矩陣分析基礎

矩陣分析基礎第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日§5.1向量和矩陣的范數(shù)

1．向量的范數(shù)定義1：設XRn，Ｘ

表示定義在Rn上的一個實值函數(shù)，稱之為X的范數(shù)，它具有下列性質(zhì)：（3）三角不等式：即對任意兩個向量X、YRn，恒有

(1)非負性：即對一切XRn，X

0,Ｘ>0(2)齊次性：即對任何實數(shù)aR，XRn，第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日

設X=(x1,x2,…,xn)T，則有

（1）（2）（3）三個常用的范數(shù)：范數(shù)等價:設‖·‖A和‖·‖B是R上任意兩種范數(shù)，若存在常數(shù)C1、C2

>0使得,則稱

‖·‖A和‖·‖B

等價。第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日定理1：定義在Rn上的向量范數(shù)

是變量X分量的

一致連續(xù)函數(shù)。定理2：在Rn上定義的任一向量范數(shù)

都與范數(shù)

等價，

即存在正數(shù)

M與m(M>m)

對一切XRn，不等式成立。推論：Rn上定義的任何兩個范數(shù)都是等價的。

第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日對常用范數(shù)，容易驗證下列不等式：

第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日定義2：設給定Rn中的向量序列{}，即其中若對任何i(i=1,2,…,n)都有則向量

稱為向量序列{}的極限，或者說向量序列{}依坐標收斂于向量，記為第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日定理3：向量序列{Xk}依坐標收斂于X*的充要條件是向量序列依范數(shù)收斂與依坐標收斂是等價的。2．矩陣的范數(shù)定義3：設A為n

階方陣，Rn中已定義了向量范數(shù)，

則稱

為矩陣A的算子范數(shù)或模，

記為。即第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日矩陣范數(shù)的基本性質(zhì)：

（1）當A=0時，＝0，當A0時，>0（2）對任意實數(shù)k和任意A，有（3）對任意兩個n階矩陣A、B有（5）對任意兩個n階矩陣A、B，有（4）對任意向量XRn，和任意矩陣A，有第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日例5:設A＝(aij)∈M.定義證明：這樣定義的非負實數(shù)不是相容的矩陣范數(shù).證明：設從而第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日定理4：設n

階方陣A=(aij)nn，則（Ⅰ）與相容的矩陣范數(shù)是（Ⅱ）與相容的矩陣范數(shù)是其中1為矩陣ATA的最大特征值。（Ⅲ）與相容的矩陣范數(shù)是上述三種范數(shù)分別稱為矩陣的1-范數(shù)、2-范數(shù)和∞-范數(shù)。第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日可以證明,對方陣和，有

(向量||·||2的直接推廣)Frobenius范數(shù):注：（1）（2）矩陣的Frobenius范數(shù)不是算子范數(shù)。第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日3．矩陣的范數(shù)與特征值之間的關系定理5：矩陣A的任一特征值的絕對值不超過A的范數(shù)，即

定義4：矩陣A的諸特征值的最大絕對值稱為A的譜半徑，記為：并且如果A為對稱矩陣，則

第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日注:Rn×n中的任意兩個矩陣范數(shù)也是等價的。定義5：設||·||為Rn×n上的矩陣范數(shù)，A,B∈Rn×n稱||A-B||為A與B之間的距離。定義6：設給定Rn×n中的矩陣序列{

}，若則稱矩陣序列{}收斂于矩陣A，記為第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日定理6

設B∈Rn×n，則由B的各冪次得到的矩陣序列Bk,k=0,1,2…)收斂于零矩陣（）的充要條件為。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日4.矩陣的條件數(shù)定義5設矩陣為非奇異矩陣，則稱為矩陣

的條件數(shù)，其中是矩陣的算子范數(shù)。對矩陣的任意一個算子范數(shù)，有第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日§

5.2初等矩陣

初等矩陣對線性方程組的研究起著重要的作用，本節(jié)介紹一般形式的初等矩陣，它是矩陣計算的基本工具。5.2.1初等矩陣定義6

設向量，則形如

的矩陣叫做實初等矩陣，其中是階單位矩陣，第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日向量，為初等下三角陣。定理5.2.1初等下三角陣具有如下性質(zhì)：(1)；5.2.2初等下三角矩陣定義7

令向量

則稱矩陣

第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日(3)任何一個單位下三角陣都可分裂成

因此，對任一非奇異下三角陣，都可分裂成一個非奇異對角陣和若干個下三角陣的乘積。(4)

左乘矩陣

的結果是從的各行中減去第

行乘一個因子。

初等下三角陣在矩陣的滿秩分解、三角分解以及解線性代數(shù)方程組的直接解法中起著重要的作用。(2)為單位下三角陣；第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日5.2.3Householder矩陣定義8

設向量

，且

，稱形如為Householder矩陣，或稱Householder變換、反射矩陣。要得到Householder矩陣，只要在初等矩陣中，定理5.2.2Householder矩陣具有以下性質(zhì)：

(1)矩陣

是對稱陣，即；(2)矩陣是正交矩陣，即

(3)變換保持向量長度不變，即對任意向量，;，即可。

取向量第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日(4)設為以為法向量過原點的超平面，對任意的非零向量，有與

關于超平面對稱。

定理5.2.3

對任意的非零向量，可以適當選擇合適的向量，滿足

，用其構造的矩陣可將

變換為單位向量

的常數(shù)倍，使得其中，是實數(shù)，并且第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日定義9將

階單位陣

改變第

行和第列的四個元素得到矩陣5.2.4Givens旋轉矩陣稱為Givens旋轉矩陣，或稱Givens變換，

為旋轉角。第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日是一個正交矩陣，對任意向量

，由線性變換

，其中，

，可得

5.2.5Hessenberg矩陣定義10若實矩陣

的次對角線以下元素均為零，即時，

，稱形如

第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日的矩陣為上Hessenberg（海森伯格）陣，或擬上三角陣。如果次對角線元素

全不為零，則稱該矩陣為不可約的上Hessenberg陣。

定理5.2.4對任意矩陣

，總存在正交陣使得為上Hessenberg陣。

5.2.6對角占優(yōu)陣定義11設矩陣

，若存在一個排列陣

，使得

否則稱矩陣是不可約的。

其中

，則稱矩陣是可約的，第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日定義12設矩陣，若且至少有一個不等式嚴格成立，則稱矩陣為弱對角占優(yōu)陣，對所有不等式嚴格成立，則稱矩陣

為嚴格對角占優(yōu)陣。定理5.2.5（對角優(yōu)勢定理）若矩陣為嚴格對角占優(yōu)陣，或者為不可約且弱對角占優(yōu)陣，則若第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日歷史與注記

阿爾斯通·豪斯霍德(AlstonScottHouseholder，1904–1993)Householder1904年生于美國伊利諾州的洛克福特。1937年取得了芝加哥大學博士學位之后他獲得洛克菲勒基金會的資助，在芝加哥大學從事研究，1944年被提升為數(shù)學和生物物理學的副教授。二戰(zhàn)后他為美國海軍研究實驗室作數(shù)學顧問，他的研究興趣轉向數(shù)值計算，不久，他又轉移到位于OakRidge，Tennessee的著名的國家實驗室，從事與原子能和武器有關的并行計算的研究。他于1954～1956年間出任ACM的主席，1963—1964年又出任工業(yè)與應用數(shù)學學會SIAM的主席。豪斯霍德1969年獲HarryGoode獎，他是美國藝術和科學院院士。1980年獲得計算機先驅獎。

Householder的主要貢獻在數(shù)據(jù)處理技術方面，他的研究領域主要是數(shù)值分析、數(shù)值代數(shù)、生物數(shù)學，尤其是計算機在生物醫(yī)學和生理學方面的應用。1958年，他發(fā)明了“矩陣反演”(matrixinversion)，可用以當圓錐曲線(也就是二次曲線)在n維空間中其坐標軸發(fā)生旋轉時找出其基本不變式。第二十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期日而在用最小二乘法(1east—squares)對矩陣進行近似計算時，目前常用到的一種變換法也是由豪斯霍德創(chuàng)造的，因而被稱為Householdertransformation”。此外，Householder還是系統(tǒng)使用“范數(shù)”作為數(shù)值方法分析理論工具的先驅