高中數(shù)學(xué)人教B版必修二學(xué)案第一單元114投影與直觀圖

1．投影與直觀圖學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解中心投影、平行投影的概念，會畫幾何體的投影.2.理解直觀圖的斜二測畫法規(guī)那么，會畫常見幾何體的直觀圖．學(xué)問點一平行投影思索太陽光線可以把一個矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四邊形，在影子中，框邊的長度以及框邊之間的夾角有所轉(zhuǎn)變，你能觀看出沒有發(fā)生變化的是什么嗎？梳理平行投影的定義及性質(zhì)(1)定義：圖形F，直線l與平面α相交．過F上任意一點M作直線MM′________于l，交平面α于點M′，那么點M′叫做點M在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的________________(或象)．假如圖形F上的全部點在平面α內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成圖形F′，那么F′叫做圖形F在α內(nèi)關(guān)于直線l的________________．(2)平行投影的性質(zhì)當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影都具有下述性質(zhì)：①直線或線段的平行投影仍是________或________．②平行直線的平行投影是________或________的直線．③平行于投射面的線段，它的投影與這條線段________且________．④與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形________．⑤在同始終線或平行直線上，兩條線段平行投影的比________這兩條線段的比．學(xué)問點二直觀圖與斜二測畫法思索1邊長為2cm的正方形ABCD水平放置的直觀圖如下，在直觀圖中，A′B′與C′D′有何關(guān)系？A′D′與B′C′呢？在原圖與直觀圖中，AB與A′B′相等嗎？AD與A′D′呢？思索2正方體ABCD－A1B1C1D1的直觀圖如下圖，在此圖形中各個面都畫成正方形了嗎？梳理直觀圖與斜二測畫法(1)直觀圖用來表示空間圖形的________________．(2)斜二測畫法的規(guī)那么①在模型所在的空間中取水平平面，作相互垂直的Ox，Oy軸，再作Oz軸，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________.②畫直觀圖時，把Ox，Oy，Oz畫成對應(yīng)的軸O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所確定的平面表示水平平面．③圖形中，平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于________、________或________的線段，并使它們和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系，與圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系________．④圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中____________，平行于y軸的線段，長度為________．⑤畫圖完成后，擦去作為幫助線的____________，就得到了空間圖形的直觀圖．學(xué)問點三中心投影思索不同的光源發(fā)出的光線是有差異的，其中燈泡發(fā)出的光線與手電筒發(fā)出的光線有什么不同？燈泡照耀物體形成的投影是平行投影嗎？梳理中心投影的概念一個________把一個圖形照耀到一個平面上，這個圖形的影子就是它在這個平面上的中心投影．類型一平行投影與中心投影例1(1)①平行投影的投影線相互平行，中心投影的投影線相交于一點；②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；③幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式．其中正確說法的個數(shù)為()A．0B．1C．2D．3(2)如下圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別是A′A，C′C的中點，那么以下推斷正確的選項是________．(填序號)①四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影是正方形；②四邊形BFD′E在面A′D′DA內(nèi)的投影是菱形；③四邊形BFD′E在面A′D′DA內(nèi)的投影與在面ABB′A′內(nèi)的投影是全等的平行四邊形．反思與感悟常見圖形的平行投影圖形圖形的平行投影點是一個點線段是線段或一個點線段的中點仍是這條線段投影的中點直線是直線或一個點平行直線是平行直線、一條直線或是兩個點跟蹤訓(xùn)練1(1)△ABC，選定的投影面與△ABC所在平面平行，那么經(jīng)過中心投影后所得的△A′B′C′與△ABC的關(guān)系是()A．全等 B．相像C．不相像 D．以上都不對(2)以下命題中，不正確的選項是()①正方形的平行投影肯定是菱形；②平行四邊形的平行投影可能是矩形；③銳角三角形的平行投影肯定不是直角或鈍角三角形．A．①② B．①③C．②③ D．①②③類型二直觀圖的畫法例2畫出如圖水平放置的直角梯形的直觀圖．引申探究假設(shè)將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何？反思與感悟(1)此題利用直角梯形相互垂直的兩邊建系，使畫直觀圖特別簡便．(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵之一，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點落在坐標(biāo)軸上，以便于畫點．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過作平行于坐標(biāo)軸的線段來作出其對應(yīng)線段．關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標(biāo)系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可．跟蹤訓(xùn)練2(1)用斜二測畫法畫邊長為4cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖．(2)畫一個正四棱錐的直觀圖(尺寸自定)．類型三直觀圖的復(fù)原與計算eq\x(命題角度1由直觀圖復(fù)原平面圖形)例3如下圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其復(fù)原成平面圖形．反思與感悟由直觀圖復(fù)原平面圖形的關(guān)鍵(1)平行于x′軸的線段長度不變，平行于y′軸的線段擴(kuò)大為原來的2倍．(2)對于相鄰兩邊不與x′、y′軸平行的頂點可通過作x′軸，y′軸平行線變換確定其在xOy中的位置．跟蹤訓(xùn)練3如下圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，那么原圖形是________．eq\x(命題角度2原圖形與直觀圖的面積的計算)例4如下圖，梯形A1B1C1D1是一平面圖形ABCD的直觀圖．假設(shè)A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.試畫出原四邊形的外形，并求出原圖形的面積．反思與感悟(1)由原圖形求直觀圖的面積，關(guān)鍵是把握斜二測畫法，明確原來實際圖形中的高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45°角且長度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相應(yīng)的高．(2)假設(shè)一個平面多邊形的面積為S，它的直觀圖面積為S′，那么S′＝eq\f(\r(2),4)S.跟蹤訓(xùn)練4如下圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，假設(shè)O′B′＝1，那么原三角形ABO的面積是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2eq\r(2)1．當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時，關(guān)于平行投影的性質(zhì)，以下說法中不正確的選項是()A．直線或線段的平行投影仍是直線或線段B．平行直線的平行投影仍是平行的直線C．與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等D．在同始終線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比2．一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，那么此正方形的面積為()A．16 B．64C．16或64 D．無法確定3．利用斜二測畫法畫出邊長為3cm的正方形的直觀圖，正確的選項是圖中的()4.如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，A′C′＝6，B′C′＝4，那么AB邊的實際長度是________．5．畫出水平放置的四邊形OBCD(如下圖)的直觀圖．1．畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點．確定點的位置，可采納直角坐標(biāo)系．建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是快速作出直觀圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對稱性，并讓頂點盡量多地落在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上．2．用斜二測畫法畫圖時要緊緊把握?。骸耙恍报?、“二測〞兩點：(1)一斜：平面圖形中相互垂直的Ox、Oy軸，在直觀圖中畫成O′x′、O′y′軸，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二測：在直觀圖中平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱折半〞．3．中心投影的投射線相交于一點，中心投影后，圖形與原圖形相比雖然相差較大，但直觀性強(qiáng)，看起來與人的視覺效果全都．假設(shè)一個平面圖形所在的平面與投射面平行，那么中心投影后得到的圖形與原圖形相像．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)學(xué)問點一思索框邊的平行性沒有轉(zhuǎn)變，平行直線段或同一條直線上的兩條線段的比也沒有轉(zhuǎn)變．梳理(1)平行平行投影平行投影(2)①直線線段②平行重合③平行等長④全等⑤等于學(xué)問點二思索1A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝eq\f(1,2)AD.思索2沒有都畫成正方形．梳理(1)平面圖形(2)①90°90°②45°(或135°)90°③x′軸y′軸z′軸相同④保持長度不變原來的eq\f(1,2)⑤坐標(biāo)軸學(xué)問點三思索燈泡發(fā)出的光線是由一點向外分散放射的；手電筒發(fā)出的光是一束平行光線．不是．梳理點光源題型探究例1D[由平行投影和中心投影的定義知，平行投影的投影線相互平行，中心投影的投影線相交于一點，故①正確；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的距離越來越近，最終相交于一點，故②正確；幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式，故③正確．應(yīng)選D.](2)①③解析①四邊形BFD′E的四個頂點在底面ABCD內(nèi)的投影分別是B，C，D，A，所以投影是正方形，即①正確；②設(shè)正方體的棱長為2，那么AE＝1，取D′D的中點G，連接AG，那么四邊形BFD′E在面A′D′DA內(nèi)的投影是四邊形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四邊形AGD′E是平行四邊形，但AE＝1，D′E＝eq\r(5)，所以四邊形AGD′E不是菱形，即②不正確；對于③，由②可知兩個投影四邊形是對邊分別相等的平行四邊形，從而③正確．跟蹤訓(xùn)練1(1)B[依據(jù)題意畫出圖形如圖．由圖易得eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(AC,A′C′)，那么△ABC∽△A′B′C′.](2)B[正方形的平行投影可以是矩形或平行四邊形或菱形，故①錯；平行四邊形的平行投影可以是矩形、菱形、正方形，故②正確；銳角三角形的平行投影可以是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形或線段，故③錯．應(yīng)選B.]例2解(1)在的直角梯形OBCD中，以底邊OB所在直線為x軸，垂直于OB的腰OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．畫出相應(yīng)的x′軸和y′軸，使∠x′O′y′＝45°，如圖(1)(2)所示．(2)在x′軸上截取O′B′＝OB，在y′軸上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，過點D′作x′軸的平行線l，在l上沿x′軸正方向取點C′使得D′C′＝DC.連接B′C′，如圖(2)．(3)所得四邊形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直觀圖，如圖(3)．引申探究解畫法：(1)如下圖，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′為中點畫出C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．跟蹤訓(xùn)練2(1)解①如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．②畫出對應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA，連接A′B′，A′C′，那么三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示．(2)解①畫軸．如圖(1)，畫x軸、y軸、z軸，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.②畫底面．以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖ABCD.③畫頂點．在Oz軸上截取OS，使OS等于正四棱錐的高．④畫棱．連接SA，SB，SC，SD，擦去幫助線(坐標(biāo)軸)，得到正四棱錐S－ABCD的直觀圖，如圖(2)所示．例3解①畫出直角坐標(biāo)系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點D′，在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；③連接AB，BC，得△ABC.那么△ABC即為△A′B′C′對應(yīng)的平面圖形，如下圖．跟蹤訓(xùn)練3菱形解析如下圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．例4解如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy，在x軸上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在過點D的y軸的平行線上截取DA＝2D1A1＝2.在過點A的x軸的平行線上截取AB＝A1B1＝2.連接BC，即得到了原圖形．由作法可知，原四邊形ABCD是直角梯形，上、下底長度分別為AB＝2，CD＝3，直角腰的長度AD＝2，所以面積為S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.跟蹤訓(xùn)練4C[直觀圖中等腰直角三角形直角邊長為1，因此面積為eq\f(1,2)，又直觀圖與原平面圖形面積比為eq\r(2)∶4，所以原