高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)(新人教A)10.5二項(xiàng)式定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精10。5二項(xiàng)式定理●知識(shí)梳理1。二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ).2。二項(xiàng)展開式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3。利用二項(xiàng)式展開式可以證明整除性問題，討論項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式,進(jìn)行近似計(jì)算等?！顸c(diǎn)擊雙基1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,則|a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9|等于A.29 B.49 C.3解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，∴｜a0｜+｜a1｜+|a2｜+…+|a9|=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知條件中只需賦值x=－1即可.答案：B2。（2x+）4的展開式中x3的系數(shù)是A.6 B。12 C。24 D.48解析:（2x+）4=x2（1+2）4,在（1+2）4中，x的系數(shù)為C·22=24。答案:C3。（2x3－）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是A。14 B.－14 C.42 D。－42解析：設(shè)（2x3－）7的展開式中的第r+1項(xiàng)是T=C（2x3）（－）r=C2·（－1）r·x，當(dāng)－+3（7－r）=0，即r=6時(shí)，它為常數(shù)項(xiàng)，∴C（－1）6·21=14。答案：A4。已知（x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128,則展開式中x5的系數(shù)是_____________。（以數(shù)字作答）解析：∵(x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為128，∴令x=1，即得所有項(xiàng)系數(shù)和為2n=128.∴n=7.設(shè)該二項(xiàng)展開式中的r+1項(xiàng)為T=C（x）·（x）r=C·x,令=5即r=3時(shí)，x5項(xiàng)的系數(shù)為C=35。答案：355。若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.解析：a∶b=C∶C=3∶1,n=11.答案：11●典例剖析【例1】如果在（+)n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng).解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，，，由題意得2×=1+，得n=8。設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng),T=C··x，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8.有理項(xiàng)為T1=x4,T5=x，T9=.評(píng)述：求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r.【例2】求式子（｜x｜+－2）3的展開式中的常數(shù)項(xiàng).解法一：（｜x|+－2）3=(｜x|+－2）(｜x｜+－2)（｜x｜+－2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：①三個(gè)括號(hào)中全?。?，得（－2）3;②一個(gè)括號(hào)?。黿｜，一個(gè)括號(hào)取,一個(gè)括號(hào)取－2，得CC（－2)=－12，∴常數(shù)項(xiàng)為(－2）3+（－12)=－20。解法二：（｜x|+－2）3=(－)6.設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則T=C·（－1）r·（）r·|x｜=（－1）6·C·|x|，得6－2r=0，r=3?！郥3+1=（－1）3·C=－20.思考討論（1）求(1+x+x2+x3）（1－x)7的展開式中x4的系數(shù)；(2）求(x+－4)4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（3）求(1+x）3+（1+x）4+…+(1+x）50的展開式中x3的系數(shù).解：(1)原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展開式中x4的系數(shù)為（－1）4C－1=14.（2）（x+－4）4==,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C·（－1)4=1120。(3）方法一：原式==。展開式中x3的系數(shù)為C。方法二：原展開式中x3的系數(shù)為C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C.評(píng)述:把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵?！纠?】設(shè)an=1+q+q2+…+q（n∈N＊，q≠±1），An=Ca1+Ca2+…+Can.（1）用q和n表示An;（2）(理)當(dāng)－3<q<1時(shí)，求.解：（1）因?yàn)閝≠1，所以an=1+q+q2+…+q=.于是An=C+C+…+C=［（C+C+…+C）－（Cq+Cq2+…+Cqn）］=｛(2n－1)－［(1+q）n－1]}=［2n－（1+q)n］.（2）=［1－（）n］.因?yàn)椋?〈q〈1，且q≠－1，所以0<||<1.所以=?！耜J關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1。一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個(gè)燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為A。20 B.219 C。220 D.220解析：C+C+…+C=220－1。答案:D2。已知（x－）8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120,其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A。28 B.38 C。1或38 D。1或2解析：T=C·x8－r·（－ax－1)r=(－a)rC·x8－2r.令8－2r=0，∴r=4.∴（－a）4C=1120.∴a=±2。當(dāng)a=2時(shí)，令x=1，則（1－2）8=1.當(dāng)a=－2時(shí),令x=－1，則（－1－2）8=38。答案：C3.（x－）8展開式中x5的系數(shù)為_____________。解析：設(shè)展開式的第r+1項(xiàng)為T=Cx8－r·（－)r=（－1）rCx.令8－=5得r=2時(shí)，x5的系數(shù)為（－1）2·C=28。答案：284。若（x3+)n的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為84,則n=_____________。解析：T=C(x3）n－r·（x)r=C·x。令3n－r=0，∴2n=3r.∴n必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù)。試驗(yàn)可知n=9，r=6時(shí)，C=C=84。答案：95。已知(x+1）n展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于22,二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為20000，求x的值。解:由題意C＋C＋C=22，即C＋C＋C=22，∴n=6.∴第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大。∴C（x）3=20000，即x3lgx=1000.∴x=10或x=.培養(yǎng)能力6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.求：(1）a1+a2+a3+…+a11；(2)a0+a2+a4+…+a10。解:（1）（1+x)6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11.令x=1,得a0+a1+a2+…+a11=－26， ①又a0=1,所以a1+a2+…+a11=－26－1=－65。（2）再令x=－1,得a0－a1+a2－a3+…－a11=0. ②①+②得a0+a2+…+a10=（－26+0）=－32。評(píng)述：在解決此類奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或－1.7。在二項(xiàng)式(axm+bxn）12（a＞0，b＞0,m、n≠0）中有2m+n（1）求它是第幾項(xiàng)；(2）求的范圍.解：（1)設(shè)T=C（axm）12－r·（bxn）r=Ca12－rbrxm（12－r）+nr為常數(shù)項(xiàng),則有m（12－r）+nr=0,即m(12－r）－2mr=0,∴r=4，它是第5項(xiàng).(2）∵第5項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng)，∴有Ca8b4≥Ca9b3， ①∴有Ca8b4≥Ca7b5. ②由①得a8b4≥a9b3，∵a＞0,b＞0，∴b≥a，即≤.由②得≥,∴≤≤.分析：根據(jù)題意列出前三項(xiàng)系數(shù)關(guān)系式，先確定n,再分別求出相應(yīng)的有理項(xiàng)。解：前三項(xiàng)系數(shù)為C，C，C，由已知C=C+C，即n2－9n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）.T=C（）8－r(2)－r=C··x.∵4－∈Z且0≤r≤8，r∈Z，∴r=0,r=4，r=8.∴展開式中x的有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9=x－2。探究創(chuàng)新9。有點(diǎn)難度喲!求證：2〈(1+）n<3（n≥2,n∈N*）。證明:(1+）n=C+C×+C（）2+…+C(）n=1+1+C×+C×+…●思悟小結(jié)1.在使用通項(xiàng)公式T=Cbr時(shí)，要注意：(1)通項(xiàng)公式是表示第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng).（2）展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C與第r+1項(xiàng)的系數(shù)不同.(3）通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，T五個(gè)元素,只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元素。在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問題，這類問題一般是利用通項(xiàng)公式，把問題歸納為解方程（或方程組).這里必須注意n是正整數(shù),r是非負(fù)整數(shù)且r≤n.2.證明組合恒等式常用賦值法?！窠處熛螺d中心教學(xué)點(diǎn)睛1.要正確理解二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確地寫出二項(xiàng)式的展開式.2。要注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).3。要注意二項(xiàng)式定理在近似計(jì)算及證明整除性中的應(yīng)用.4.通項(xiàng)公式及其應(yīng)用是二項(xiàng)式定理的基本問題，要熟練掌握。拓展題例【例題】