數(shù)列中的奇偶項問題

數(shù)列中的奇偶項問題例1、（12寧波一模）已知數(shù)列滿足：，設.（1）求并證明：（2）①證明：數(shù)列等比數(shù)列；②若成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值.解：（1）（2）①因為所以數(shù)列是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列.②由數(shù)列可得，，則，因為成等比數(shù)列，所以，令，得，解得，得.例2、（14寧波二模）設等差數(shù)列的前n項和為，且SKIPIF1<0．數(shù)列的前n項和為，且，．（=1\*ROMANI）求數(shù)列,的通項公式；（=2\*ROMANII）設，求數(shù)列的前項和．解：（Ⅰ）由題意，，得．…………3分，，，兩式相減，得數(shù)列為等比數(shù)列，．…………7分（Ⅱ）．當為偶數(shù)時，=．……………10分當為奇數(shù)時，（法一）為偶數(shù)，……………13分點評:根據(jù)結論1退而求之.（法二）．……………13分……………14分點評：分清項數(shù)，根據(jù)奇偶進行分組求和。點評:數(shù)列中的奇數(shù)項、偶數(shù)項數(shù)列問題實質上是對一個數(shù)列分成兩個新的數(shù)列進行考查，易搞錯的是新數(shù)列與原數(shù)列的項數(shù)、公差、公比的判定；數(shù)列問題主要涉及通項與求和、等差與等比、特殊數(shù)列與非特殊數(shù)列、新數(shù)列與舊數(shù)列的四大問題的考查。常用知識點：(1)等差數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項各自組成一個新的等差數(shù)列。（2）項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有：；；=項數(shù)（3）項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有：；；(4)等比數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項各自組成一個新的等比數(shù)列，公比都是。練習：＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2n2n＋1)，n為奇數(shù)，,2＋\f(1,2n2n－1)，n為偶數(shù).))當n為奇數(shù)時，Sn＋eq\f(1,Sn)隨n的增大而減小，所以Sn＋eq\f(1,Sn)≤S1＋eq\f(1,S1)＝eq\f(13,6).當n為偶數(shù)時，Sn＋eq\f(1,Sn)隨n的增大而減小，所以Sn＋eq\f(1,Sn)≤S2＋eq\f(1,S2)＝eq\f(25,12).故對于n∈N*，有Sn＋eq\f(1,Sn)≤eq\f(13,6).變式：(2013·湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且a2＋a3＋a4＝－18.①求數(shù)列{an}的通項公式；②是否存在正整數(shù)n，使得Sn≥2013？若存在，求出符合條件的所有n的集合；若不存在，說明理由．解析：①設數(shù)列{an}的公比為q，則a1≠0，q≠0.由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2－S4＝S3－S2，,a2＋a3＋a4＝－18，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a1q2－a1q3＝a1q2，,a1q1＋q＋q2＝－18，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝－2.))故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3×(－2)n－1.②由①有Sn＝eq\f(3×[1－－2n],1－－2)＝1－(－2)n.若存在n，使得Sn≥2013，則1－(－2)n≥2013，即(－2)n≤－2012.當n為偶數(shù)時，(－2)n>0，上式不成立；當n為奇數(shù)時，(－2)n＝－2n≤－2012，即2n≥2