高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)25正態(tài)分布學(xué)案新人教B版

正態(tài)分布1．正態(tài)曲線(1)定義：當(dāng)n充分大時(shí)，X～B(n，p)的直觀表示總是具有中間高、兩邊低的“鐘形”．具體地φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的解析式中含有μ和σ兩個(gè)參數(shù)，其中μ＝E(X)，即X的均值，σ＝eq\r(D（X）)，即X的標(biāo)準(zhǔn)差．一般地φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))對(duì)應(yīng)的圖像稱為正態(tài)曲線．(2)性質(zhì)：①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，具有“中間高，兩邊低”的特點(diǎn)；②正態(tài)曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；③曲線的形狀由參數(shù)σ確定，σ越大，曲線越“胖”；σ越小，曲線越“瘦”．(3)面積：正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(μ，μ＋σ))內(nèi)所圍面積約為0.341__3，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(μ＋σ，μ＋2σ))內(nèi)所圍面積約為0.135__9，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(μ＋2σ，μ＋3σ))內(nèi)所圍面積約為0.021__5．如圖：為什么σ決定正態(tài)曲線的“胖瘦”？提示：σ越大，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；σ越小，說(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的集中程度越強(qiáng)，所以曲線越“瘦”．2．正態(tài)分布(1)定義：一般地，如果隨機(jī)變量X落在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，b))內(nèi)的概率，總是等于φμ，σeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，b))內(nèi)圍成的面積，則稱X服從參數(shù)為μ與σ的正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)，此時(shí)φμ，σeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))稱為X的概率密度函數(shù)，μ是X的均值，σ是X的標(biāo)準(zhǔn)差，σ2是X的方差．(2)三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%．(3)“3σ原則”：由P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%知，正態(tài)變量X在區(qū)間[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值的概率約為0.3%(這樣的事件可看成小概率事件).3．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義：μ＝0且σ＝1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．(2)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))的概念：如果X～N(0，1)，那么對(duì)于任意a，通常記Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<a))，即Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))表示N(0，1)對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，a))內(nèi)所圍的面積．(3)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))的性質(zhì)：Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))＋Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝1．1．思維辨析(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線．()(2)正態(tài)曲線在x軸的上方，并且關(guān)于直線x＝σ對(duì)稱．()(3)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝0.8413.()提示：(1)√.由正態(tài)分布曲線的形狀可知該說(shuō)法正確．(2)×.正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱．(3)×.Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<2))＝0.5＋0.3413＋0.1359＝0.9772.2．設(shè)X～N(10，0.64)，則D(X)等于()A．0.8B．0.64C．0.642D．6.4【解析】選B.因?yàn)閄～N(10，0.64)，所以D(X)＝0.64.3．(教材二次開(kāi)發(fā)：練習(xí)改編)若隨機(jī)變量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，則P(ξ≥11)＝________．【解析】由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正態(tài)曲線以x＝μ＝10為對(duì)稱軸知，P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4，即P(10≤ξ≤11)＝0.2，又P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.答案：0.3類(lèi)型一正態(tài)曲線及性質(zhì)的應(yīng)用(數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算)求正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間內(nèi)所圍成的面積【典例】正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ＋σ，＋∞))內(nèi)所圍的面積為()A．0.5B．0.3413C．0.1587D．0.0215【思路導(dǎo)引】利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解．【解析】選C.根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，所求區(qū)間的面積約為0.5－0.3413＝0.1587.正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(u＋2σ，＋∞))內(nèi)所圍成的面積為_(kāi)_____，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，u－3σ))內(nèi)所圍成的面積為_(kāi)_______．【解析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(u＋2σ，＋∞))內(nèi)所圍成的面積為0.5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.3413＋0.1359))＝0.0228，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，u－3σ))內(nèi)所圍成的面積為0.5－(0.3413＋0.1359＋0.0215)＝0.0013.答案：0.02280.0013求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)的概率【典例】某正態(tài)概率密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,\r(2π))，則總體落入?yún)^(qū)間(0，2)內(nèi)的概率為_(kāi)_______．【思路導(dǎo)引】由已知條件求出μ和σ，進(jìn)而利用3σ原則求得概率．【解析】若正態(tài)概率密度函數(shù)是φ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－u）2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)是偶函數(shù)，則μ＝0.因?yàn)棣誩q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的最大值為φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))＝eq\f(1,σ\r(2π))＝eq\f(1,\r(2π))，所以σ＝1，所以P(0<X<2)＝eq\f(1,2)P(－2<X<2)＝eq\f(1,2)P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝eq\f(1,2)×0.9544＝0.4772.答案：0.47721．求正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間內(nèi)所圍成的面積常根據(jù)如圖所示圖形與數(shù)據(jù)：正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(u，u＋σ))內(nèi)所圍成的面積為0.3413，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(u＋σ，u＋2σ))內(nèi)所圍成的面積為0.1359，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(u＋2σ，u＋3σ))內(nèi)所圍成的面積為0.0215.如圖．2．求服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)的概率的兩個(gè)方法：(1)對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．如：(1)P(X<a)＝1－P(X≥a)；(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).(2)“3σ”法：利用X落在區(qū)間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.683，0.954，0.997求解．1．已知隨機(jī)變量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，則P(a≤X<4－a)＝________．【解析】由正態(tài)分布圖像的對(duì)稱性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.答案：0.362．設(shè)隨機(jī)變量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1).(1)求c的值；(2)求曲線與x軸在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，5))內(nèi)所圍的面積；(3)求P(－4<X≤8).【解析】由X～N(2，9)可知，μ＝2，σ＝3.(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(如圖所示).因?yàn)镻(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性，所求面積為區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(μ，μ＋σ))對(duì)應(yīng)的面積的2倍，即約為2×0.3413＝0.6826.(3)P(－4<X≤8)＝P(2－2×3<X≤2＋2×3)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954.類(lèi)型二正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】數(shù)學(xué)考試試卷滿分150分，設(shè)在某次數(shù)學(xué)考試中，某?？忌姆?jǐn)?shù)X服從正態(tài)分布，即X～N(90，100).(1)求此次考試中分?jǐn)?shù)X位于區(qū)間(70，110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計(jì)考試分?jǐn)?shù)在(80，100)間的考生大約有多少人？四步內(nèi)容理解題意條件：①考生的分?jǐn)?shù)X～N(90，100)；②共有2000名考生．結(jié)論：求分?jǐn)?shù)X位于區(qū)間(70，110)上的概率；估計(jì)分?jǐn)?shù)在(80，100)間的考生的人數(shù)．思路探求先確定出μ＝90，σ＝10，再結(jié)合3σ原則求解．書(shū)寫(xiě)表達(dá)因?yàn)閄～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內(nèi)取值的概率是0.9544，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成績(jī)X位于區(qū)間(70，110)內(nèi)的概率是0.9544.①(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內(nèi)取值的概率是0.6826，所以考試成績(jī)X位于區(qū)間(80，100)內(nèi)的概率就是0.6826.又因?yàn)橐还灿?000名考生，所以考試成績(jī)?cè)?80，100)間的考生大約有2000×0.6826≈1365(人).②注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性：①利用3σ原則求概率；②求概率，再進(jìn)行估計(jì)．題后反思解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵：在于將待求的問(wèn)題向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依然會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想．解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題的關(guān)注點(diǎn)(1)方法：轉(zhuǎn)化法，把普通的區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ區(qū)間，由特殊區(qū)間的概率值求出．(2)理論基礎(chǔ)：①正態(tài)曲線的對(duì)稱性；②曲線與x軸之間的面積為1；③P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值．?dāng)?shù)學(xué)考試試卷滿分是150分，設(shè)在一次考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布，且均值為110，標(biāo)準(zhǔn)差為20.(1)求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中分?jǐn)?shù)在90分以上的概率；(2)若這個(gè)班的學(xué)生共54人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中130分以上的人數(shù)．【解析】(1)由題意可知，分?jǐn)?shù)X～N(110，202)，μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X≥110－20)＝P(X≥μ－σ)，因?yàn)镻(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝2P(X≤μ－σ)＋0.683＝1，所以P(X≤μ－σ)＝0.1585，所以P(X≥90)＝1－P(X≤μ－σ)＝1－0.1585＝0.8415.(2)因?yàn)镻(X≥130)＝P(X≥110＋20)＝P(X≥μ＋σ)，所以P(X≤μ－σ)＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(X≥μ＋σ)＝0.683＋2P(X≥μ＋σ)＝1，所以P(X≥μ＋σ)＝0.1585，即P(X≥130)＝0.1585.所以54×0.1585≈9(人)，即130分以上的人數(shù)約為9人．類(lèi)型三標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1．設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，(1)求Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))的值；(2)若Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.42))＝0.6628，求Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.42)).【解析】(1)因?yàn)閄～N(0，1)，所以Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<－3))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－P\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3≤X≤3))))≈eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－0.997))＝0.0015.(2)因?yàn)閄～N(0，1)且Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.42))＝0.6628，所以由Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))＋Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝1得，Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.42))＝1－Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.42))＝1－0.6628＝0.3372.2．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，1)，已知Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.18))＝0.4286，求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(X))<0.18)).【解析】由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知，Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.18))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<－0.18))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X>0.18))＝0.4286，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(X))<0.18))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.18<X<0.18))＝1－2Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<－0.18))＝1－2×0.4286＝0.1428.求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn)(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線特點(diǎn)：關(guān)于y軸對(duì)稱，σ＝1；(2)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))的含義：Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<a))；(3)解題思路：①當(dāng)a＝±1，±2，±3時(shí)，利用P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的概率值求解；②當(dāng)a為其他值時(shí)，可查表求解．【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)隨機(jī)變量X～N(0，1)，Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.25))＝0.5987，Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.51))＝0.6950，求：(1)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.25))；(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.25<X≤0.51)).【解析】(1)Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－0.25))＝1－Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.25))＝1－0.5987＝0.4013.(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.25<X≤0.51))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<0.51))－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X<0.25))＝Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.51))－Φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.25))＝0.6950－0.5987＝0.0963.1．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))(σ2>0)的概率密度函數(shù)圖像如圖所示，則有()A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2【解析】選A.根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)：對(duì)稱軸方程x＝μ，σ表示正態(tài)曲線的形狀．由題圖可得選項(xiàng)A正確．2．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(3，σ2)，則P(ξ<3)等于()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)【解析】選D.因?yàn)棣巍玁(3