上這種理解是錯(cuò)誤的。在輪盤游戲中玩家普遍認(rèn)為，在連續(xù)出現(xiàn)多次紅色后，出現(xiàn)黑色的概率會越來越大。這種判斷也是錯(cuò)誤的，在投擲硬幣的游戲中，如果是一枚硬幣，那么我們無論猜什么猜對的概率都是50%；換成投擲兩枚硬幣，那么如果我們猜一個(gè)是“字”一個(gè)是“背”，猜對的概率是猜“都是字”或者“都是背”的兩倍。三門問題：在電視臺舉辦的猜隱藏在門后面的汽車的游戲節(jié)目中，在參賽者的對面有三扇關(guān)閉的門，其中只有一扇門的后面有一輛汽車，其它兩扇門后是山羊。游戲規(guī)則是，參賽者先選擇一扇他認(rèn)為其后面有汽車的門，但是這扇門仍保持關(guān)閉狀態(tài)，緊接著主持人打開沒有被參賽者選擇的另外兩扇門中后面有山羊的一扇門，這時(shí)主持人問參賽者，要不要改變主意，選擇另一扇門，以使得贏得汽車的概率更大一些？正確結(jié)果是，如果此時(shí)參賽者改變主意而選擇另一扇關(guān)閉著的門，他贏得汽車的概率會增加一倍。生日悖論：在一個(gè)足球場上有23個(gè)人(2×11個(gè)運(yùn)動員和1個(gè)裁判員)，不可思議的是，在這23人當(dāng)中至少有兩個(gè)人的生日是在同一天的概率要大于50％。解釋：1.因?yàn)槊看沃歇劦母怕适窍嗟鹊模歇劦目赡苄圆⒉粫驗(yàn)闀r(shí)間的推移而變大。2.即出現(xiàn)黑色的概率每次是相等的，因?yàn)榍虮旧聿]有"記憶"，它不會意識到以前都發(fā)生了什么，其概率始終是18/37。3.有四種可能的情況，全部有相同的概率（1/4）：兩個(gè)“字”一“字”一“背”一“背”一“字”兩個(gè)“背”所以回答“一個(gè)是“字”一個(gè)是“背””答對的概率是50%。4.有三種可能的情況，全部擁有相等的可能性(1/3)︰參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉(zhuǎn)換將贏得汽車。參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉(zhuǎn)換將贏得汽車。參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉(zhuǎn)換將失敗。因?yàn)槿N情況有兩種是通過轉(zhuǎn)換而獲得汽車的，所以轉(zhuǎn)換后中獎的概率為2/3。

5.關(guān)鍵在于領(lǐng)會在題目中，相同生日的搭配可以是相當(dāng)多的。23個(gè)人可以產(chǎn)生23×22/2=253種不同的搭配，而這每一種搭配都有成功相等的可能。從這樣的角度看，在253種搭配中產(chǎn)生一對成功的配對也并不是那樣的不可思議。換一個(gè)角度，如果你進(jìn)入了一個(gè)有著22個(gè)人的房間，房間里的人中會和你有相同生日的概率便不是50：50了，而是變得非常低。原因是這時(shí)候只能產(chǎn)生22種不同的搭配。生日問題實(shí)際上是在問任何23個(gè)人中會有兩人生日相同的概率是多少？四、作業(yè)：1.三枚硬幣喬：“我向空中扔3枚硬幣。如果它們落地后全是正面朝上，我就給你10美分。如果它們?nèi)欠疵娉希乙步o你10美分。但是，如果它們落地時(shí)是其他情況，你得給我5美分?！奔罚骸白屛铱紤]一分鐘。至少有兩枚硬幣必定情況相同，因?yàn)槿绻袃擅队矌徘闆r不同，那么第三枚一定會與這兩枚硬幣之一情況相同。而如果兩枚情況相同，則第三枚不是與這兩枚情況相同，就是與它們不同。第三枚與其他兩枚情況相同或情況不同的可能性是一樣的。因此，3枚硬幣情況完全相同或情況不完全相同的可能性是一樣的。但是喬是以10美分對我的5美分來賭它們的不完全相同，這分明對我有利。好吧，我打這個(gè)賭！”吉姆接受這樣的打賭是明智的嗎？2.老K的優(yōu)勢桌上放著6張撲克牌，全部正面朝下。你已被告知其中有兩張且只有兩張是老K，但是你不知道老K在哪個(gè)位置。你隨便取了兩張并把它們翻開。下面哪一種情況更為可能？⑴兩張牌中至少有一張是老K；⑵兩張牌中沒有一張是老K。3.男孩對女孩有這樣一個(gè)故事：一個(gè)國王打算增加國家中婦女的人口，使之超過男子的人口，以讓男人能有更多的妻妾。為了達(dá)到這個(gè)目的，他頒布了如下的法律：一位母親生了第一個(gè)男孩后，她就立即被禁止再生孩子。國王論證道，通過這種方法，有些家庭就會有幾個(gè)女孩而只有一個(gè)男孩，但是任何家庭都不會有一個(gè)以上的男孩。用不了多長時(shí)間，女性人口就會大大超過男性人口。你認(rèn)為國王的這個(gè)法律會產(chǎn)生這樣的效果嗎？4.第十次投擲一只普通的骰子有6個(gè)面，因此任何一面朝上的概率是六分之一。假設(shè)你將某一個(gè)骰子投擲了9次，每次的結(jié)果都是1點(diǎn)朝上。第十次投擲，1點(diǎn)還是朝上的概率是多少呢？它是大于六分之一，還是小于，或者等于六分之一？第17講簡易邏輯中的趣題教學(xué)目標(biāo)：通過幾個(gè)實(shí)例介紹簡易邏輯的應(yīng)用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，從而培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)重難點(diǎn)：如何利用簡易邏輯知識解決生活中的問題。教學(xué)過程：例1、老師手中拿有三頂白色帽子和兩頂紅色帽子，他讓三個(gè)學(xué)生按前后順序站成一列，然后讓他們閉上眼睛，給他們每人戴上一頂帽子，并將剩下的兩頂帽子藏了起來，三人睜開眼睛后，后面的人可以看見前面人的帽子顏色.這時(shí)老師問：“你們誰能判斷出自己戴的帽子的顏色？”結(jié)果三人都說：“不能！”老師又說：“你們再考慮考慮，能判斷出來嗎？”三人思考了一會兒，還是都說：“不能！”老師再一次問：“真的不能嗎？”，這時(shí)，站在最前面的同學(xué)突然說：“老師，我知道我戴的帽子顏色了！”請問，這位同學(xué)戴的帽子是什么顏色的？他又是怎樣判斷出自己帽子的顏色的？解析：不妨從前到后記三人為甲乙丙，第一次問，甲乙自然無法判斷，而丙也無法判斷，說明甲乙二人戴的帽子顏色為“兩白”或“一紅一白”;第二次問，丙的情形沒有變化，也無法判斷，這時(shí)，甲和乙可以動腦筋了，既然甲乙的帽子顏色為“兩白”或“一紅一白”，如果乙看到甲的帽子顏色為紅色，則乙的帽子顏色肯定為白色，這樣乙就應(yīng)該在老師第二次提問時(shí)回答出答案，這說明乙看到的甲的帽子顏色為白色.因此乙無法判斷自己帽子的顏色.這樣，當(dāng)老師第三次提問時(shí)，甲就可以利用前兩次乙和丙“不知道”的回答給自己的提示，從而準(zhǔn)確地判斷出自己所戴帽子的顏色為白色.例2、孫臏?zhǔn)侵袊糯能娛聦W(xué)家，他的兵法眾人皆知.一天，大王決定要考一考孫臏的才能，便對孫臏說：“請你用計(jì)讓我走下我的寶座.”一旁的龐涓爭著說：“我把大王拖下來！”大王對他的答案立即給予否定：“這不是用計(jì)！”龐涓又說：“那我用火燒！”大王也不以為然，這時(shí)孫臏說：“大王，要你走下寶座確實(shí)不易，但如果你來到寶座下面的話，我可以用計(jì)讓你走回去！”大王一心要試一試孫臏的智力，毫不猶豫地走了下來等待孫臏用計(jì)，這時(shí)孫臏說：“大王，我已經(jīng)成功了！”大伙兒一時(shí)都糊涂了，這是怎么回事呢？解析：其實(shí)這是孫臏給大王設(shè)下了一個(gè)“二難”的格局，如果大王不下寶座，則孫臏的的前提“如果你來到寶座下面”不成立，這樣我的智力無法表現(xiàn)出來了，而如果大王走下寶座，則“我已經(jīng)讓你走下了寶座”。因此，無論大王怎么樣動作，孫臏都能夠保證自己至少不輸！例3、數(shù)學(xué)家斯摩林根據(jù)莎士比亞的名劇《威尼斯商人》中的情節(jié)編了一道題：女主角鮑西婭對求婚者說：“這里有三只盒子：金盒、銀盒和鉛盒，每只盒子的銘牌上各寫有一句話。三句話中，只有一句是真話。誰能猜中我的肖像放在哪一只盒子里，誰就能作我的丈夫。”盒子上的話見圖，求婚者猜中了，問：他是怎樣猜中的？解析：我們可以首先從問題中的一些關(guān)聯(lián)條件出發(fā)，借助圖形加以分析，找出解題的突破口與關(guān)鍵，再應(yīng)用形式邏輯的一般規(guī)律等數(shù)學(xué)知識，以及生活中的常識，作出推理、判斷，使問題獲解。當(dāng)求婚者看到金盒上面的銘牌“肖像在這盒里”（即肖像在金盒里）與鉛盒上面的銘牌“肖像不在金盒里”是意思截然相反的兩句話時(shí)，依據(jù)形式邏輯中的排中律：一句話要么是真，要么是假，兩者必居其一，因此可以得出結(jié)論，這兩句話必是一真一假。又因?yàn)槿湓捴兄挥幸痪涫钦嬖?，所以銀盒子銘牌所說的那句話“肖像不在這只盒子里”就肯定是假話了，于是求婚者斷定鮑西婭的肖像放在銀盒子里。例4：話說在遠(yuǎn)方的一個(gè)島上，住著兩個(gè)民族，一個(gè)是誠實(shí)族，一個(gè)是說謊族。顧名思義，說謊族在說話或回答問題時(shí)總是說謊話，誠實(shí)族在說話或回答問題時(shí)，則全是說實(shí)話。某記者在此島上遇到了四個(gè)島民，記者照例對他們進(jìn)行了訪問：“你們都是什么族的？誠實(shí)族的還是說謊族的？”這四人的回答如下：第一個(gè)人說：“我們四人全都是說謊族的?！钡诙€(gè)人說：“我們之中只有一人是說謊族的?！钡谌齻€(gè)人說：“我們四人之中有兩人是說謊族的。”第四個(gè)人說：“我是誠實(shí)族的?！痹噯柕谒膫€(gè)人是否真的是誠實(shí)族的？解析：我們可以從題設(shè)條件出發(fā)，通過分析找出解題的突破口，依據(jù)一個(gè)人所講的話非真即假，并輔之以反證法，對各種情形逐一推理、判斷，使問題獲解。由第一個(gè)人的回答可得出如下判斷：①四個(gè)人中一定有誠實(shí)族的人；②第一人是說謊族的。(因?yàn)槿绻膫€(gè)人全是說謊族的，那么誰也不會說“我們四個(gè)人全都是說謊族的”。）由第二、第三人的回答可得出如下判斷：③第二人是說謊族的。因?yàn)槿绻f真話，則第二、第三和第四人應(yīng)是誠實(shí)族的，但第二和第三人的回答相矛盾，故第二人必是說謊族的。對第三人，若是說謊族的，則由①、②和③知，第四人必是誠實(shí)族的；若是誠實(shí)族的，即他說真話，則第三、第四兩人必是誠實(shí)族的。因此第四人是誠實(shí)族的。第18講解數(shù)學(xué)題的策略新課程改革的一個(gè)落腳點(diǎn)就是要培養(yǎng)學(xué)生解決問題