2023屆北京市海淀區(qū)高考三模數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁北京市海淀區(qū)2023屆高三三模數(shù)學試題本試卷共6頁，共150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】因為，，所以.故選：B2.在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）對應的點所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解：在復平面內(nèi)，復數(shù)所對應的點在第二象限.故選：B.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對于A：定義域上單調(diào)遞增，故A錯誤；對于B：在定義域上單調(diào)遞增，故B錯誤；對于C：定義域為，因為在上單調(diào)遞減且值域為，又在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：D4.若直線是圓的一條對稱軸，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得到圓心坐標，即可得到圓心在直線上，從而求出參數(shù)的值.【詳解】圓的圓心為，因為直線是圓的一條對稱軸，所以圓心在直線上，所以，解得.故選：A5.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖象，若的一條對稱軸是直線，則的一個可能取值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求得圖象的解析式，列出關于的方程，解之即可求得的值，進而得到的一個可能取值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到圖象，則圖象的解析式為，由的一條對稱軸是直線，可得，即，則則，即，則的一個可能取值是.故選：C6.公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，開創(chuàng)了秦朝統(tǒng)一度量衡的先河.如圖，升體是長方體，手柄近似空心的圓柱.已知銅方升總長是，內(nèi)口長，寬，高（忽略壁的厚度，取圓周率），若手柄的底面半徑為，體積為，則銅方升的容積約為（小數(shù)點后保留一位有效數(shù)字）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由手柄的體積求出手柄的長度，即可得到長方體的內(nèi)口長，再根據(jù)長方體的體積公式計算可得.【詳解】依題意手柄的底面半徑為，體積為，則手柄的底面積為，所以手柄的長度為，所以長方體的內(nèi)口長，所以升體的容積為，即銅方升的容積約為.故選：A7.已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用反例說明充分性不成立，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷必要性.【詳解】因為，所以且，則，若，不妨令，則，，，，，，顯然不單調(diào)，故充分性不成立，若為遞減數(shù)列，則不是常數(shù)數(shù)列，所以單調(diào)，若單調(diào)遞減，又在，上單調(diào)遞減，則為遞增數(shù)列，矛盾；所以單調(diào)遞增，則，且，其中當，時也不能滿足為遞減數(shù)列，故必要性成立，故“”是“為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B8.“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關注.深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為，衰減速度為，且當訓練迭代輪數(shù)為時，學習率為，則學習率衰減到以下（不含）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（）A.75 B.74 C.73 D.72【答案】D【解析】【分析】由已知可得，再由，結合指對數(shù)關系及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題設可得，則，所以，即，所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為次．故選：D．9.已知為單位向量，向量滿足，，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】設，，根據(jù)求出，再根據(jù)得到，最后根據(jù)向量模的坐標表示及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】依題意設，，由，所以，則，又，且，所以，即，所以，當且僅當時取等號，即的最大值為.故選：C10.已知等比數(shù)列，對任意，，是數(shù)列的前項和，若存在一個常數(shù)，使得，；下列結論中正確的是（）A.是遞減數(shù)列 B.是遞增數(shù)列C. D.一定存在，當時，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，利用反例即可判斷ABC,由反證法即可求解D.【詳解】對于A,若符合，此時，故存在,對，，但此時是遞增數(shù)列，故A錯誤，對于B，若，符合，此時，故存在,對，，但此時是遞減數(shù)列，，故BC錯誤，對于D，存在，當時，，則,當時，，這與，使得，矛盾，故存在，當時，，故D正確，故選：D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.在的展開式中，常數(shù)項為__________．【答案】【解析】【分析】利用二項式定理求出通項公式并整理化簡，然后令的指數(shù)為零，求解并計算得到答案.【詳解】的展開式的通項令，解得，故常數(shù)項為．故答案為：.12.若雙曲線漸近線的方程為，則______.【答案】【解析】【分析】首先判斷，再表示出雙曲線的漸近線方程，即可得到方程，解得即可.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，則漸近線方程為，所以，則.故答案為：13.拋物線的焦點為，直線與C交于A，B兩點，則的值為______.【答案】或【解析】【分析】先求得A，B兩點的坐標，再利用拋物線定義求得的值，進而求得的值.【詳解】拋物線的焦點，準線為，由，整理得，解之得或，則或則或，則或故答案為：或14.若點與點關于軸對稱，寫出一個符合題意的______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】依題意可得，利用和角公式展開得到，即可求出的取值.【詳解】因為點與點關于軸對稱，則，由可得，則，所以，由，可得，則，所以，因此，取.故答案為：（答案不唯一）15.已知，給出以下命題：①當時，存在，有兩個不同的零點②當時，存在，有三個不同的零點③當時，對任意的，的圖象關于直線對稱④當時，對任意的，有且只有兩個零點其中所有正確的命題序號是______.【答案】①②③【解析】【分析】當，時，利用導數(shù)可求得在時的單調(diào)性，確定，利用導數(shù)可求得，可確定時在上有唯一零點；代回時驗證，結合零點存在定理可確定在定義域內(nèi)共有兩個不同零點，知①正確；當，時，易知為在上的唯一零點；當時，利用導數(shù)求得單調(diào)性，取，結合零點存在定理可說明在定義域內(nèi)共有三個不同零點，知②正確；根據(jù)解析式驗證知，知③正確；當時，結合導數(shù)可知時，有且僅有兩個零點；當時，利用導數(shù)可求得單調(diào)性，通過反例時，有三個不同零點可知④錯誤.【詳解】對于①，當時，，則定義域為；當時，，，當時，令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，即當時，，則在上有唯一零點；當，時，，，在上單調(diào)遞減，，，，使得，在有唯一零點；則當，時，有兩個不同的零點，①正確；對于②，當時，，則定義域為；當時，，；當時，，，，在上單調(diào)遞減；又，在上有唯一零點；當時，，；令，解得：，當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；；令，則，當時，；當時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；不妨取，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，，，使得，即在上存在兩個不同零點和；則當，時，有三個不同的零點，②正確；對于③，當時，，，對于任意的，的圖象關于直線對稱，③正確；對于④，當時，，則定義域為；當時，若，，；則恒成立，在上單調(diào)遞增，又，在上有唯一零點；若，，；則恒成立，在上單調(diào)遞減，又，在上有唯一零點；當時，有且僅有兩個零點；當時，若，，；令，解得：（舍）或，當時，；當時，；不妨取，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；又，，使得，又，恒成立，當時，有三個不同的零點，④錯誤.故答案為：①②③.【點睛】關鍵點點睛：本題重點考查了利用導數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)的問題；解題關鍵是能夠通過分類討論的方式，結合變量的范圍討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，結合零點存在定理確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，從而得到結論.三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.在中，.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理的邊角相互轉(zhuǎn)化即可得到結果；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，再由三角形的面積公式即可得到結果.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，，因為，所以，且，所以或.【小問2詳解】由（1）可知或，且，，所以即，由余弦定理可得，，即，解得或，當時，，當時，，所以的面積為或.17.在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，且平面，分別是的中點，是上一點，且.（1）求證：平面；（2）再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答記分.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）通過證明即可證明結論；（2）以O為原點建立空間直角坐標系，由選擇條件可得相應點坐標，可得向量PA坐標與平面法向量坐標，即可得答案.【小問1詳解】因G，F(xiàn)分別為中點，則為中位線，則.又平面，平面，則平面【小問2詳解】如圖以O為原點建立空間直角坐標系.若選①，因，底面是邊長為2的菱形，則，若選②，因，底面是邊長為2的菱形，則，則，.所以.又，則，得則，.設平面法向量為，則.得，又，設直線與平面所成角為.則.18.2023年9月23日至2023年10月8日，第19屆亞運會將在中國杭州舉行.杭州某中學高一年級舉辦了“亞運在我心”的知識競賽，其中1班，2班，3班，4班報名人數(shù)如下：班號1234人數(shù)30402010該年級在報名的同學中按分層抽樣的方式抽取10名同學參加競賽，每位參加競賽的同學從預設的10個題目中隨機抽取4個作答，至少答對3道的同學獲得一份獎品.假設每位同學的作答情況相互獨立.（1）求各班參加競賽的人數(shù)；（2）2班的小張同學被抽中參加競賽，若該同學在預設的10個題目中恰有3個答不對，記他答對的題目數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（3）若1班每位參加競賽的同學答對每個題目的概率均為，求1班參加競賽的同學中至少有1位同學獲得獎品的概率.【答案】（1）3,4,2,1（2）分布列見解析，2.8（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)分層抽樣計算可得；（2）根據(jù)超幾何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；（3）計算1班每位同學獲獎的概率，然后根據(jù)二項分布求解即可.【小問1詳解】各班報名人數(shù)總共100人，抽取10人，抽樣比為，故班分別抽取（人），（人），（人），（人）.【小問2詳解】由題意，的可能取值為1,2,3,4，,,,,所以的分布列為：1234【小問3詳解】由題意，1班每位同學獲獎的概率為,設1班獲獎人數(shù)為，則，所以至少1人獲獎的概率為.19.已知橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為4，且右焦點為.（1）求橢圓C的方程；（2）設A，B分別為橢圓C的左、右頂點，點P為橢圓C上一點（不與A，B重合），直線AP，BP分別與直線相交于點M，N.當點P運動時，求證：以MN為直徑的圓交x軸于兩個定點.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點得，由橢圓定義可得，即可求出橢圓方程；（2）利用直線和相交求出點的坐標，設以為直徑的圓與軸交于點，根據(jù)及在橢圓上可得出圓過定點，即可得證.【小問1詳解】由題意，，即，因為右焦點為，所以，所以，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設，由（1）知，，直線，，直線，直線分別與相交，可得，設以為直徑的圓與軸交于點，則，，由可得，即，由在橢圓上可得，即，代入上式可得，即，解得或，即以為直徑的圓過軸上的定點和.【點睛】方法點睛：過定點問題的兩大類型及解法（1）動直線過定點問題．解法：設動直線方程(斜率存在)為，由題設條件將用表示為，得，故動直線過定點．（2）動曲線過定點問題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．20.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)在上有最小值，求的取值范圍；（3）如果存在，使得當時，恒有成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求解作答.（2）利用導數(shù)分類討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值情況作答.（3）變形不等式，構造函數(shù)，利用導數(shù)探討恒成立的k的范圍作答.【小問1詳解】當時，，求導得：，則，而，所以曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】，，函數(shù)，求導得：，顯然恒有，則當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無最小值，不符合題意；當時，由，得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即當時，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)在上有最小值，的取值范圍是.【小問3詳解】，因為存在，使得當時，恒有成立，則有存在，使得當時，，令，即有，恒成立，求導得，令，，因此函數(shù)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，當，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，成立，從而，當時，，，則存在，使得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時