人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章 空間向量與立體幾何

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁人教A版（2019）選擇性必修第一冊第一章空間向量與立體幾何一、單選題1．已知是空間的一個基底，則可以與向量，構成基底的向量是（

）A． B． C． D．2．與向量平行的一個向量的坐標是()A． B．(-1,-3,2)C． D．(,-3,-2)3．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則平面與平面的位置關系是（

）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能確定5．經(jīng)過點(－，2)，傾斜角是30°的直線的方程是（

）A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)6．已知圓，圓，，分別為圓和圓上的動點，為直線上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．在空間直角坐標系內，平面經(jīng)過三點，向量是平面的一個法向量，則（

）A． B． C．5 D．78．如圖，在平行六面體中，，，，點P在上，且，則等于（）A． B．C． D．9．如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內部且滿足，則P到AB的距離為（

）A． B．C． D．10．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長為2，且與，的夾角都等于．若是的中點，則（

）A． B． C． D．11．如圖在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱且，則（）A． B． C． D．12．下列命題正確的是（

）A．若與共線，與共線，則與共線B．三個向量共面，即它們所在的直線共面C．若，則存在唯一的實數(shù)，使D．零向量是模為，方向任意的向量二、填空題13．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點O為空間任一點，設，，，則向量用表示為________．14．已知分別是平面α，β，γ的法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有________對．15．在空間直角坐標系中，點滿足：，平面過點，且平面的一個法向量，則點P在平面上所圍成的封閉圖形的面積等于__________.16．已知空間四邊形OABC，其對角線為OB，AC，M，N分別是OA，BC的中點，點G在線段MN上，且，現(xiàn)用基底{}表示向量，有=x+y+z，則x，y，z的值分別為____．三、解答題17．如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，．是底面的內接正三角形，為上一點，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．18．在三棱錐A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O為BD的中點，AO⊥平面BCD，AO=2，E為AC的中點．（1）求直線AB與DE所成角的余弦值；（2）若點F在BC上，滿足BF=BC，設二面角F—DE—C的大小為θ，求sinθ的值．19．如圖，在三棱錐中，，，為正三角形，為的中點，，.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.20．《九章算術》是我國古代的數(shù)學著作，是“算經(jīng)十書”中最重要的一部，它對幾何學的研究比西方要早1000多年.在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.如圖，在塹堵中，，，M，N分別是，BC的中點，點P在線段上.（1）若P為的中點，求證：平面.（2）是否存在點P，使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為？若存在，試確定點P的位置；若不存在，請說明理由.21．如圖所示，在平行六面體中，AB＝AD＝A＝1，∠AD＝∠AB＝∠BAD＝60°，求：（1）A的長；（2）B的長.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D由基底的定義求解即可【詳解】因為，，，為共面向量，所以不能構成基底，故A錯誤；因為，，，為共面向量，所以不能構成基底，故B錯誤；因為，，，為共面向量，所以不能構成基底，故C錯誤；因為，，，為不共面向量，所以能構成基底，故D正確；故選：D2．C根據(jù)向量共線定理判定即可．【詳解】對于A，由于，所以與向量不共線，故A不正確．對于B，由題意得向量與向量不共線，故B不正確．對于C，由于，所以與向量共線，故C正確．對于D，由題意得向量(,3,2)與向量不共線，故D不正確．故選C．判斷兩個向量是否共線的方法是判斷兩個向量之間是否滿足，其中為常數(shù)，本題考查計算能力和變形能力，屬于基礎題．3．C將，兩邊平方，利用空間向量的數(shù)量積即可得選項.【詳解】設與的夾角為．由，得，兩邊平方，得，所以，解得，又，所以，故選：C．4．C根據(jù)兩個平面的法向量，結合向量的數(shù)量積的運算，進而得到答案.【詳解】由題意，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，可得，故兩個平面的法向量垂直，故平面和平面相互垂直.故選：C.5．C根據(jù)k=tan30°求出直線斜率，再利用點斜式即可求解.【詳解】直線的斜率k=tan30°=，由直線的點斜式方程可得y－2＝(x＋)，故選：C．6．A分析圓與圓的圓心和半徑，求出與圓關于直線對稱的圓，再設圓上的點與圓上點對稱，分析可得原問題可以轉化為到圓和圓上的動點距離之和最小值問題，據(jù)此分析可得答案．【詳解】圓，即，圓心為，半徑，圓，即，圓心為，半徑，設點關于直線對稱的點為則，解得：，圓關于直線對稱的圓為圓，其圓心為，半徑，則其方程為，設圓上的點與圓上點對稱，則有，原問題可以轉化為到圓和圓上的動點距離之和最小值問題，連接，與直線交于點，此時點是滿足最小的點，此時，即的最小值為，故選：A．關鍵點點睛：本題考查直線與圓的位置關系，涉及圓與圓關于直線的對稱問題，解答本題的關鍵是求出圓直線對稱的圓的方程，原問題可以轉化為到圓和圓上的動點距離之和最小值問題.7．D求出，，利用與數(shù)量積為0，求解即可.【詳解】，可得，，故選：D8．B根據(jù)題意得到，結合空間向量的運算法則，準確運算，即可求解.【詳解】因為，所以，根據(jù)空間向量的運算法則，可得，又因為，，，所以.故選：B.9．C以為坐標原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，由題意，計算出和的坐標，然后根據(jù)向量法求點到直線的距離公式即可求解.【詳解】解：如圖，以為坐標原點，AB，AD，AE所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，因為，所以，，,所以點P到AB的距離．故選：C.10．A設，，，根據(jù)向量的線性運算表示出，平方后利用向量的數(shù)量積運算即可求解.【詳解】記，，，因為，，所以，．又因為，，所以，．易得，所以，所以．故選：A本題主要考查了向量的線性運算，向量的數(shù)量積運算及性質，考查了運算能力，屬于中檔題.11．B先求出，，，，，，再計算即可.【詳解】解：因為底面是邊長為1的正方形，側棱且，則，，，，，，則故選：B.本題考查向量的數(shù)量積，向量的模的計算公式，是中檔題.12．D假設為零向量，即可判斷A選項；根據(jù)向量的特征，可判斷B選項；根據(jù)共線向量定理，可判斷C選項；根據(jù)零向量的定義，可判斷D選項.【詳解】A選項，若，則根據(jù)零向量方向的任意性，可的與共線，與共線；但與不一定共線，故A錯；B選項，因為向量是可以自由移動的量，因此三個向量共面，其所在的直線不一定共面；故B錯；C選項，根據(jù)共線向量定理，若，其中，則存在唯一的實數(shù)使；故C錯；D選項，根據(jù)零向量的定義可得，零向量是模為，方向任意的向量；即D正確.故選：D.本題主要考查向量相關命題的判定，熟記向量的概念，向量的特征，以及共線向量定理即可，屬于基礎題型.13．.根據(jù)向量的線性運算可得答案.【詳解】解：因為＝－2，∴，∴，∴.故答案為：.14．0計算每兩個向量的數(shù)量積，判斷該兩個向量是否垂直，可得答案.【詳解】因為，，.所以中任意兩個向量都不垂直，即α，β，γ中任意兩個平面都不垂直．故答案為：0.15．由題意，點在球面上，所以點P在平面上所圍成的封閉圖形即為平面截球面所得的截面圓，根據(jù)球的截面性質求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】解：由題意，點在以為球心，半徑為4的球面上，所以點P在平面上所圍成的封閉圖形即為平面截球面所得的截面圓，因為平面的方程為，即，所以球心到平面的距離為，所以截面圓的半徑，截面圓的面積為，所以點P在平面上所圍成的封閉圖形的面積等于.故答案為：.16．x=，y=，z=．利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.【詳解】∵=+=+=++=∴x=，y=，z=．故答案為：x=，y=，z=．17．（1）證明見解析；（2）.（1）要證明平面，只需證明，即可；（2）方法一：過O作∥BC交AB于點N，以O為坐標原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，分別算出平面的一個法向量，平面的一個法向量為，利用公式計算即可得到答案.【詳解】（1）[方法一]：勾股運算法證明由題設，知為等邊三角形，設，則，，所以，又為等邊三角形，則，所以，，則，所以，同理，又，所以平面；[方法二]：空間直角坐標系法不妨設，則，由圓錐性質知平面，所以，所以．因為O是的外心，因此．在底面過作的平行線與的交點為W，以O為原點，方向為x軸正方向，方向為y軸正方向，方向為z軸正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，．所以，，．故，．所以，．又，故平面．[方法三]：因為是底面圓O的內接正三角形，且為底面直徑，所以．因為（即）垂直于底面，在底面內，所以．又因為平面，平面，，所以平面．又因為平面，所以．設，則F為的中點，連結．設，且，則，，．因此，從而．又因為，所以平面．[方法四]：空間基底向量法如圖所示，圓錐底面圓O半徑為R，連結，，易得，因為，所以．以為基底，平面，則，，且，所以．故．所以，即．同理．又，所以平面．（2）[方法一]：空間直角坐標系法過O作∥BC交AB于點N，因為平面，以O為坐標原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設平面的一個法向量為，由，得，令，得，所以，設平面的一個法向量為由，得，令，得，所以故，設二面角的大小為，由圖可知二面角為銳二面角，所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法設，易知F是的中點，過F作交于G，取的中點H，聯(lián)結，則．由平面，得平面．由（1）可得，，得．所以，根據(jù)三垂線定理，得．所以是二面角的平面角．設圓O的半徑為r，則，，，，所以，，．在中，，．所以二面角的余弦值為．[方法三]：射影面積法如圖所示，在上取點H，使，設，連結．由（1）知，所以．故平面．所以，點H在面上的射影為N．故由射影面積法可知二面角的余弦值為．在中，令，則，易知．所以．又，故所以二面角的余弦值為．【整體點評】本題以圓錐為載體，隱含條件是圓錐的軸垂直于底面，（1）方法一：利用勾股數(shù)進行運算證明，是在給出數(shù)據(jù)去證明垂直時的常用方法；方法二：選擇建系利用空間向量法，給空間立體感較弱的學生提供了可行的途徑；方法三：利用線面垂直，結合勾股定理可證出；方法四：利用空間基底解決問題，此解法在解答題中用的比較少；（2）方法一：建系利用空間向量法求解二面角，屬于解答題中求角的常規(guī)方法；方法二：利用幾何法，通過三垂線法作出二面角，求解三角形進行求解二面角，適合立體感強的學生；方法三：利用射影面積法求解二面角，提高解題速度.18．（1）（2）（1）建立空間直角坐標系，利用向量數(shù)量積求直線向量夾角，即得結果；（2）先求兩個平面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關系得結果.【詳解】（1）連以為軸建立空間直角坐標系，則從而直線與所成角的余弦值為（2）設平面一個法向量為令設平面一個法向量為令因此本題考查利用向量求線線角與二面角，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19．（1）證明見解析；（2）與平面所成角的正弦值為.（1）、取的中點，連接，證明結合，先證明平面，得到，再證明，然后證明平面；（2）、以為坐標原點建立空間直角坐標系，計算平面的法向量及，利用向量法求線面角.【詳解】（1）證明：作的中點，連接，因為是正三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為∥，所以，又平面，所以平面；（2）以為坐標原點,所在直線分別為為軸非負半軸，建立空間直角坐標系如圖示，則，所以，設平面的法向量為，則，取，則，設與平面所成角為，則.與平面所成角的正弦值為.20．（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.（1）取的中點H，連接PH，HC.，利用中位線定理證明四邊形PHCN為平行四邊形，從而得到，由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，設，其中，，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出等式，求解即可得到答案．【詳解】解析（1）證明：取的中點H，連接PH，HC.在塹堵中，四邊形為平行四邊形，所以且.在中，P，H分別為，的中點，所以且.因為N為BC的中點，所以，從而且，所以四邊形PHCN為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面.（2）以A為原點，AB，AC，所在直線分別為x軸?y軸?z軸，建立空間直角坐標系，則，，，.易知平面ABC的一個法向量為.假設滿足條件的點P存在，令，則，.設平面PMN的一個法向量是，則即令，得，，所以.由題意得，解得，故點P不在線段上.方法點睛：利用空間直角坐標系求二面角具體做法：1.設分別設出兩個平面的法向量,n1=(x1,y1,z1);n2=(x2,y2,z2)2.求出平面內線段所在直線的向量式（每個平面求出兩個向量）3.利用法向量垂直平面,即垂直平