考點(diǎn)15三角函數(shù)的運(yùn)算（精講）-【考點(diǎn)通關(guān)】備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)滿分攻略（新高考地區(qū)專用）（解析版）

第15講三角函數(shù)的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)1角的概念的推廣1．定義：角可以看成一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．2．分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角；,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))3．終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．注：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同．4．相反角：我們把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.【即學(xué)即練1】下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【解析】與eq\f(9π,4)的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有C正確．故選C．【即學(xué)即練2】【多選】(2022·長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高三模擬)下列條件中，能使α和β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的是()A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°【解析】假設(shè)α，β為0°～180°內(nèi)的角，如圖所示，由α和β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，所以α＋β＝180°，又根據(jù)終邊相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以滿足條件的為A、C．故選A、C．知識(shí)點(diǎn)2象限角和軸線角1.象限角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,那么角的終邊在第幾象限,就認(rèn)為這個(gè)角是第幾象限角．2.軸線角若角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．易錯(cuò)辨析：銳角是第一象限角，第一象限角也都是銳角．(×)【即學(xué)即練3】(多選)下列命題正確的是()A．終邊落在x軸的非負(fù)半軸的角的集合為{α|α＝2kπ，k∈Z}B．終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))D．在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°角終邊相同的角為－675°和－315°【解析】B項(xiàng)，終邊落在y軸上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度與弧度不能混用，故錯(cuò)誤；C項(xiàng)，第三象限角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，所有與45°角終邊相同的角可表示為β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，解得－eq\f(17,8)≤k≤－eq\f(1,8)(k∈Z)，從而當(dāng)k＝－2時(shí)，β＝－675°；當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝－315°，故正確．【即學(xué)即練4】終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合是______．(用角度表示)【解析】終邊落在第一象限角平分線上所有角的集合為A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在第三象限角平分線上所有角的集合為B＝{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}，所以終邊在第一、三象限角平分線上角的集合為A∪B＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．答案：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}【即學(xué)即練5】角－2023°是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】∵－2023°＝－6×360°＋137°，∴它是第二象限角．故選B知識(shí)點(diǎn)3弧度制的定義和公式1．定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)rad表示．2．公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧長(zhǎng))角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長(zhǎng)公式l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2注：有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量必須一致，不可混用；(2)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．【即學(xué)即練6】已知扇形的圓心角為30°，其弧長(zhǎng)為2π，則此扇形的面積為________．【解析】∵α＝30°＝eq\f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq\f(2π,\f(π,6))＝12，∴扇形面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×12＝12π.【即學(xué)即練7】一個(gè)扇形的面積是1cm2，它的周長(zhǎng)是4cm，則圓心角為________弧度，弧長(zhǎng)為________cm.【解析】設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r.則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2，,r＝1，))所以弧長(zhǎng)l＝αr＝2，所以扇形的圓心角為2弧度，弧長(zhǎng)為2cm.【即學(xué)即練8】已知弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)也是2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2 B.eq\f(2,sin1)C．2sin1 D．sin2【解析】如圖，取AB的中點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC＝1rad，在△AOC中，sin1＝eq\f(1,r)，∴r＝eq\f(1,sin1)，∴所求弧長(zhǎng)為αr＝eq\f(2,sin1).知識(shí)點(diǎn)4任意角的三角函數(shù)1．定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．推廣：設(shè)點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r＝|OP|，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．【即學(xué)即練9】已知角θ的終邊過(guò)點(diǎn)P(－12，m)，cosθ＝－eq\f(12,13)，則m的值為()A．－5 B．5C．±5 D．±8【解析】由三角函數(shù)的定義可知cosθ＝eq\f(－12,\r(－122＋m2))＝－eq\f(12,13)，解得m＝±5．【即學(xué)即練10】已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))為其終邊上一點(diǎn)，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，則x＝________．【解析】依題意，得cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x<0，由此解得x＝－eq\r(3)．答案：－eq\r(3)【即學(xué)即練11】若角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3m，－4m)(m<0)，則sinα＋cosα＝________.【解析】由題意得r＝|OP|＝eq\r(3m2＋－4m2)＝5|m|＝－5m(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－4m,－5m)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(3m,－5m)＝－eq\f(3,5)，故sinα＋cosα＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).知識(shí)點(diǎn)5正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)1．圖示：2．口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意為：第一象限各三角函數(shù)值均為正；第二象限只有正弦值為正，其余均為負(fù)；第三象限只有正切值為正，其余均為負(fù)；第四象限只有余弦值為正，其余均為負(fù)．【即學(xué)即練12】若α是第二象限角，則()A．cos(－α)>0 B．taneq\f(α,2)>0C．sin(π＋α)>0 D．cos(π－α)<0【解析】若α是第二象限角，則cos(－α)＝cosα<0，故A錯(cuò)誤；eq\f(α,2)為第一、三象限角，則taneq\f(α,2)>0，故B正確；sin(π＋α)＝－sinα<0，故C錯(cuò)誤；cos(π－α)＝－cosα>0，故D錯(cuò)誤．故選B．【即學(xué)即練13】(2022·揚(yáng)州中學(xué)月考)若α＝－5，則()A．sinα>0，cosα>0B．sinα>0，cosα<0C．sinα<0，cosα>0D．sinα<0，cosα<0【解析】因?yàn)椋?π<α＝－5<－eq\f(3,2)π，所以α＝－5為第一象限的角，所以sinα>0，cosα>0.故選A知識(shí)點(diǎn)6同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.（平方關(guān)系對(duì)任意角都成立）（2）商數(shù)關(guān)系：同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于這個(gè)角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα（3）公式常見變形：①sin2α=1–cos2α；（）②cos2α=1–sin2α；（）③sinα=±；④cosα=±；⑤sinα=cosαtanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；（特別注意）⑥cosα=；⑦sin2α==；⑧cos2α==．⑨．⑩注：同角并不拘泥于角的形式，如sin2eq\f(α,2)＋cos2eq\f(α,2)＝1，eq\f(sin3x,cos3x)＝tan3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．解題策略：一、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達(dá)式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”的變換1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表達(dá)式中需要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用關(guān)系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化表達(dá)式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ二、利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)、證明的常用方法(1)化切為弦，減少函數(shù)名稱．(2)對(duì)含根號(hào)的，應(yīng)先把被開方式化為完全平方，再去掉根號(hào)．(3)對(duì)含有高次的三角函數(shù)式，可借助于因式分解，或構(gòu)造平方關(guān)系，以降冪化簡(jiǎn)．【即學(xué)即練14】若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，則tanα＝()A．－2B．2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】∵eq\f(π,2)<α<π，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)．故選D【即學(xué)即練15】已知tanα＝2，則eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝()A．eq\f(5,4)B．－eq\f(5,4)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)【解析】原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4)．故選A知識(shí)點(diǎn)7誘導(dǎo)公式公式一1．設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：2．公式：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）公式二1．角π＋α與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如圖所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.公式三1．角－α與角α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱．如圖所示．2．公式：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.公式四1．角π－α與角α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．如圖所示．2．公式：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.公式五1．角eq\f(π,2)－α與角α的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，如圖所示．2．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.拓展：公式六1.角eq\f(π,2)＋α與角eq\f(π,2)－α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱（eq\f(π,2)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).）2．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.拓展：解題策略：誘導(dǎo)公式的記憶方法：①口訣記憶法：奇變偶不變，符號(hào)看象限“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化．“符號(hào)看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時(shí)，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．“奇變偶不變，符號(hào)看象限”精析：（1）適用范圍：（即角中必須出現(xiàn)的整數(shù)倍才能使用誘導(dǎo)公式）（2）奇？偶？（使用誘導(dǎo)公式時(shí)先判斷是否需要變函數(shù)名）奇：指k是奇數(shù)（也即的系數(shù)是奇數(shù)）如變：指的是函數(shù)名發(fā)生改變，偶：指k是偶數(shù)（也即的系數(shù)是偶數(shù)）如，不變：函數(shù)名不發(fā)生變化（3）三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（4）各個(gè)角所在的象限（無(wú)論具體是什么角，都將其視為銳角）——“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cos120°（5）確定符號(hào)：判斷符號(hào)時(shí)看原函數(shù)名，而非變化之后的函數(shù)名（6）實(shí)例：誘導(dǎo)公式1-6（7）補(bǔ)充：，，，，特殊：②圖象記憶法在圖中，能夠直觀地看到各形式的角應(yīng)處的象限，確定符號(hào)很方便，很準(zhǔn)確．學(xué)生有了這個(gè)圖，誘導(dǎo)公式計(jì)算化簡(jiǎn)問(wèn)題的準(zhǔn)確率大大地提高了．拓展：簡(jiǎn)單的誘導(dǎo)公式計(jì)算題學(xué)生都能夠看著圖計(jì)算正確，但遇到復(fù)雜些、綜合性強(qiáng)的計(jì)算，學(xué)生還會(huì)敗下陣來(lái)，如下題：即使是熟記口訣，熟悉圖象的學(xué)生，也往往顧此失彼、錯(cuò)誤不斷．究其原因，如何準(zhǔn)確看待這些角，以及化簡(jiǎn)時(shí)使用誘導(dǎo)公式的先后順序，都影響著結(jié)果．遇到這類題，可以教學(xué)生這樣處理:先畫一個(gè)如下圖的直角坐標(biāo)系，再把特殊的軸線角標(biāo)記在對(duì)應(yīng)軸線上，并記住在軸上則“名不變，符號(hào)看象限”，在軸上則“名稱變，符號(hào)看象限”．（注意判斷象限時(shí)+是逆時(shí)針?lè)较?，是順時(shí)針?lè)较颍┻@樣原本要多次用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)的，只需用一次即完成，大大縮減中間環(huán)節(jié)．，，，，于是依靠坐標(biāo)軸，一步就到位．原式.此法使學(xué)生既快又準(zhǔn)地得出結(jié)果，體驗(yàn)到解題的樂(lè)趣．這樣對(duì)誘導(dǎo)公式進(jìn)行靈活拓展處理，每一個(gè)式子都可以直接用誘導(dǎo)公式口訣化簡(jiǎn)，大大減輕了計(jì)算量，提高了準(zhǔn)確率．【即學(xué)即練16】已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝eq\f(2\r(2),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝()A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2\r(2),3)【解析】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝eq\f(2\r(2),3)．故選D．知識(shí)點(diǎn)8兩角和與差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β記憶口訣：1、余余正正符號(hào)反2、同名相乘、加減相反3、諧音：“吃吃睡睡，顛倒黑白”S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(異名相乘、加減一致)S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(異名相乘、加減一致)記憶口訣：1、正余余正符號(hào)同2、異名相乘、加減一致3、諧音：“上錯(cuò)廁所，一一對(duì)應(yīng)”T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)(兩式相除、上同下異)．T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)(兩式相除、上同下異)．注：①公式的常用變式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)；tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan(α＋β))＝eq\f(tanα－tanβ,tan(α－β))－1.②常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，等．【即學(xué)即練17】計(jì)算：sin108°cos42°－cos72°sin42°＝________．【解析】原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝eq\f(1,2)．【即學(xué)即練18】若tanα，tanβ是方程x2－6x＋7＝0的兩個(gè)根，則tan(α＋β)＝__________．【解析】由于tanα，tanβ是方程x2－6x＋7＝0的兩個(gè)根，所以tanα＋tanβ＝6，tanα·tanβ＝7，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(6,－6)＝－1．【即學(xué)即練19】已知tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，tan(α－β)＝eq\f(1,3)，則tan(π－2α)＝________．【解析】2α＝(α＋β)＋(α－β)，tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan2α＝eq\f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，∴tan(π－2α)＝－1．知識(shí)點(diǎn)9二倍角公式二倍角是相對(duì)的，如：eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍.S2αsin2α＝2sin_αcos_α；變形：sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；變形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）②降冪公式：sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.③升冪公式：1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2.④萬(wàn)能公式：拓展：⑤半角公式：拓展：【即學(xué)即練20】【多選】(2022·南京月考)下列各式中，值為eq\f(\r(3),2)的是()A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°C．1－2sin215° D．eq\f(3tan15°,1－tan215°)【解析】A項(xiàng)，2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)；B項(xiàng)，cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；C項(xiàng)，1－2sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；D項(xiàng)，eq\f(3tan15°,1－tan215°)＝eq\f(\f(3,2)×2tan15°,1－tan215°)＝eq\f(3,2)×tan30°＝eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),2)．故選B、C、D．知識(shí)點(diǎn)10輔助角公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中cosφ=,sinφ=．其中φ稱為輔助角，它的終邊所在象限由點(diǎn)（a，b）決定．【即學(xué)即練21】若eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))＝________．【解析】由eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(2,3)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(2\r(2),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(\r(2),4)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(\r(2),4)．考點(diǎn)一象限角與終邊相同的角解題方略：1、象限角的2種判斷方法圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角2、求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步驟(1)將θ的范圍用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)兩邊同除以n或乘以n；(3)對(duì)k進(jìn)行討論，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．注：確定角（n∈N）終邊所在象限的方法：已知角終邊所在的象限，確定（n∈N）終邊所在象限的常用方法有以下兩種：一是分類討論法．利用已知條件寫出α的范圍（用k表示），由此確定的范圍，然后對(duì)k進(jìn)行分類討論，從而確定所在象限．二是幾何法．先把各象限均分為n等份，再?gòu)膞軸的正方向的上方起，逆時(shí)針依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，一、二、三、四，…則α原來(lái)是第幾象限角，標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域即終邊所在的區(qū)域．3、利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角．4、注意“順轉(zhuǎn)減，逆轉(zhuǎn)加”的應(yīng)用，如角α的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°可得角α＋180°的終邊，類推可知α＋k·180°(k∈Z)表示終邊落在角α的終邊所在直線上的角。（一）終邊相同的角【例1-1】若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線y＝－eq\r(3)x上，則角α的取值集合是()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)))) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))【解析】因?yàn)橹本€y＝－eq\r(3)x的傾斜角是eq\f(2π,3)，tanα＝－eq\r(3)，所以終邊落在直線y＝－eq\r(3)x上的角的取值集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))．故選D．變式1：若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．【解析】，由圖知，角的取值集合為:故選：D.【例1-2】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱.若，則___________.【解析】因在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于直線對(duì)稱，則有，即，而，所以，，.故答案為：（二）象限角【例1-3】給出下列四個(gè)命題：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①中－eq\f(3π,4)是第三象限角，從而①錯(cuò)．②中eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，則eq\f(4π,3)是第三象限角，從而②正確．③中－400°＝－360°－40°，從而③正確．④中－315°＝－360°＋45°，從而④正確．【例1-4】已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．【解析】∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第二象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第四象限角，而2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負(fù)半軸上．【例1-5】(2022·濟(jì)南月考)集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()【解析】當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此時(shí)α表示的范圍與eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范圍一樣；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此時(shí)α表示的范圍與π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范圍一樣，故選C．考點(diǎn)二扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用解題方略：有關(guān)弧長(zhǎng)及扇形面積問(wèn)題的注意點(diǎn)(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決；(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．（一）弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算【例2-1】一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長(zhǎng)為l．已知α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧長(zhǎng)、面積及弧所在弓形的面積．【解析】由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l(xiāng)＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)∴S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×102＝eq\f(50π,3)(cm2)．S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．變式1：若扇形的圓心角是α＝120°，弦長(zhǎng)AB＝12cm，則弧長(zhǎng)l等于()A.eq\f(4\r(3),3)πcm B.eq\f(8\r(3),3)πcmC．4eq\r(3)cm D．8eq\r(3)cm【解析】設(shè)扇形的半徑為rcm，如圖．由sin60°＝eq\f(6,r)，得r＝4eq\r(3)cm，∴l(xiāng)＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)π(cm)．變式2：(2022·佛山三模)若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．3 D．eq\r(3)【解析】如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對(duì)的圓心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l(xiāng)＝eq\r(3)r，由弧長(zhǎng)公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3)．扇形面積的有關(guān)計(jì)算【例2-2】如圖所示的時(shí)鐘顯示的時(shí)刻為3：30，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為.若一個(gè)扇形的圓心角為a，弧長(zhǎng)為10，則該扇形的面積為（

）A． B． C． D．【解析】由圖可知，，則該扇形的半徑，故面積.故選：D變式1：“圓材埋壁”是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)有一個(gè)“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為，墻壁截面為矩形，且，則扇形的面積是__________.【解析】由題意可知，圓的半徑為，即，又，所以為正三角形，∴，所以扇形的面積是.故答案為：變式2：九章算術(shù)是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中方田一章涉及到了弧田面積的計(jì)算問(wèn)題，如圖所示，弧田是由弧和弦所圍成的圖中陰影部分.若弧田所在圓的半徑為，圓心角為，則此弧田的面積為__________．【解析】依題意，等腰底邊，高，則的面積為，而扇形的面積為，則有陰影部分的面積為，所以此弧田的面積為.故答案為：（三）扇形中的最值問(wèn)題【例2-3】(2022·襄陽(yáng)模擬)已知扇形的周長(zhǎng)為8cm，則該扇形面積的最大值為________cm2．【解析】設(shè)扇形半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，則2r＋l＝8(0<r<4)，S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，當(dāng)r＝2時(shí)，扇形面積最大，所以Smax＝4(cm2)．變式1：已知扇形的面積是4cm2，當(dāng)扇形周長(zhǎng)最小時(shí)，扇形的圓心角的弧度數(shù)為________．【解析】設(shè)此扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，圓心角為α，則扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝4，所以l＝eq\f(8,r)，設(shè)扇形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則L＝2r＋l＝2r＋eq\f(8,r)，r∈(0，＋∞)．方法一由基本不等式得2r＋eq\f(8,r)≥2eq\r(16)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)2r＝eq\f(8,r)，即r＝2時(shí)，等號(hào)成立，扇形的周長(zhǎng)取得最小值8，此時(shí)l＝eq\f(8,r)＝4，故α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,2)＝2.方法二由L′＝2－eq\f(8,r2)＝eq\f(2r2－8,r2)＝0，得r＝2，所以當(dāng)r∈(0,2)時(shí)，L′<0，L＝2r＋eq\f(8,r)單調(diào)遞減；當(dāng)r∈(2，＋∞)時(shí)，L′>0，L＝2r＋eq\f(8,r)單調(diào)遞增，所以當(dāng)r＝2時(shí)，扇形的周長(zhǎng)取得最小值．此時(shí)l＝eq\f(8,r)＝4，故扇形的圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,2)＝2.變式2：如圖，圓心角為的扇形的半徑為2，點(diǎn)C是弧AB上一點(diǎn)，作這個(gè)扇形的內(nèi)接矩形．(1)求扇形的周長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，矩形的面積最大？并求出面積的最大值．【解析】(1)由題，弧AB長(zhǎng)為，故扇形的周長(zhǎng)為：；(2)設(shè)，則，，所以，所以矩形的面積，，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即當(dāng)C在弧AB中點(diǎn)時(shí)，矩形的面積最大，最大值為.（四）扇形弧長(zhǎng)公式與面積公式的應(yīng)用【例2-4】已知某扇形的周長(zhǎng)是，面積是，則該扇形的圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．1或5【解析】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為，半徑為，所以，解得或，所以圓心角的弧度數(shù)是或.故選：C變式1：已知圓錐的底面周長(zhǎng)為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的高為（

）A．3 B． C．1 D．【解析】由題設(shè)，底面半徑，母線長(zhǎng)，所以圓錐的高.故選：B變式2：某圓錐的側(cè)面展開圖是弧長(zhǎng)為且圓心角為的扇形，則此圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓半徑為r，則l即為展開圖扇形所在圓半徑，于是得，解得，圓錐底面圓周長(zhǎng)為展開圖扇形弧長(zhǎng)，即，解得，所以圓錐的側(cè)面積.故選：C（五）與數(shù)學(xué)文化有關(guān)問(wèn)題【例2-5】《擲鐵餅者》取材于希臘的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過(guò)程中最具有表現(xiàn)力的瞬間．現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂及肩膀近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的一只手臂長(zhǎng)約為米，整個(gè)肩寬約為米．“弓”所在圓的半徑約為1米．則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．1.412米 B．1.414米 C．1.732米 D．1.734米【解析】如圖所示，弓形所在的弧長(zhǎng)為，因?yàn)椤肮彼趫A的半徑約為1米，所以弓形所對(duì)的圓心角為，所以兩手之間的距離為米.故選：C.變式1：中國(guó)傳統(tǒng)折扇有著極其深厚的文化底蘊(yùn).《樂(lè)府詩(shī)集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“疊扇放床上，企想遠(yuǎn)風(fēng)來(lái)輕袖佛華妝，窈窕登高臺(tái).”如圖所示，折扇可看作是從一個(gè)圓面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打開時(shí)圓心角為，扇面所在大圓的半徑為，所在小圓的半徑為，那么這把折扇的扇面面積為（

）A． B． C． D．以上都不對(duì)【解析】由題意得，大扇形的面積為，小扇形的面積為，所以扇面的面積為.故選：B變式2：中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為的圓面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的比值為，再?gòu)纳刃沃屑粝律拳h(huán)形制作扇面，使扇環(huán)形的面積與扇形的面積比值為.則一個(gè)按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品（如圖）的面積與圓面積的比值為（

）A． B． C． D．【解析】記扇形的圓心角為，扇形的面積為，扇環(huán)形的面積為，圓的面積為，由題意可得，，，，所以，因?yàn)榧粝律刃魏笏Ｉ刃蔚幕￠L(zhǎng)與圓周長(zhǎng)的比值為，所以，則，所以.故選：D.考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用解題方略：三角函數(shù)的定義中常見的四種題型及解決方法求已知角三角函數(shù)值，一般求已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角函數(shù)的定義求解．已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解．，，.（注：利用三角函數(shù)的定義，求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)，需確定三個(gè)量：角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r．）(3)已知角α的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值．先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問(wèn)題；（注：(4)已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：①②注意到角的終邊為直線，所以應(yīng)分兩種情況來(lái)處理，取射線上任一點(diǎn)坐標(biāo)(a，b)(a≠0)，則對(duì)應(yīng)角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).（注：若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時(shí)注意“在終邊上任取一點(diǎn)”應(yīng)分兩種情況（點(diǎn)所在象限不同）進(jìn)行分析．）利用定義求角的三角函數(shù)值【例3-1】已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，由任意三角形的定義知：，.故選：D.變式1：已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【解析】由題意，角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過(guò)點(diǎn)，可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，所以.故選：B.變式2：平面直角坐標(biāo)系xOy中，若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，其終邊上一點(diǎn)P繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,6)到達(dá)點(diǎn)Q(3,4)的位置，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)【解析】依題意可知Q(3,4)在角α－eq\f(π,6)的終邊上，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(4,\r(32＋42))＝eq\f(4,5)，故選D．（二）由三角函數(shù)值求終邊上的點(diǎn)或參數(shù)【例3-2】(2022·臨沂模擬)已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m的值為()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)【解析】由題意得點(diǎn)P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝±eq\f(1,2)，又cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝eq\f(1,2)．故選C變式1：已知角α的終邊上一點(diǎn)P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，則cosα＝________，tanα＝________.【解析】由sinα＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2)m,4)，解得m＝±eq\r(5)，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，當(dāng)m＝eq\r(5)時(shí)，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)m＝－eq\r(5)時(shí)，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).變式2：已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則等于（

）A． B． C． D．【解析】因點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則有，而，于是得，解得，則，因此，，所以等于.故選：A（三）由單位圓求三角函數(shù)值【例3-3】已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，則sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)【解析】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由|OP|2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，y＝±eq\f(\r(3),2).方法一當(dāng)y＝eq\f(\r(3),2)時(shí)，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此時(shí)，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).當(dāng)y＝－eq\f(\r(3),2)時(shí)，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此時(shí)，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).所以sinα·tanα＝－eq\f(3,2).方法二由三角函數(shù)定義知，cosα＝－eq\f(1,2)，sinα＝y(tǒng)，所以sinα·tanα＝sinα·eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(sin2α,cosα)＝eq\f(y2,－\f(1,2))＝eq\f(\f(3,4),－\f(1,2))＝－eq\f(3,2).故選C變式1：設(shè)，角的終邊與圓的交點(diǎn)為，那么（

）A． B． C． D．【解析】畫圖，角的終邊與圓的交點(diǎn)為，設(shè)，則，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在單位圓中，，，∴，，∴，故選：D變式2：已知單位圓上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)P沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)到點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為－eq\f(1,2)，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)【解析】由單位圓上第一象限一點(diǎn)P沿圓周逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)到點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為－eq\f(1,2)，所以cos∠xOQ＝－eq\f(1,2)，即∠xOQ＝eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以∠xOP＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x0，則x0＝cos∠xOP＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)．故選B．（四）已知角α的終邊在直線上求三角函數(shù)值【例3-4】已知α的終邊在直線y＝2x上，則sinα＝________.【解析】由題意可知，α終邊落在第一或第三象限，且tanα＝2，若在第一象限，可在α終邊上任取一點(diǎn)(1,2)，∴sinα＝eq\f(2,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α終邊上任取一點(diǎn)(－1，－2)，∴sinα＝eq\f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq\f(2\r(5),5).變式1：若點(diǎn)在直線上，則的值等于（

）A． B． C． D．【解析】點(diǎn)在直線上，故，，故選：A.變式2：若的終邊在射線上,則_____,_____．【解析】在的終邊在射線上,任意取一點(diǎn)則,則,故答案為;.考點(diǎn)四三角函數(shù)值符號(hào)的判定解題方略：三角函數(shù)值符號(hào)及角所在象限的判斷三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)與角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)密切相關(guān)．sinα在一、二象限為正，cosα在一、四象限為正，tanα在一、三象限為正．學(xué)習(xí)時(shí)首先把取正值的象限記清楚，其余的象限就是負(fù)的，如sinα在一、二象限為正，那么在三、四象限就是負(fù)的．值得一提的是：三角函數(shù)的正負(fù)有時(shí)還要考慮坐標(biāo)軸上的角，如sineq\f(π,2)＝1>0，cosπ＝－1<0．【例4-1】若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，則角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ為第四象限角．故選D變式1：若α為第二象限角，則cos2α，coseq\f(α,2)，eq\f(1,sin2α)中，其值必為正的有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【解析】由題意知，2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π(k∈Z)，則4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的終邊在第三、第四象限或y軸的負(fù)半軸上，所以sin2α<0，cos2α可正可負(fù)也可為零．因?yàn)閗π＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)的終邊在第一或第三象限，所以coseq\f(α,2)可正可負(fù)．故選A．變式2：已知α為第二象限角，則()A．2sin2α－1<0 B．sinα(1＋cosα)>0C．sinαcosα>0 D．sinαtanα>0【解析】∵α為第二象限角，∴0<sinα<1，－1<cosα<0，tanα<0，∴2sin2α－1＝sin2α＋sin2α－1＝sin2α－cos2α＝－cos2α，又∵－1<－cos2α<1，∴－1<2sin2α－1<1，sinα(1＋cosα)>0，sinαcosα<0，sinαtanα<0．故選B．【例4-2】(2022·淄博模擬)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在【解析】∵eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0．故選A考點(diǎn)五同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用解題方略：（一）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值【例5-1】已知為銳角，，則的值為（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，故選：C變式1：(2022·北京模擬)已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，則tanα＝()A．eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)【解析】因?yàn)閏osα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3)．故選D．（二）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)求值【例5-2】(2022·濟(jì)南模擬)若角α的終邊在第三象限，則eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))＝()A．3B．－3C．1 D．－1【解析】由角α的終邊在第三象限，得sinα<0，cosα<0，故原式＝eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(2sinα,|sinα|)＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3，故選B．考點(diǎn)六已知值的求值問(wèn)題（齊次式）解題方略：弦切互化：已知（1）分式齊1次式=（2）分式齊2次式（3）齊2次整式【例6-1】若，則（

）A． B． C． D．【解析】，故選：A．變式1：若，則的值是（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)椋?故選：A變式2：已知，，則（

）A． B． C． D．【解析】∵，∴，，可得，∵，∴.故選：A.變式3：若，則（

）A． B． C． D．【解析】由可得，解得：，故選：C.考點(diǎn)七sinα±cosα與sinα·cosα之間的關(guān)系解題方略：（1）公式變形：（2）利用sin2α＋cos2α＝1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時(shí)要根據(jù)角α所在象限確定符號(hào)；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化；利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的關(guān)系可實(shí)現(xiàn)和積轉(zhuǎn)化．（3）同角三角函數(shù)關(guān)系式的方程思想對(duì)于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα這三個(gè)式子，知一可求二，轉(zhuǎn)化公式為(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，若令sinα＋cosα＝t，則sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根據(jù)α的范圍選取正、負(fù)號(hào))，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用．【例7-1】若sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，則sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A．－eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),3)C．－eq\f(4,3) D．eq\f(4,3)【解析】由sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，得1－2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，即2sinθcosθ＝－eq\f(7,9)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴sinθ＋cosθ<0，∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),3)，則sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),3)，故選A．變式1：已知，且，給出下列結(jié)論：①；②；③；④.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②④ B．②③④C．①②③ D．①③④【解析】∵,，等式兩邊平方得，解得，故②正確；∵，，∴，,故①正確，③錯(cuò)誤；由可知，，且，解得，故④正確，故選：A變式2：若，則（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，，即，所以，故選：A變式3：(2022·天津模擬)已知sinα＋cosα＝－eq\r(2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)＝________．【解析】由已知得1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝eq\f(1,2)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2．考點(diǎn)八誘導(dǎo)公式的應(yīng)用解題方略：1．學(xué)會(huì)巧妙過(guò)渡，熟知將角合理轉(zhuǎn)化的流程也就是：“負(fù)化正，大化小，化到銳角就好了．”2．明確三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則和方向(1)切化弦，統(tǒng)一名；(2)用誘導(dǎo)公式，統(tǒng)一角；(3)用因式分解將式子變形，化為最簡(jiǎn)．3．含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα．（一）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)與求值三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的常用方法（1）合理轉(zhuǎn)化：①將角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依據(jù)所給式子合理選用誘導(dǎo)公式將所給角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù).（2）切化弦：一般需將表達(dá)式中的切函數(shù)轉(zhuǎn)化為弦函數(shù).提醒：注意分類討論思想的應(yīng)用.【例8-1】已知，則（

）A． B． C． D．【解析】因?yàn)椋裕蔬x：A變式1：(2022·廣東聯(lián)考)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝－eq\f(3,5)．故選B．變式2：已知α是第二象限角，角β的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))，則β為()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】∵cos(π＋α)＝－cosα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))＝cosα，又α為第二象限角，∴cosα<0，－cosα>0，∴點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))位于第四象限，∵角β的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))，∴β為第四象限角．故選D．變式3：已知是方程的根，且是第三象限的角，求的值【解析】方程的兩根分別為與，由于是第三象限的角，則，所以，所以，∴原式．（二）給值(式)求值問(wèn)題解決條件求值問(wèn)題的兩技巧（1）尋找差異：解決條件求值問(wèn)題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.（2）轉(zhuǎn)化：可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化.提醒：設(shè)法消除已知式與所求式之間的種種差異是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.注：解決該類題型時(shí)要具有整體的思想，不要輕易將條件中的角度用正弦、余弦的和、差角公式展開，而應(yīng)該盡量將角度看成整體，觀察這些整體角度間的關(guān)系（通常是加、減后得出特殊角）．“+”為異號(hào)，“-”為同號(hào)（一般用所求角-已知角）【例8-2】已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq\f(1,3)，且0<x<eq\f(π,2)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))的值為___________．【解析】由0<x<eq\f(π,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq\f(1,3)知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(2\r(2),3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(2\r(2),3)．變式1：【多選】已知，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【解析】由，可得，，，．故選：BD變式2：已知，則（

）A． B． C． D．【解析】．故選：A變式3：已知，則（

）A． B． C． D．【解析】故選：D.考點(diǎn)九誘導(dǎo)公式與同角關(guān)系式的綜合應(yīng)用解題方略：利用誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)關(guān)系解題的策略基本思路(1)分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)墓剑?2)利用公式化成單角三角函數(shù)；(3)整理得最簡(jiǎn)形式化簡(jiǎn)要求(1)化簡(jiǎn)過(guò)程是恒等變換；(2)結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少，次數(shù)盡可能低，結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單，能求值的要求出值【例9-1】若，，則的值為（

）A．或 B． C． D．【解析】由可得：，平方得：所以，解得或，又，所以，故，故選：C變式1：已知角θ的終邊在第三象限，tan2θ＝－2eq\r(2)，則sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ＝()A．－eq\f(\r(2),6)B．eq\f(\r(2),6)C．－eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)【解析】由tan2θ＝－2eq\r(2)可得tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2eq\r(2)，即eq\r(2)tan2θ－tanθ－eq\r(2)＝0，解得tanθ＝eq\r(2)或tanθ＝－eq\f(\r(2),2)．又角θ的終邊在第三象限，故tanθ＝eq\r(2)，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－eq\r(2)cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－\r(2)cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－\r(2),tan2θ＋1)＝eq\f(\r(2)2＋\r(2)－\r(2),\r(2)2＋1)＝eq\f(2,3)．故選D變式2：已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－eq\f(1,5)．求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．【解析】由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，兩邊平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)．∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5)．eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175)．考點(diǎn)十和、差、倍角公式的應(yīng)用解題方略：1、應(yīng)用和、差、倍角公式化簡(jiǎn)求值的策略(1)首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡(jiǎn)記為：“同名相乘，符號(hào)反”；(2)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用；(3)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．2、和、差、倍角公式的逆用和變形用的應(yīng)用技巧(1)逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；(2)和差角公式變形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1?tanα·tanβ)；(3)倍角公式變形：降冪公式．注：tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常與一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合命題．3、三角函數(shù)公式求值中變角的解題思路(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”．4、三角函數(shù)名的變換技巧明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦．（一）和、差、倍角公式的直接應(yīng)用【例10-1】已知角為第二象限角，，則的值為（

）A． B．C． D．【解析】因?yàn)榻菫榈诙笙藿?，所以，則.故選：D.變式1：已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根，且α∈（0，π），則cos（α+）＝（

）A． B．﹣ C． D．﹣【解析】因?yàn)閟inα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)根，所以，，因?yàn)?，且，所以且，所以，所?故選：D.和、差、倍角公式的逆用及變形用【例10-2】(2022·T8聯(lián)考)已知eq\r(3)tan20°＋λcos70°＝3，則λ的值為()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)【解析】由已知，eq\f(\r(3)sin20°,cos20°)＋λsin20°＝3，則eq\r(3)sin20°＋λsin20°cos20°＝3cos20°，從而eq\f(λ,2)sin40°＝3cos20°－eq\r(3)sin20°＝2eq\r(3)sin(60°－20°)＝2eq\r(3)sin40°，所以λ＝4eq\r(3)，故選D．變式1：若eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，則taneq\b\