離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日一、信息

對信息有不同的定義：“消息就是信息”，或“有用消息就是信息”等。華東師大《信息科技》教材定義為“信息指數(shù)據(jù)、消息中包含的意義”。本書定義：沒有差異就沒有世界，差異就是信息。第二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日二、信息是有密度的

電子數(shù)字計算機中的信息，都以離散脈沖表示。教育教學(xué)評價中，也碰到大量離散數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)表達(dá)了某種實際意義，例如身高、體重、成績、人數(shù)差異，因此是信息。第三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日信息密度定義定義：設(shè)為信息密度尺度，簡稱為信息密度，記映射測度則信息密度二、信息是有密度的第四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日將黑點看成一個個數(shù)據(jù)信息密度低信息密度高二、信息是有密度的第五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日有離散序列

若取其中：

n個數(shù)則信息密度故當(dāng)離散序列中的數(shù)據(jù)全部用上時，信息密度最大。5個數(shù)2個數(shù)第六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

連續(xù)函數(shù)有導(dǎo)數(shù)、微分和微分方程。近20年來，離散函數(shù)在導(dǎo)數(shù)、微分和微分方程建模上的成功突破，大大提高了實用數(shù)學(xué)模型的精度（有的高達(dá)99%以上）。三、離散數(shù)據(jù)的導(dǎo)數(shù)第七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日1．連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)y=x(t)的導(dǎo)數(shù)一般形式定義為

定義：當(dāng)函數(shù)在一點的左極限等于右極限并等于該點的函數(shù)值時，函數(shù)在該點連續(xù)。第八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

這是函數(shù)的圖像，該函數(shù)在點p處連續(xù)可導(dǎo)。p第九頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日2．光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

當(dāng)k足夠大時，k時刻的函數(shù)值x(k)小于k時刻以前所有（離散）函數(shù)值之和，即時，稱x(k)為光滑離散函數(shù)。定義：光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為第十頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日3．比較光滑離散函數(shù)和連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為一元函數(shù)y=x(t)的導(dǎo)數(shù)為離散函數(shù)信息密度足夠大時：△t=1第十一頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日由光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義知，導(dǎo)數(shù)是x(k)和x(k-1)的二元組合，并稱之為導(dǎo)數(shù)偶對，記為（x(k)，x(k-1)）。光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是偶對導(dǎo)數(shù)的映射4．光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)偶對、背景值和平射性第十二頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

k不同，偶對就不同，導(dǎo)數(shù)dx/dt也不同。事實上，每一個dx/dt都是在一定的背景值χ(k)下得到的，故稱χ(k)為k時刻導(dǎo)數(shù)dx/dt的背景值。4．光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)偶對、背景值和平射性第十三頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日4．光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)偶對、背景值和平射性連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)是在△t0條件下定義的。當(dāng)△t足夠小時，導(dǎo)數(shù)偶對x(t)和x(t-△t)幾乎重合。背景值χ(t)到偶對x(t)和x(t-1)具有平射性?！鱰0時χ(t)=x(t)=x(t-1)連續(xù)函數(shù)第十四頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

光滑離散函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，盡管時間間隔△t

足夠小，甚至也可以寫成△t

0

，但是時區(qū)測度m[x(k)，x(k-1)]=1的性質(zhì)卻始終沒變，對應(yīng)的背景值χ(k)，應(yīng)該取x(k)和x(k-1)中的哪一個，也始終存在，并成了問題的關(guān)鍵。4．光滑離散函數(shù)導(dǎo)數(shù)偶對、背景值和平射性定理：當(dāng)以偶對（x(t)，x(t-1)）的均值生成z1(k)為背景值χ(k)時，χ(k)到偶對（x(t)，x(t-1)）具有平射性。第十五頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日三、過程評價中的應(yīng)用過程評價：根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中記錄下的一系列數(shù)據(jù)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和成績給予評定。即，根據(jù)已知數(shù)據(jù)，推測出整體發(fā)展情況和最終結(jié)果。例如：下圖中，紅點表示某一學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的一些已記錄數(shù)據(jù)。第十六頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日

數(shù)據(jù)較少，信息密度較低，構(gòu)不成光滑離散函數(shù)，較難推測出學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

數(shù)據(jù)多，信息密度高，構(gòu)成光滑離散函數(shù)，能比較準(zhǔn)確的掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。第十七頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日三、過程評價中的應(yīng)用

我們知道，連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是在函數(shù)圖像上某點的斜率(k)。

k<0,是減函數(shù)，f(x+△x)<f(x)，學(xué)生成績處于下降階段；

k>0,是增函數(shù)，f(x+△x)>f(x)，學(xué)生成績處于上升階段；

k>0時，若k值不斷增加，學(xué)生成績突飛猛進。

k<0時，若k值不斷減小，成績迅速下滑。第十八頁，共二十頁，編輯于2023年，星期日三、過程評價中的應(yīng)用在光滑離散函數(shù)中，如何選取一點測斜率呢？

根據(jù)前面介紹的平射行