高中數(shù)學(xué)人教A版選修21講義第二章24241拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

eq\a\vs4\al(拋物線)2．4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程預(yù)習(xí)課本P64～67，思索并完成以下問題1．平面內(nèi)滿意什么條件的點的軌跡叫做拋物線？它的焦點、準(zhǔn)線分別是什么？2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式？分別是什么？eq\a\vs4\al([新知初探])1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)eq\a\vs4\al([小試身手])1．推斷以下命題是否正確．(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)平面內(nèi)到肯定點距離與到肯定直線距離相等的點軌跡肯定是拋物線()(2)拋物線y2＝20x的焦點坐標(biāo)是(0,5)()答案：(1)×(2)×2．拋物線x＝－2y2的準(zhǔn)線方程是()A．y＝eq\f(1,2) B．y＝eq\f(1,8)C．x＝eq\f(1,4) D．x＝eq\f(1,8)答案：D3．假設(shè)拋物線y2＝8x上一點P到其焦點的距離為10，那么點P的坐標(biāo)為()A．(8,8) B．(8，－8)C．(8，±8) D．(－8，±8)答案：C4．動點P到定點(2,0)的距離和它到直線l：x＝－2的距離相等，那么點P的軌跡方程為________．答案：y2＝8x拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程[典例]求適合以下條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)過點M(－6,6)；(2)焦點F在直線l：3x－2y－6＝0上．[解](1)由于點M(－6,6)在其次象限，∴過M的拋物線開口向左或開口向上．假設(shè)拋物線開口向左，焦點在x軸上，設(shè)其方程為y2＝－2px(p>0)，將點M(－6,6)代入，可得36＝－2p×(－6)，∴p＝3.∴拋物線的方程為y2＝－6x.假設(shè)拋物線開口向上，焦點在y軸上，設(shè)其方程為x2＝2py(p>0)，將點M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3，∴拋物線的方程為x2＝6y.綜上所述，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－6x或x2＝6y.(2)①∵直線l與x軸的交點為(2,0)，∴拋物線的焦點是F(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，∴p＝4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝8x.②∵直線l與y軸的交點為(0，－3)，即拋物線的焦點是F(0，－3)，∴eq\f(p,2)＝3，∴p＝6，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2＝－12y.綜上所述，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝8x或x2＝－12y.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法定義法依據(jù)定義求p，最終寫標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)直接法建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用拋物線的定義列出動點滿意的條件，列出對應(yīng)方程，化簡方程[留意]當(dāng)拋物線的焦點位置不確定時，應(yīng)分類爭論，也可以設(shè)y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以簡化爭論過程．[活學(xué)活用]1．假設(shè)拋物線y2＝2px的焦點坐標(biāo)為(1,0)，那么p＝______，準(zhǔn)線方程為________．解析：由于拋物線的焦點坐標(biāo)為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－1.答案：2x＝－12．拋物線的焦點F在x軸上，直線y＝－3與拋物線交于點A，|AF|＝5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2ax(a≠0)，點A(m，－3)．由拋物線的定義得|AF|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(m＋\f(a,2)))＝5，又(－3)2＝2am，∴a＝±1或a＝±9.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝±2x或y2＝±18x.拋物線定義的應(yīng)用[典例](1)拋物線C：y2＝x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|＝eq\f(5,4)x0，那么x0＝()A．1 B．2C．4 D．8(2)假設(shè)位于y軸右側(cè)的動點M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2).求點M的軌跡方程．[解析](1)由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(1,4).由于|AF|＝eq\f(5,4)x0，依據(jù)拋物線的定義可得x0＋eq\f(1,4)＝|AF|＝eq\f(5,4)x0，解得x0＝1，應(yīng)選A.[答案]A(2)解：由于位于y軸右側(cè)的動點M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離比它到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2)，所以動點M到Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距離與它到直線l：x＝－eq\f(1,2)的距離相等．由拋物線的定義知動點M的軌跡是以F為焦點，l為準(zhǔn)線的拋物線(不包含原點)，其方程應(yīng)為y2＝2px(p>0)的形式，而eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，所以p＝1,2p＝2，故點M的軌跡方程為y2＝2x(x≠0)．[一題多變]1．[變結(jié)論]假設(shè)本例(2)中點M所在軌跡上一點N到點F的距離為2，求點N的坐標(biāo)．解：設(shè)點N的坐標(biāo)為(x0，y0)，那么|NFM的軌跡方程為y2＝2x(x≠0)，所以由拋物線的定義得x0＋eq\f(1,2)＝2，解得x0＝eq\f(3,2).由于yeq\o\al(2,0)＝2x0，所以y0＝±eq\r(3)，故點N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(3)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\r(3))).2．[變結(jié)論]假設(shè)本例(2)中增加一點A(3,2)，其他條件不變，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出點M的坐標(biāo)．解：如圖，由于點M在拋物線上，所以|MF|等于點M到其準(zhǔn)線l的距離|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).當(dāng)A，M，N三點共線時，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值eq\f(7,2)，這時MM(x0,2)，代入拋物線方程得x0＝2，即M(2,2)．拋物線定義的兩種應(yīng)用(1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．依據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距離與點線距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題．(2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題．拋物線的實際應(yīng)用[典例]某大橋在漲水時有最大跨度的中心橋孔，上部呈拋物線形，跨度為20米，拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米．現(xiàn)有一貨船欲過此孔，該貨船水下寬度不超過18米，目前吃水線上部中心船體高5米，寬16米，且該貨船在現(xiàn)有狀況下還可多裝1000噸貨物，但每多裝150噸貨物，船體吃水線就要上升0.04米．假設(shè)不考慮水下深度，問：該貨船在現(xiàn)在狀況下能否直接或設(shè)法通過該橋孔？為什么？[解]如下圖，以拱頂為原點，過拱頂?shù)乃街本€為x軸，豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．由于拱頂距水面6米，橋墩高出水面4米，所以A(10，－2)．設(shè)橋孔上部拋物線方程是x2＝－2py(p>0)，那么102＝－2p×(－2)，所以p＝25，所以拋物線方程為x2＝－50y，即y＝－eq\f(1,50)x2.假設(shè)貨船沿正中心航行，船寬16米，而當(dāng)x＝8時，y＝－eq\f(1,50)×82＝－1.28，即船體在x＝±8之間通過，B(8，－1.28)，此時B點距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)．而船體高為5米，所以無法通行．又由于5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050(噸)，所以假設(shè)船通過增加貨物通過橋孔，那么要增加1050噸，而船最多還能裝1000噸貨物，所以貨船在現(xiàn)有狀況下不能通過橋孔．求拋物線實際應(yīng)用的五個步驟[活學(xué)活用]如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬________米．解析：建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py，那么點(2，－2)在拋物線上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.當(dāng)y＝－3時，x2＝6，所以水面寬為2eq\r(6)米．答案：2eq\r(6)層級一學(xué)業(yè)水平達標(biāo)1．拋物線y＝12x2上的點到焦點的距離的最小值為()A．3 B．6C.eq\f(1,48) D.eq\f(1,24)解析：選C將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是x2＝eq\f(1,12)y，由于2p＝eq\f(1,12)，所以p＝eq\f(1,24).故到焦點的距離最小值為eq\f(1,48).2．拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，那么p的值為()A.eq\f(1,2) B．1C．2 D．4解析：選C∵拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)與圓(x－3)2＋y2＝16相切，∴－eq\f(p,2)＝－1，即p＝2.3．假設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)上橫坐標(biāo)是2的點M到拋物線焦點的距離是3，那么p＝()A．1 B．2C．4 D．8解析：選B∵拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，點M到焦點的距離為3，∴2＋eq\f(p,2)＝3，∴p＝2.4．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)|AF|＝3，那么△AOB的面積為()A.eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：選C焦點F(1,0)，設(shè)A，B分別在第一、四象限，那么由點A到準(zhǔn)線l：x＝－1的距離為3，得A的橫坐標(biāo)為2，縱坐標(biāo)為2eq\r(2)，直線AB的方程為y＝2eq\r(2)(x－1)，與拋物線方程聯(lián)立可得2x2－5x＋2＝0，所以點B的橫坐標(biāo)為eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)為－eq\r(2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×1×(2eq\r(2)＋eq\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).5．雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，bC2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，那么拋物線C2的方程為()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y解析：選D雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，由于eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.拋物線的焦點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq\f(\f(p,2),2)＝2，所以p＝8，所以拋物線方程為x2＝16y.6．拋物線C：4x＋ay2＝0恰好經(jīng)過圓M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心，那么拋物線C的焦點坐標(biāo)為_______，準(zhǔn)線方程為________．解析：圓M的圓心為(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，將拋物線C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得y2＝4x，故焦點坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.答案：(1,0)x＝－17．拋物線y2＝2px(p>0)上一點M(1，m)到其焦點的距離為5，雙曲線x2－eq\f(y2,a)＝1的左頂點為A，假設(shè)雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直，那么實數(shù)a＝________.解析：依據(jù)拋物線的定義得1＋eq\f(p,2)＝5，pM(1,4)，那么AM的斜率為2，由得－eq\r(a)×2＝－1，故a＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)8．對標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出以下條件：①焦點在y軸上；②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；④由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)．其中滿意拋物線方程為y2＝10x的是________．(要求填寫適合條件的序號)解析：拋物線y2＝10x的焦點在x軸上，②滿意，①不滿意；設(shè)M(1，y0)是y2＝10x上一點，那么|MF|＝1＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(5,2)＝eq\f(7,2)≠6，所以③不滿意；由于拋物線y2＝10x的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，過該焦點的直線方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))，假設(shè)由原點向該直線作垂線，垂足為(2,1)時，那么k＝－2，此時存在，所以④滿意．答案：②④9．拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上一點M(m，－3)到焦點的距離為5，求m的值、拋物線方程和準(zhǔn)線方程．解：法一：如下圖，設(shè)拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，那么焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))，準(zhǔn)線l：y＝eq\f(p,2)，作MN⊥l，垂足為N，那么|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋eq\f(p,2)，3＋eq\f(p,2)＝5，即px2＝－8y，準(zhǔn)線方程為y＝2.由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2eq\r(6).法二：設(shè)所求拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，那么焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).∵M(m，－3)在拋物線上，且|MF|＝5，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(p,2)))2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝±2\r(6).))∴拋物線方程為x2＝－8y，m＝±2eq\r(6)，準(zhǔn)線方程為y＝2.10.如下圖，一隧道內(nèi)設(shè)雙行線大路，其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成，為保證平安，要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米．(1)以拋物線的頂點為原點O，其對稱軸所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，求該拋物線的方程；(2)假設(shè)行車道總寬度AB為7米，請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米(精確到0.1米)?解：如下圖．(1)依題意，設(shè)該拋物線的方程為x2＝－2py(p>0)，由于點C(5，－5)在拋物線上，所以該拋物線的方程為x2＝－5y.(2)設(shè)車輛高為h，那么|DB|＝h＋0.5，故D(3.5，h－6.5)，代入方程x2＝－5y，解得h＝4.05，所以車輛通過隧道的限制高度為4.0米．層級二應(yīng)試力量達標(biāo)1．設(shè)拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，那么點P到該拋物線焦點的距離是()A．4 B．6C．8 D．12解析：選B由拋物線的方程得eq\f(p,2)＝eq\f(4,2)＝2，再依據(jù)拋物線的定義，可知所求距離為4＋2＝6.2．拋物線y2＝4x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準(zhǔn)線上的動點，當(dāng)△FPM為等邊三角形時，其面積為()A．2eq\r(3) B．4C．6 D．4eq\r(3)解析：選D如圖，∵△FPM是等邊三角形．∴由拋物線的定義知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).應(yīng)選D.3．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，那么C的圓心的軌跡為()A．拋物線 B．雙曲線C．橢圓 D．圓解析：選A法一：設(shè)圓C的半徑為r，那么圓心C到直線y＝0的距離為r.由兩圓外切，得圓心C到點(0,3)的距離為r＋1，也就是說，圓心C到點(0,3)的距離比到直線y＝0的距離大1，故點C到點(0,3)的距離和它到直線y＝－1的距離相等，符合拋物線的特征，故點C的軌跡為拋物線．法二：設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為(x，y)，半徑為r，點A(0,3)，由題意得|CA|＝r＋1＝y(tǒng)＋1，∴eq\r(x2＋y－32)＝y(tǒng)＋1，化簡得y＝eq\f(1,8)x2＋1，∴圓心的軌跡是拋物線．4．經(jīng)過拋物線C的焦點F作直線l與拋物線C交于A，B兩點，假如A，B在拋物線C的準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，那么∠A1FB1為()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析：選C由拋物線的定義可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，故∠BFB1＝∠BB1F，∠AFA1＝∠AA1F.又∠OFB1＝∠BB1F，∠OFA1＝∠AA1F，故∠BFB1＝∠OFB1，∠AFA1＝∠OFA1，所以∠OFA1＋∠OFB1＝eq\f(1,2)×π＝eq\f(π,2)，即∠A1FB1＝eq\f(π,2).5．設(shè)F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，假設(shè)eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，那么|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|＝________.解析：由于eq\o(FA,\s\up7(→))＋eq\o(FB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝0，所以點F為△ABC的重心，那么A，B，C三點的橫坐標(biāo)之和為點F的橫坐標(biāo)的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|eq\o(FA,\s\up7(→))|＋|eq\o(FB,\s\up7(→))|＋|eq\o(FC,\s\up7(→))|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.答案：66．F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦點，P是拋物線y2＝8ax與雙曲線的一個交點，假設(shè)|PF1|＋|PF2|＝12，那么拋物線的準(zhǔn)線方程為________．解析：將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3a2)＝1，∴其焦點坐標(biāo)為(±2a,0)，(2a,0)與拋物線的焦點重合，聯(lián)立拋物線與雙曲線方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，,y2＝8ax))?x＝3a，而由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝12，,|PF1|－|PF2|＝2a))?|PF2|＝6－a，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得