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中小學教育資源及組卷應用平臺專題11分式方程的解法知識引入在曹沖稱象的故事中,聰明的曹沖運用了這樣一種方法:要知道大象的體重但不能直接去稱,便把問題變?yōu)槿菀邹k到的去稱石頭的重量,最后由石頭的重量還原為大象的體重。這里曹沖運用了一個極為普遍的思想一—轉(zhuǎn)化思想.即把有待解決的問題,通過適當?shù)姆椒?,轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或已經(jīng)知道其解決方法的問題.類似的故事還有“七橋問題”:在18世紀,東普魯士哥尼斯堡(今屬立陶宛共和國)內(nèi)有一條大河,河中有兩個小島。全城被大河分成四塊陸地。河上架有七座橋,把四塊陸地聯(lián)系起來.當時許多市民都在思索如下后回到原來的出發(fā)地.這就是歷史上有名的哥尼斯堡七橋問題.大數(shù)學家歐拉用“一筆畫決了這個問題,就是巧妙地運用了轉(zhuǎn)化的思想.解分式方程一般利用轉(zhuǎn)化思想,先轉(zhuǎn)化為整式方程,然后通過解整式方程求出分式方程的解.的問題:一個人能否從某一陸地出發(fā),不重復地經(jīng)過每座橋一次,最”的方法解知識解讀1.解分式方程的基本思想:把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.2.解分式方程的一般步驟:(1)方程的兩邊都乘最簡公分母,約去分母,化成整式方程;(2)解這個整式方程;(3)驗根:把整式方程的根代人最簡公分母,看結(jié)果是否等于零,使最簡公分母等于零的根是原方程的增根,必須舍去,但對于含有字母系數(shù)的分式方程,一般不要求檢驗。3.較為復雜的分式方程可以采用換元法、約分來簡化.21世紀教育網(wǎng)培優(yōu)學案典例示范一、解可化為一元一次方程的分式方程,體現(xiàn)的是轉(zhuǎn)化思想例1解方程:(1)3x2;x(2)121.x1x2【提示】按照解一元一次方程的步驟解題即可;當分式是多項式時,應先將分母的多項式因式分解,再求最簡公分母;解分式方程必須驗根.【解答】【技巧點評】利用轉(zhuǎn)化思想解分式方程的基本思路:轉(zhuǎn)化思想兩邊同時乘分轉(zhuǎn)化為求整解分式方程求得分式方程的解母的最簡公分母式方程的解分式方程最后一定要驗根跟蹤訓練11.解方程:2x3x.x1x11x11(1)(x1)(x2);(2)二、化簡后,再解方程6y12y24y20.y24y4y24y4y24例2解方程【提示】先考慮將方程中各項約分,然后按照解方程的一般步驟解題.【解答】21世紀教育網(wǎng)【技巧點評】對于一些形式比較繁瑣的方程,可先化簡,然后再解方程,可以大大簡化計算過程。跟蹤訓練2x22.解方程3x31.x23x22x22三、裂項化簡1111例3解方程:x10(x1)(x2)(x2)(x3)(x9)(x10)2.【提示】111.(x1)(x2)x1x2【解答】跟蹤訓練33.解方程:111(x2010)(x2011)11.x(x1)(x1)(x2)x四、拓展公式的應用例4解方程:1111;x4x7x5x6(2)12x1032x3424x2316x194x38x98x74x5【提示】(1)很顯然(1)決這個問題需要觀察方程特征.思路1:x4與x5直接通分比較麻煩,解1111放一邊,兩邊通分解決問x6x4x5相差1,與x7相差1,可考慮把放一邊,把x6x7題;思路2:x4與x7的和為2x11,與的和也是x5x62x11,所以考慮分別左邊通分,右邊通分;(2)先化簡,再利用第(1)題的思路解題?!窘獯稹俊炯记牲c評】這兩種方法的相似之處是,通過通分使得方程左右兩邊化為分式的分子相同、分母不相同的特殊21世紀教育網(wǎng)方程.跟蹤訓練4x4x8x7x5x5x9x8x6.4.解方程:五、整體換元例5解方程(組):661,xy2111x211x8x22x8x213x80;(2)(1)833.xy10【提示】(1)若考慮去分母,運算量過大;分拆也不行,但各分母都是二次三項式,試一試換元法;(2)把1,1看作一個整體,當作二元一次方程組解.xy【解答】【技巧點評】當分式方程的結(jié)構(gòu)較復雜且有相同或相近部分時,可通過換元將之化簡。跟蹤訓練5xy3xy22,5.35.解方程組:xy5xy拓展延伸六、可化為一元二次方程的分式方程21世紀教育網(wǎng)例6解下列分式方程:312(2)x222x(1)3;x2.xx【提示】可先去分母,將方程化成ax2+bx+c=0的形式,然后將方程左邊因式分解,可化成(xp)(xq)的形式xp0,xq0.,接著得到兩個一元一次方程【解答】【技巧點評】解可化為一元二次方程的分式方程,它的解題思路與可化為一元一次方程的解題思路相同,都是通過去分母,將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程(一元二次方程),然后解方程.跟蹤訓練66.解下列分式方程:xx232(1)(2)x12+14x24x1x競賽鏈接例7(山東省競賽試題)形如x+1a1結(jié)構(gòu)的分式方程的解法:形如x+1a1的分式方xaxaxx+1x2535x+11012xax程的解是=,利用上面的結(jié)論解方程+12a【提示】方程左邊兩項的乘積為1,可考慮化為上述類型的問題求解.【解答】跟蹤訓練71x113的一個根是3,則另一個根是.27.(初中數(shù)學競賽試題)方程+x21世紀教育網(wǎng)培優(yōu)訓練直擊中考1.★解下列分式方程:216(2)14x783x0(1)5+x1x3x82x1x322xx(3)12(4)2x13xx22.★解下列分式方程:x2161(2)4x224(1)1x+2x24x+24x2x23.★解下列分式方程:13xx21x2631(1)1(2)(x1)(x1)x11xx+13x3222(4)(3)1x1x1x+2x1挑戰(zhàn)競賽3x+9“希望杯”全國數(shù)學邀請賽試題)若a是有理數(shù),使得分式方程1沒有解,則另xa1.★
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