第一章空間向量與立體幾何章末檢測（能力篇）-2

第一章空間向量與立體幾何章末檢測（能力篇）考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．平面的一個法向量是,,，平面的一個法向量是,6,，則平面與平面的關系是（）A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直【答案】C【解析】【分析】由題設知，根據(jù)空間向量共線定理，即可判斷平面與平面的位置關系.【詳解】平面的一個法向量是,,，平面的一個法向量是,6,，，平面與平面的關系是平行或重合．故選：C．2．如圖，在四面體OABC中，，，，點M在OA上，且，點N為BC的中點，則（）．A． B．C．12a+【答案】B【解析】【分析】由向量的加法、減法及數(shù)乘運算法則計算即可．【詳解】連接ON，則由題可得故選：B.3．已知向量，則與共線的一個單位向量（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，根據(jù)求得實數(shù)的值，即可求得單位向量的坐標.【詳解】設，由已知可得，解得.因此，或.故選：B.【點睛】結論點睛：與非零向量共線的單位向量為.4．對于任意空間向量a=(a1,a2,a3)b=(b1,bA． B． C． D．【答案】B【解析】由空間向量平行的條件可判斷①；根據(jù)向量的模的計算可判斷②；由空間向量垂直的條件可判斷③，從而可得選項.【詳解】由可以推出，反之不一定成立，例：、b=(0,0,0)，則，故①不正確；當時，a=a12當時，，即，反之也成立，故③正確.所以正確命題的個數(shù)為：1.故選：B.5．如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（）A．B．C．向量與的夾角是D．與所成角的余弦值為【答案】B【解析】選項，計算得，所以選項不正確；選項，，所以，所以選項正確；選項，向量與的夾角是，所以選項不正確；選項，與所成角的余弦值為，所以選項不正確.【詳解】選項，由題意可知，則，∴，所以選項不正確；選項，，又，∴，所以選項正確；選項，，，∴向量與的夾角是，所以選項不正確；選項，，，設與所成角的平面角為，∴，所以選項不正確.故選：B【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵是把幾何的問題和向量聯(lián)系起來，轉化為向量的問題，提高解題效率，優(yōu)化解題.把線段長度的計算，轉化為向量的模的計算；把垂直證明轉化為向量數(shù)量積為零；把異面直線所成的角轉化為向量的夾角計算.6．在棱長為2的正方體中，點在棱上，，點是棱的中點，點滿足，當平面與平面所成（銳）二面角的余弦值為時，經過三點的截面的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，由空間向量結合平面與平面所成二面角的余弦值為求出的值，畫出截面圖，求出截面五邊形的邊長，再由等腰三角形及等腰梯形的面積求和可得答案【詳解】解：如圖，以為坐標原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為，則，取，則，平面的一個法向量為，由題意得，解得或（舍去），延長，設，連接，交于，延長，交的延長線于，連接，交于，則五邊形為截面圖形，由題意求得，，，，，，截面五邊形如圖所示，則等腰三角形底邊上的高為，等腰梯形的高為，則截面面積為故選：B【點睛】關鍵點點睛：此題考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性質及推理，考查運算能力，解題的關鍵是建立空間直角坐標系，由平面與平面所成（銳）二面角的余弦值為求出，屬于中檔題7．已知平面內的，射線與所成的角均為135°，則與平面所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作出圖形，如圖，通過分析，可得為與平面所成的角的補角，利用余弦定理可以計算.【詳解】作出如下圖形，令，則，，取中點，連接，則即為與平面所成的角的補角，在中，，在中，，，，與平面所成的角的余弦值是.故選：B.【點睛】本題考查線面角的求法，找出所成角，構造三角形是解題的關鍵.8．平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）所有棱長都為1，且則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平方，根據(jù)向量的數(shù)量積運算法則及性質可求出.【詳解】如圖：由,,故選：C【點睛】本題主要考查了向量的加法法則、向量數(shù)量積運算性質、向量模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9．在正方體中，下列各式中運算結果為的是（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】A中，；B中，；C中，；D中，,即得解.【詳解】根據(jù)空間向量的加法運算法則及正方體的性質，逐一進行判斷：A中，；B中，；C中，；D中，．故選：BD．10．若，，與的夾角為120°，則的值為（）A． B．17 C．1 D．【答案】BD【解析】【分析】由空間向量夾角的坐標表示求解【詳解】由題意得解得或故選：BD11．正三棱柱中，，則（）A．與底面的成角的正弦值為B．與底面的成角的正弦值為C．與側面的成角的正弦值為D．與側面的成角的正弦值為【答案】BC【解析】【分析】如圖，取中點，中點，并連接，則，，三條直線兩兩垂直，則分別以這三條直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系，利用向量法求出與底面的成角的正弦值為，與側面的成角的正弦值為，即得解.【詳解】如圖，取中點，中點，并連接，則，，三條直線兩兩垂直，則分別以這三條直線為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系；設，則..．底面的其中一個法向量為，與底面的成角的正弦值為，錯對．的中點的坐標為,∴側面的其中一個法向量為，與側面的成角的正弦值為：，故對錯；故選：BC．【點睛】本題主要考查直線和平面所成的角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12．如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點，則下列結論中正確的是（）A．B．的最小值為C．平面D．異面直線與，所成角的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量計算可得；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，，所以，所以，故A正確；因為是線段上一動點，所以，所以，所以，當且僅當時，故B正確；設平面的法向量為，則，即，令，則，所以，因為，即，因為平面，所以平面，故C正確；設直線與所成的角為，因為，當在線段的端點處時，，在線段的中點時，，所以，故D錯誤；故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若，則＝______．【答案】【解析】【分析】利用空間向量的運算的坐標表示求解即可【詳解】解：因為所以，所以故答案為：．14．如圖所示，點、、分別在空間直角坐標系的三條坐標軸上，，平面的一個法向量為，平面與平面的夾角為，則________.【答案】【解析】【分析】分析可知平面的一個法向量為，利用空間向量法可求得的值.【詳解】由題意可知，平面的一個法向量為，所以，.故答案為：.15．在三棱錐O-ABC中，OA?OB?OC兩兩垂直，，，，D是AB的中點，則CD與平面OAB所成的角的正切值為___________.【答案】2【解析】【分析】由已知建立空間直角坐標系，求出的坐標和平面的法向量，由數(shù)量積公式可得與平面所成的角的正弦值，再由三角函數(shù)平方關系和商數(shù)關系可得答案.【詳解】因為兩兩垂直，所以以為原點，分別為軸的正半軸建立如圖所示空間直角坐標系，連接，所以，，，，，由于底面，所以是底面的法向量，且，設與平面所成的角為，所以，所以，所以.即與平面所成的角正切值為.故答案為：2.【點睛】本題考查了線面角的求法，解題關鍵點是建立空間直角坐標系利用向量的數(shù)量積公式求解，考查了學生的空間想象力和計算能力.16．如圖，棱長為2的正方體中，是棱的中點，點P在側面內，若垂直于，則的面積的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，由，求得，得到，進而求得三角形的面積的最小值，得到答案.【詳解】以D點為空間直角坐標系的原點，以DC所在直線為y軸，以DA所在直線為x軸，以為z軸，建立空間直角坐標系.則點，所以.因為，所以,因為,所以，所以，因為B(2，2，0)，所以，所以因為，所以當時，.因為BC⊥BP,所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查了空間向量的應用，其中解答建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用向量的坐標表示，以及向量的數(shù)量積的運算，求得的最小值是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.四、解答題：本題共6小題，共70分．其中17題10分，18-22每題12分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．如圖，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是AD1，BD，B1C的中點，利用向量法證明：（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，設出相關點的坐標，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用直線的方向向量和平面的法向量的數(shù)量積為0進行證明；（2）證明兩個平面有相同的一個法向量即可..【詳解】（1）證明：以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則A(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1).由正方體的性質，知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個法向量.由于＝(0，1，－1)，則＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.又MN?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.（2）證明：因為＝(2，0，0)為平面CC1D1D的一個法向量，由于＝(0，2，0)，＝(0，1，－1)，則，即＝(2，0，0)也是平面MNP的一個法向量，所以平面MNP∥平面CC1D1D.18．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系,則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題第一問主要考查線面垂直的相互轉化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關系的直線較多，易證平面，從而使問題得以解決；第二問思路直接，由第一問的垂直關系可以建立空間直角坐標系，根據(jù)線面角的向量公式即可計算得出．19．如圖1，在矩形ABCD中，，，E是CD的中點，將△ADE沿AE折起，得到如圖2所示的四棱錐，其中平面平面ABCE．圖一圖二(1)設F為的中點，在AB上是否存在一點M，使得平面．若存在，請證明；若不存在，請說明理由；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)存在，理由見詳解.(2)【解析】【分析】（1）先分析確定點M位置，再取D1E的中點L，根據(jù)平面幾何知識得AMFL為平行四邊形，最后根據(jù)線面平行判定定理得結果.（2）取的中點，的中點，連接，以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.(1)存在，且AM＝AB，取D1E的中點L，連接AL，F(xiàn)L，∵FLEC，ECAB，∴FLAB且FL＝AB，∴FLAM，F(xiàn)L=AM∴AMFL為平行四邊形，∴MFAL，因為MFAD1E上，AL?平面AD1E，所以MF平面AD1E.故線段AB上存在滿足題意的點M，且＝.(2)取的中點，的中點，連接，，，因為平面平面ABCE，則平面ABCE，故以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，可得，，，，,,設平面的一個法向量為，由，即，令，解得，所以，設直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為20．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為的正方形，，，.（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得，若存在，求的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）在中，滿足，可得，再由已知根據(jù)線面垂直的判定定理可證得面，再由面面垂直的判定定理可得證；（2）建立空間直角坐標系，設，，由向量垂直的坐標表示，可求得的值，可得結論.【詳解】（1）在中，，，，滿足，所以，又，，所以面，又面，所以，又四邊形是邊長為的正方形，所以，又，所以面，又平面，所以平面平面；（2）在線段上存在點，使得，且，理由如下：由（1）得，以點C為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，設，，所以，解得，，，所以，，要使，則需，即，解得，故.【點睛】本題考查線面垂直的判定和性質，面面垂直的判定定理，向量垂直的坐標條件，屬于中檔題.21．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結論；（2）以菱形對角線交點為原點可