矩陣秩的研究與應(yīng)用

矩陣秩的研究與應(yīng)用［摘要］矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是數(shù)學(xué)研究的一個重要工具。矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的主要組成部分，也是線性方程組的理論基礎(chǔ)。而在矩陣的理論中，矩陣的秩是一個基本概念，也是矩陣最重要的數(shù)量特征之一，它在初等變換下是一個不變量。它反映矩陣固有特性的一個重要概念。矩陣一旦確定秩也就確定了。它是高等代數(shù)課程中的一個參考指標(biāo)，其定義、性質(zhì)、求法、應(yīng)用等相關(guān)容在高等代數(shù)中出現(xiàn)的極為頻繁，作用較大。本文首先介紹了矩陣秩的相關(guān)理論知識：即秩的幾種不同定義，相關(guān)性質(zhì)，以及矩陣秩的三種常見求法，并對三種求法做了一個簡單的比較分析。后面著重介紹了矩陣秩的應(yīng)用部分，主要是其在線性代數(shù)中的應(yīng)用和解析幾何上的應(yīng)用。這里就不細(xì)說了，具體容還得從文章中來了解。111121131［關(guān)鍵詞］:矩陣的秩，定義，性質(zhì)，求法，應(yīng)用，高等代數(shù)。矩陣秩的研究與應(yīng)用1前言矩陣在高等代數(shù)理論中極其重要并且應(yīng)用廣泛，它是線性代數(shù)的核心，而矩陣的秩作為研究矩陣的一個重要工具，其秩的理論研究非常重要。更重要的是將它推廣到實際應(yīng)用中，那么我們目前在其應(yīng)用方面的研究又達(dá)到了一個什么程度呢？本文主要是對矩陣秩的應(yīng)用方面的一個總結(jié)，讓學(xué)者對其有個更清晰的認(rèn)識，使后面的學(xué)者對矩陣的學(xué)習(xí)更輕松，更全面。矩陣方面的理論是非常重要的容，歷年來許多學(xué)者對它都有研究，而且其中的部分理論有了很廣泛的應(yīng)用，例如矩陣分析法在企業(yè)戰(zhàn)略管理、營銷活動、供應(yīng)鏈管理技術(shù)、教學(xué)效率評價、射擊訓(xùn)練效果評價等方面都起到舉足輕重的作用；不僅在本文中的線性代數(shù)和解析幾何中的理論上的應(yīng)用，而且在其他領(lǐng)域上也有更實際貼切的應(yīng)用。如在控制論中，矩陣的秩可用來確定線性系統(tǒng)是否為可控制的，或可觀的；此外，矩陣的秩在教學(xué)中還有更廣泛的應(yīng)用，如在測量平差中的應(yīng)用。理論指導(dǎo)實踐，所以我著重選擇了矩陣秩在理論上的應(yīng)用的部分來進(jìn)行探討，其意義更加廣泛且深遠(yuǎn)。在前人研究的基礎(chǔ)上，我主要是對其進(jìn)行了一個歸納總結(jié)，并簡單的說了些自己的感想，希望大家能夠從中有所收獲。2矩陣的理論研究2.1矩陣秩的定義：秩的定義形式上看比較簡單，但是難于理解為什么這樣定義，有什么緣由？事實上矩陣秩的概念是從線性方程組中來的：給出〃？個〃元一次方程組成的方程組，其中有些方程可以用別的方程來運(yùn)算得出，因此這些方程去掉后，不影響方程的通解性。比如方程工+），=5可以由以下兩個方程相減得出3x+4y=72x+3y=2因此由這三個方程組成的方程組與由后面兩個方程組成的方程組是同解的，x+），=5是多余的，可去掉。這樣對于〃，個〃元一次方程組成的方程組就可想辦法去掉那些可用其他方程表示的方程，剩下相互獨(dú)立的方程。例如高斯消元法來去掉，而剩下的那些獨(dú)立的方程的個數(shù)就是這個方程組的秩，矩陣的秩是從方程組的秩中來的，理解了這個就理解了秩的概念，這也是秩的幾何意義。如果從向量的相關(guān)性的角度考慮，可以這樣認(rèn)為：是矩陣的行（列）向量組的極大線性無關(guān)組的這個數(shù)，即這個向量組的行（列）秩。傳統(tǒng)的代數(shù)中有兩種定義矩陣的秩的方法：定義1：一個向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)稱為這個向量組的秩.所謂矩陣的行秩就是矩陣的行向量組的秩，矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩.矩陣的行秩等于矩陣的列秩，并統(tǒng)稱為矩陣的秩。定義2：設(shè)Ae產(chǎn)的.若有一個，?階子式不為。，且A的所有r+1階子式（假設(shè)4有r+1階子式）全為0或不存在，則稱，,為A的秩，記作"〃正（A）,若a=o,則m成（a）=oo定義一、定義二，這兩個定義是等價的。它的等價性可由向量的線性相關(guān)性來證，課本中已有證明。關(guān)于矩陣秩的刻畫方式很多，下面給出的命題1就是關(guān)于矩陣秩的等價描述的一組結(jié)論.命題1設(shè)4為〃?x〃矩陣，則下面各結(jié)論等價：

l)R(A)=r；A的行向量組的秩等于LA的列向量組的秩等于廠；A的行空間的維數(shù)等于「；A的列空間的維數(shù)等于不〃元其次線性方程組AX=0的解空間的維數(shù)等于〃--。定義3:矩陣4經(jīng)過初等行變換所化成的階梯型中非零行的個數(shù)稱為矩陣4的秩.矩陣4的秩為廠，記為H(A)=r.特別，零矩陣0的秩H(0)=0.該定義不僅便于理解，用該定義計算矩陣的秩也十分方便.只要對矩陣進(jìn)行初等變換成階梯型就能直接看出其秩了.實際上定義三就是根據(jù)定理“初等變換不改變矩陣的秩”得來的。下面舉例以加深理解和比較這三個定義:112 3例1求矩陣A的秩其中A=2357-10-1-2解：法一(定義1)14有414有4個3階子式，2-11235=00-1113237=0-10-21 2 32 5 7 =0,-1-1-21 2 33 5 7 =0.即它的所有3階子式均為0.0 -1 -2我們再隨便寫幾個它的2階子式，;故4的秩為2.法二(定義2)令4=(1,1,2,3),4=(2,3,5,7),%=(-1，°，-1，-2).則4=%顯然%%,巴中兩兩不成比例，故秩不可能是1,但可能是2,這還需要驗證,

令%=k4+k2a2.k+2k、=-lk[+3k、=0 化=—則帶入數(shù)據(jù)，即有一；「解得；,2":匕=-1 k、=l34+7：=-2即有%=-3%+%，也就是見能被4,%線性表出。故其秩為2.法三(定義3)12-112-112 335 70-1-2111,最終階梯型矩陣000不為。的行數(shù)是2,故其秩為2.⑴⑵⑺矩陣秩的性質(zhì)：1、rank(A+B)<rankA+rankB2、rank(AB)<min(rankA,rankB)3、rank^^<4、rank(PA)=rank(AQ)=rank(P,。可逆)5、若兒的秩為r,則存在可逆矩陣尸、。使得尸4。=6、⑶欣(A)=0,當(dāng)且僅當(dāng)A是零矩陣;7、M心(幻)=〃，當(dāng)且僅當(dāng)|A|WO；若圖=0,則陽心(兒)<〃；

8、rank =rankrank8、rank =rankrankB) [OO、=rank(A)+rank(B);由上述性質(zhì)7,我們又可以得到命題2“正(A)=〃o|A|wO,從而有以下一些等價條件：〃X〃矩陣A的秩等于〃；2)矩陣A的行列式不為零；3)矩陣A是可逆矩陣；4)齊次線性方程組AX=0只有零解；5)矩陣A能表示成一些初等矩陣的乘積的形式A=20…；6)矩陣A的所有特征值均不為零。有了這些等價條件，在解決一些具體問題的時候是十分方便的。141151181秩的求法：求矩陣秩的方法很多，拿來一個題目首先要認(rèn)真仔細(xì)審題，尤其要挖掘題設(shè)所隱含的、不明顯的條件，尋找這些題設(shè)與要解得結(jié)論的關(guān)系，從而確定解題思路。有時也要做一些技巧的變形，或構(gòu)造一些輔助的條件，作為解決問題的橋梁，這是難點所在。也正是數(shù)學(xué)難學(xué)的原因所在，總之，要因題而異，所謂學(xué)無定法。比如對一個具體矩陣來說，秩的求法可利用上面提到的三個定義求得，既簡便，又可行，如例1三種方法均可使用，難易程度不分彼此。而對于一些抽象矩陣則很難一下看出思路和方法，還需利用其他知識等綜合考慮問題，這需要學(xué)生多多做題，積累經(jīng)驗，具體問題具體分析。我們來看下面一個例題。例2.3設(shè)48是〃階方陣，試證：如果A5=0,貝IJrank(A)+rank(B)<n.分析：解這個題需要由題設(shè)A6=0聯(lián)想到秩與齊次線性方程組關(guān)聯(lián)，清楚A5=0與AX=0兩者的關(guān)系，更深一步是需要明白矩陣乘積的意義.證明：因為A6=0,所以6的列向量都是齊次線性方程組AX=0的解，所以必k⑶小于或等于方程組AX=0的基礎(chǔ)解系的個數(shù)〃-加成⑷,即rank(B)<n-rank(A),從而得rank(A)+rank(B)＜n.現(xiàn)在我們回過頭來看例1,比較三個定義來求矩陣秩的方法優(yōu)劣。1、從邏輯性方面看：用定義3的方法邏輯推理性不強(qiáng)，沒有層次感，學(xué)生較難理解接受；相比之下，用定義2,定義1的方法，邏輯推理性較強(qiáng)，層次分明，步驟明確，學(xué)生比較容易理解接受。2、從計算量方面看：定義3的方法計算量較小。對于常見的4行5列矩陣，用定義3的方法通常只需3—5個步驟、10次左右的初等變換就可求出秩。如果能夠靈活地將初等行變換、初等列變換交替使用，過程就更簡單了；相比之下，用定義2的方法計算量非常大。對于上述常見的4行5列矩陣，存在4、3、2、1階子式，其中4階子式有C；=5個,3階子式有=40個，2階子式有=60個，1階子式有=20個，這樣一個個算，量是非常大的。對行列數(shù)更多的矩陣，要計算的就更多了，計算量也就更大了。定義1的運(yùn)算量也相當(dāng)大，解多元方程組也是一個棘手的過程。3、從計算難度方面看：對于行列數(shù)均＜3的矩陣而言，兩種方法難度相差不大。而對于行列數(shù)均＞3的矩陣而言，用定義3的方法難度較小，用定義1、定義2的方法難度較大，且矩陣的行列數(shù)越大，前者和后兩者方法難度的差距也隨之增大。4、從正確率方面看：對于行列數(shù)＜3的矩陣而言，三種方法也相差無幾。而對于行列數(shù)均＞3的矩陣而言，用定義3的方法步驟簡練，中間過程較少，因而出錯的可能性相對較小，正確率較高；而用定義1、定義2的方法步驟繁多，且有一定難度，因而出錯的可能性相對較大，正確率也較低。綜合以上幾個方面，用定義3的方法雖然相對不易理解接受，但實際應(yīng)用時步驟簡練，計算量相對較小，正確率較高；而用定義1、定義2的方法雖然相對較易理解接受，但實際應(yīng)用時步驟繁瑣，計算量很大，正確率也較低。故而得出下面結(jié)論：在求矩陣的秩時，用定義3的方法要優(yōu)于前面兩種方法。（3]3矩陣的秩在線性代數(shù)中的應(yīng)用3.1矩陣的秩在向量組線性相關(guān)性問題中的應(yīng)用我們先了解下向量組線性相關(guān)的定義以及線性無關(guān)的定義，還有就是向量組的極大線性無關(guān)組的概念，那么矩陣的秩和它們又有什么聯(lián)系呢？定義4:如果向量組名,%,…,見。之2）（*）中有一個向量可以由其余的向量線性表出，那么向量組名,…,4稱為線性相關(guān)的.定義5:一向量組a,（sNl）不線性相關(guān)，即沒有不全為零的數(shù)配&…人使ka+k、a、+…+ka=0,XA . . 3 3就成為線性無關(guān)；或者說，一向量組4,…4稱為線性無關(guān)，如果由+-??+（4=0可以推出k、=k0=???=k=0?定義6:一向量組的一個部分組稱為一個極大線性無關(guān)組，如果這個部分組本身是線性無關(guān)的，并且從這向量組中任意添一個向量（如果還有的話），所得的部分向量組都線性相關(guān).結(jié)合定義一，我們要判斷向量組（*）是否線性相關(guān)，只需求出該向量組構(gòu)成的矩陣的秩即可，其秩也就是其極大線性無關(guān)組的個數(shù)，從而判斷出其是否線性相關(guān)。定理3.1.1設(shè)％,4,…qeP",令A(yù)=（4，%…,《），其中4是〃xs矩陣，《（i=l,2…⑼為7?維列向量,且x=（x，&,…,&）\則a,線性相關(guān)U>AX=0有非零解。rank（A）<s.a,線性無關(guān)U>AX=0只有零解Orank{A）=s.定理3.1.2向量組伉也，…耳與向量組心生,…冊能夠互相線性表出，則稱這兩個向量組等價。其等價的充分必要條件是R(A)=R(B)=R(A,B).其中4和6分別是向量組q,生,…q”和4,a，???4所構(gòu)成的矩陣?yán)?.1設(shè)有向量組⑴生=（1,0,2乂%=（1,1,3乂%=（1，-L。+2）'；（2）4=（1,2,。+3）,,4=（2,1,。+6）,血=（2,1,。+4）'.試問：當(dāng)。為何值時，向量組⑴與⑵等價？當(dāng)。為何值時，向量組⑴與⑵不等價?解作初等航變換，有（q,%,%，4，A，網(wǎng)）TOC\o"1-5"\h\z'111 1 2 2 、=01-1 2 1 1、23。+2。+3a+6。+4/110 2 -1 1 1 ]―01-12 1 1⑴當(dāng)。。一1時，有行列式L100⑴當(dāng)。。一1時，有行列式La2%|=。+10°，rank%。3）=3,故線性方程組網(wǎng)生++毛%=1,2,3）均有唯一解.所以A，A，鳳可由向量組⑴線性表示.行列式|AA闖=6。0,故％巴0可由向量組（2）線性表示.因此向量組⑴與⑵等價.（2）當(dāng)aw-1時，有（2）當(dāng)aw-1時，有（6,%,見血,%網(wǎng)）一p00\2-10-12-211-2/由于 ％,以），線性方程組占名+x2a2+工必=A無解,故向量4不能由%，%,%線性表示.因此向量組⑴與⑵不等價.向量組的秩與向量組的最大無關(guān)組密切相關(guān)，向量空間的基的本質(zhì)就是向量空間的一個最大無關(guān)組，向量組的秩又恰好等于其構(gòu)成的矩陣的秩，這使得矩陣的秩與向量空間的維數(shù)和向量空間的基相聯(lián)系.因此，研究矩陣的秩、向量組的秩、向量空間的維數(shù)以及線性方程組解得理論和方法密不可分.3.2矩陣的秩在求解線性方程組問題中的應(yīng)用線性方程組問題是高等代數(shù)中極其重要的一類問題，在解決和討論線性方程組的解的問題時，我們可以運(yùn)用矩陣的秩的知識.而線性方程組要解決的問題可以歸納為以下三類問題：.方程組是否有解？.方程組有解時，解的個數(shù)是多少？.如何求出解？對于上述三個問題，無一不與矩陣的秩有關(guān)。下面的定理421建立了線性方程組解的判定與矩陣秩之間的關(guān)系，從而將線性方程組解得判定問題轉(zhuǎn)化為計算系數(shù)矩陣與增廣矩陣秩，并判斷系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩是否相等的問題，使線性方程組解的判定與求解難度大大降低.定理3.2.1n元線性方程組AX=b1)無解的充分必要條件是R(A)<R(A力);2)有唯一解的充分必要條件是R(A)=R(4〃)=〃;3)有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n.例3.2.1 設(shè)有線性方程組(1+ +x24-X3=0<.+(1+A)x2+.=3(*)

X14-x24-(1+2)x3=2問4取何值時，次方程組⑴有唯一解；(2)無解；(3)有無限多個解？并在有無限多解時求其通解.解法一對增廣矩陣B=(46作初等行變換，把它變?yōu)樾须A梯形矩陣，有a+418= 1 1+2111 0、1 31+2(1 1+2%、a+418= 1 1+2111 0、1 31+2(1 1+2%、l+A1 311°,4-(1+2歷(110/、0-21+2-2-2(2+2)2 、3-2-/(1+/);(I0、01+2-/-2(3+2)2 、3-2(1-2)(3+2);⑴當(dāng)義。0且入。一3時，R(A)=R(5)=3,方程組有唯一解;(2)當(dāng)4=0時,R(A)=LR(B)=2,方程組無解;(3)當(dāng)4=一3時，R(A)=R(B)=2,方程組有無限多個解.繼續(xù)對增廣矩陣6作初等變換，將其化為最簡形-230o-1-r-230o-1-r1-1-200 0,6=0-3、00由此得同解的線性方程組p-1[a=七一2當(dāng)為自由未知量，令&=c(ceR).則方程組(*)的通解為ceRceR解法二因系數(shù)矩陣4為方陣，故方程有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式TOC\o"1-5"\h\z1+A 11=(3+2)1 1+2|A|=1 1+/1=(3+2)1 1+21 111=(3+2)0211=(3+2)020010=(3+A)222因此，當(dāng)大WO且時，方程組(*)有唯一解;當(dāng)4=0時，對增廣矩陣6作初等行變換，將其化為41B=1141B=1111\10、1310,0、0110]001000,,-21B=,-21B=1-21111-2貝|JR(4)=LR(6)=2,故方程組(*)無解;當(dāng)％=-3時，對增廣矩陣8作初等行變換，將其化為0-1-B1-1-200 0 ?則R(4)=R(6)=2,故方程組(*)有無限多個解，其通解為上例中介紹的兩種解決問題的方案各有特點.解法一直接利用上面定理4.2.1的結(jié)論來判別，具有一般性；解法二針對方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等這一特點，應(yīng)用了克拉默法則，易于確定待定參數(shù)的值，使問題簡單化.但是，當(dāng)方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)不等時，第二種方法不能使用.從以上我們看到，借助矩陣的秩可以求線性方程組和AX=0的解，但是,線性方程組AX=〃和AX=0的解的結(jié)構(gòu)尚不清晰.有了向量空間的基與維數(shù)的概念后，矩陣的秩又幫助人們從更高的層次來看待線性方程組的解?定理4.2.2就刻畫了線性方程組解的結(jié)構(gòu).定義7:齊次線性方程組AX=O(*)的一組解名,人,…〃稱為(*)的一個基礎(chǔ)解系，如果(*)的任一個解都能表成名,優(yōu),…，么的線性組合；7,小，…,辦線性無關(guān).定理322設(shè)〃zx〃矩陣人的秩R(A)=r,貝八元齊次線性方程組AX=0的解集S的秩砍S)=〃t.其通解為X=—?+■』,其中媒g,…是解集的極大無關(guān)組，即心基…總一是方程組ax=o的基礎(chǔ)解系.方程組AX=〃的通解為X=%自+k芻…+ +〃"，其中配燈…,k…為任意實數(shù)，媒&，…?是方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，"'是AX=〃的某個解.下面的例題就是對上述定理的一個應(yīng)用，它總結(jié)了基礎(chǔ)解系的求法，解的結(jié)構(gòu)的求法，以及矩陣的秩在其中的作用.例3.2.2求解非齊次線性方程組工-x2-x34-x4=0xl-x2+x5-3x4=1 (2)\-x2-2x3+3x4=-1/2解法一對增廣矩陣8作初等變換00-11/2、1-21/200 0 ?可見R(A)=R(5)=2,故方程組(2)有無限多解，并有=x2+x4+1/2x3=2x4+1/2 ，取&=5=0,則占=&=1,即得方程組的一個解(稱為特解)乙1/2). 0=1/2、0>fx=A+x,_(xAfB仆C(0\ t(x.}fB在對應(yīng)的齊次方程組? -“中，取-=八及-=」，則卜八及[&=2匕 ⑼U⑴⑻⑼,即得對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1芻=0,即得對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系1芻=0，于是方程組(2)通解為解法二對增廣矩陣5作初等行變換0-10-11/2)1-21/200 0?可見R(4)=/?(5)=2,故方程組(2)有無限多解，并有X=&+4+1/2

工=25+1/2

口/2、

01/2取公，s為自由未知量，并令&=C］，z=C2,口/2、

01/2￡+c;+1/2、C1

2G+1/2這里向量。=：,4=：為方程組（2）對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.KZ 乙矩陣的秩在二次型問題中的應(yīng)用二次型即二次齊次多項式，它有著十分廣泛的應(yīng)用，尤其是在解決二次曲線與二次曲面以及證明不等式方面有著顯著地作用。高等代數(shù)課程中的核心容是將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，它在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有十分重要的作用，常用的方法有:配方法、初等變換法、正交變換法。那么它和矩陣的秩又有什么聯(lián)系呢？定義8:數(shù)域尸上〃x〃矩陣48稱為合同的，如果有數(shù)域尸上〃x〃矩陣。使B=CTACo兩個重要結(jié)論：1）兩個復(fù)對稱矩陣合同的充分必要條件是秩相等。2）兩個實對稱矩陣合同的充分必要條件是正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)分別相等。定義9:二次型的幾種表述：/(演,&，…，％)=￡￡%中)；⑵/(9毛，…/〃)=+a22x^+???+品￡：+ ；i<j⑶/。，工,…,=XtAX.其中X=(xpx/r)r,A=(a..)nXn且A'=A.稱A為二次型/的矩陣，矩陣A的秩有時也稱為二次型/的秩.定義10:二次型/(占,&,…經(jīng)過非退化線性替換所變成的平方和稱為f(X],&,)的標(biāo)準(zhǔn)形.任意二次型總可以經(jīng)非退化線性變換X=CY化為標(biāo)準(zhǔn)形，而且還可以經(jīng)過不同的非退化線性變換化為不同的標(biāo)準(zhǔn)形，由于經(jīng)過非退化線性替換，二次型的矩陣變成一個與之合同的矩陣，由上述定義八的兩個結(jié)論可知合同的矩陣有相同的秩，又標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣是對角矩陣，而對角矩陣的秩等于它對角線上不為零的元素的個數(shù)，故這些標(biāo)準(zhǔn)形中所含平方項的個數(shù)是相同的，所含平方項的個數(shù)就等于二次型的秩.矩陣的秩在線性空間及線性變換中的應(yīng)用為了討論矩陣的秩在這個方面的應(yīng)用，我們先引入幾個概念。定義11：如果在線性空間v中有〃個線性無關(guān)的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量，那么V就稱為〃維的；如果在V中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量,那么V就稱為無線維的。定義12：在〃維線性空間V中，〃個線性無關(guān)的向量5…,％稱為V的一組基。設(shè)。是V中任一向量，于是與，小…石,a線性相關(guān)，因此?？梢员换c?，…向線性表出：a=+以￡,+…▲上.. <I<1其中系數(shù)。1，生,…?！笔潜幌蛄縜和基…，務(wù)唯一確定的，這組數(shù)就稱為。在基與與，…，%下的坐標(biāo)，記為(可,生，…?！?。從以上定義可以看出，線性空間的維數(shù)就是這個線性空間的一組基所含向量的個數(shù)，這就把一個相對抽象的維數(shù)的概念轉(zhuǎn)化到討論向量的個數(shù)，即討論向量組的秩。如果把矩陣的每一行看成一個向量，那么矩陣就可以認(rèn)為是由這些行向量組成的，而矩陣的行向量組的秩稱為行秩，也就是矩陣的秩。設(shè)一，4,…?！ㄊ蔷€性空間寫中的一組向量,稱4,…勺)為由％外,…%生成的子空間，〃心生,…的維數(shù)等于向量組可，和，…?！ǖ闹?。根據(jù)以上的分析，就可以把求線性空間的維數(shù)問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的求矩陣的秩。例3.4.1已知名=(1,2,1,-1),%=(2,3,1,0),%=(L2,2,-3)求叱= 的基和維數(shù)。解:121-1解:121-132 0-112—000-3J1001010由此可以看出，⑶成（%%,。3）=3,由〃7叱=⑶欣（囚,%,%）=3,且%,%,%為叱的一組基。在線性空間中，齊次線性方程組的全部解向量組成一個子空間，這個子空間叫做齊次線性方程組的解空間，解空間的基就是方程組的基礎(chǔ)解系，它的維數(shù)等于〃--，其中r為系數(shù)矩陣的秩。定義13：設(shè)V是數(shù)域尸上〃維線性空間，弓,…,%是V的一組基，A*是V中的線性變換，基向量的象可以被基線性表出：A =（A*弓,A*￡>???,A*j）=（與，三，???，￡”）△"n…"1“其中4= 矩陣A稱為A*在基弓區(qū),…后下的矩陣。<”“1 …a,m>由上面的定義可知，只要取定一組基之后，就能建立由數(shù)域尸上的線性變換到數(shù)域尸上的〃X〃矩陣的1—1對應(yīng)。線性變換的和對應(yīng)矩陣的和，線性變換的乘積對應(yīng)矩陣的乘積，可逆的線性變換對應(yīng)可逆的矩陣，且逆變換和逆矩陣對應(yīng)。同樣線性變換的秩對應(yīng)矩陣的秩,這樣就把一個抽象的問題轉(zhuǎn)換為具體問題，從而使問題得到簡化。4矩陣的秩在解幾何中的應(yīng)用判斷空間點與點；直線與直線；直線與平面；平面與平面的位置關(guān)系，是代數(shù)知識在空間解析幾何上的應(yīng)用，體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，我們用矩陣的秩對這幾類關(guān)系作出詳細(xì)的研究，這拓廣了矩陣秩理論的應(yīng)用，簡化了平面與直線相關(guān)位置的判斷方法。4.1我們先回顧下平面與直線的相關(guān)位置的知識吧!在空間直角坐標(biāo)系中，平面與直線方程有（1）平面的一般方程At+5y+Q+O=0;x=x0+X]〃+（2）平面的參數(shù)方程），=），。+中+4，（其中為平面上的一z=Zo+Z]〃+Z2V個點，￡=｛xr幾4｝[=｛兀,匕,zj為平面的方位向量）直線的一般方程^A1x+Bly+Clz+Di=0直線的一般方程[A,x+B2y+C2z+D2=0x=x0+Xt（4）直線的參數(shù)方程卜=k+h,（其中AaGwA/c，%g,〉，?！?。）為直線z=%+Zt上的頂點，、｛x,y,z｝為直線的方向向量）x=xQ+Xt定理4.1.1平面Ar+6.v+Cz+O=0與直線卜=y0+H相交、平行、直線在平面上z=zQ+zt的充要條件分別為:AX+BY+CZ^O;AX+BY+CZ=0,Ax。+By。+Cz。+OW0；AX+BY+CZ=0,Ax。+8/0+Cz0+0=0.定理4.1.2兩平面A/+5j+C\z+A=0與A/+紇)，+qz+a=0相交、平行、重合的充要條件分別為：A[B￡wA2B2C2;A_4_。。一 - - 產(chǎn) ,A紇。2D2A1_紇_&_IX-B7"C7-D7x=xk+Xj(x=x2+X2t定理41.3直線＜y 與，y=y2+Y2t相交、平行、重合、異面的充要條件分1=&+zj[z=z2+z2t別為:△=0,XJZ]WX』Z,;A=o,xJZ]=X2Y2Z2豐(x2-X)(R—yja?—&)A=o,xJZ]=X2Y2Z2=(x2-xL)(y2-y)(打一zjZ一七為一乂△=X] 乂 4wox, y, z,4.2由矩陣的秩判斷平面與直線的相關(guān)位置定理4.2.1設(shè)空間中四個點(4%z)，=L2,3,45兌41、\=9%41當(dāng)兄號1以Q1;矩陣4的秩R(A)=r,則有(1)「=4時，四點異面;(2)「=3時，四點共面;(3)「=2時，四點共線;(4)〃=1時，四點重合.定理4.2.2設(shè)空間兩平面的方程為jArT+4)，+Gz=2(%)(A,X+B2y+c2z=&(%)線性方程組(2)的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為fA

1A4 B,gRb2cj-14b2c2d2則：兩平面/《=L2)相交的充要條件是r(A)=r(A)=2；兩平面%(i=1,2)平行的充要條件是r(A)=1,r(A)=2；兩平面%《=1,2)重合的充要條件是r(A)=r(A)=1.定理4.2.3設(shè)空間平面與直線的參數(shù)方程分別為x=xQ+X^i+Xyy=y0+Y；w+Kv,<《=+Z]〃+Z2vx=xt+Xj)..E=&+ZJ系數(shù)構(gòu)成的矩陣為rA[ X2 A3A1 A, A3 -XQ4=x / x7=x x x y「)，。、Z] Z2 Z3/、Z、Z2 Z3 4—ZQ平面與直線相交的充要條件是r(A)=3；平面與直線平行的充要條件是r(A)=2/(用=3；直線在平面上的充要條件是r(A)=r(A)=2.定理424設(shè)空間兩直線的一般方程分別為\\x+Bly+Clz+=0JA^x+鳥），+Cj+2=0

[A2x+B2y+C2z+D2=0A4x+B4y+C4z+D4=0系數(shù)構(gòu)成的矩陣為fAAAfAAAb2優(yōu)443勺b