2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題2【含答案】

2022-2023學(xué)年北京市房山區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角，即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】.故選：A2．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：B.3．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．向量的模可以比較大小 B．平行向量就是共線向量C．對(duì)于任意向量，必有 D．對(duì)于任意向量，必有【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的模、平行向量、共線向量的定義即可判斷AB；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可判斷CD.【詳解】A：向量的模表示向量的長(zhǎng)度，為數(shù)量，是可以比較大小的，故A正確；B：平行向量就是共線向量，故B正確；C：由，得，故C正確；D：，，又，所以，故D錯(cuò)誤.故選：D.4．已知，則（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.5．下列各組向量中，可以作為平面向量一組基底的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】在平面向量中能作為基底的充分必要條件是一組不平行的非零向量，按照這個(gè)條件逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，是零向量，不可以作為平面向量一組基底；對(duì)于B，，兩向量是平行向量，不可以作為平面向量一組基底；對(duì)于C，，兩向量是平行向量，不可以作為平面向量一組基底；對(duì)于D，因?yàn)?，所以是一組不平行的非零向量，可以作為平面向量一組基底.故選：D.6．設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題可根據(jù)反三角函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】，，，則，故選：D.7．函數(shù)（其中，，）的圖象如圖所示，為得到的圖象，只需將圖象上所有的點(diǎn)（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【分析】由函數(shù)圖象可求出，由周期求出，根據(jù)最值點(diǎn)求出的值，可得函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，即可得到結(jié)果．【詳解】由圖象可知，，函數(shù)周期為，所以；將點(diǎn)代入，得，所以，又，所以，所以，所以要得到只需將向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位.故選：D.8．已知與是非零向量，且，則是與垂直的（

）A．充分不必要條件； B．必要不充分條件；C．充要條件； D．既不充分也不必要條件．【答案】C【分析】利用條件證明必要性和充分性即可.【詳解】因?yàn)榕c是非零向量，且，當(dāng)時(shí)，，所以與垂直，故充分性成立，若與垂直，則因?yàn)榕c是非零向量，且，所以，所以必要性成立，故若與是非零向量，則是與垂直的充要條件，故選：C.9．人大附中舉辦了“陽(yáng)春德澤·歐以詠志”春日合唱比賽大獲成功．?dāng)?shù)學(xué)組想舉辦“響亮（諧音向量）學(xué)生音樂(lè)節(jié)”獨(dú)唱比：想在獨(dú)唱比賽取得好的成績(jī)?nèi)Q于三個(gè)要素：情感投入，唱歌技巧和舞臺(tái)效果（單位：分）．每個(gè)參賽同學(xué)各有優(yōu)勢(shì)．最多只能分配10分到三個(gè)不同的要素中．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)組老師約定三個(gè)要素為時(shí)會(huì)達(dá)到最佳效果．計(jì)分方式是計(jì)算參賽同學(xué)的三維要素向量與的夾角余弦值，公式是，該值越大得分越高．根據(jù)此規(guī)則，你認(rèn)為下列四位參賽同學(xué)得分最高的是（

）同學(xué)情感投入唱歌技巧每臺(tái)效果A631B144C234D243A．同學(xué)A B．同學(xué)B C．同學(xué)C D．同學(xué)D【答案】C【分析】根據(jù)題意得到四位同學(xué)的三維要素向量，再逐一利用公式計(jì)算得對(duì)應(yīng)的，從而得解.【詳解】易得，對(duì)于A同學(xué)，其三維要素向量為，則，則其對(duì)應(yīng)的；對(duì)于B同學(xué)，其三維要素向量為，則，則其對(duì)應(yīng)的；對(duì)于C同學(xué)，其三維要素向量為，則，則其對(duì)應(yīng)的；對(duì)于D同學(xué)，其三維要素向量為，則，則其對(duì)應(yīng)的；易得，，所以，，故C同學(xué)的三維要素向量與的夾角余弦值最大，則其得分估計(jì)最高.故選：C.10．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】先求出函數(shù)的周期，易得區(qū)間的長(zhǎng)度為，再結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)函數(shù)圖象的最低點(diǎn)位于區(qū)間的圖象上，且函數(shù)在區(qū)間的圖象關(guān)于對(duì)稱時(shí)，取得最小值，由此即可得解.【詳解】函數(shù)的周期，而區(qū)間的長(zhǎng)度為，即為，如圖所示，當(dāng)函數(shù)圖象的最低點(diǎn)位于區(qū)間的圖象上，且函數(shù)在區(qū)間的圖象關(guān)于對(duì)稱時(shí)，取得最小值，則.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)圖象得出當(dāng)函數(shù)圖象的最低點(diǎn)位于區(qū)間的圖象上，且函數(shù)在區(qū)間的圖象關(guān)于對(duì)稱時(shí)，取得最小值，是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題11．的值域是________________．【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知，，得，即函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.12．，則的夾角為_(kāi)_____________．【答案】【分析】利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式與和差公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，又，所以，即的夾角為.故答案為：.三、雙空題13．?dāng)?shù)學(xué)中處處存在著美，機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形（圖中實(shí)線）就給人以對(duì)稱的美感．萊洛三角形的畫法；先畫等邊三角形，再分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，線段長(zhǎng)為半徑畫圓弧，三段圓弧便圍成了萊洛三角形．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為，則_____________，等邊三角形的面積是___________．【答案】【分析】根據(jù)條件，利用弧長(zhǎng)公式即可求出，再利用三角形的面積公式求出三角形的面積即可.【詳解】由條件可知，弧長(zhǎng)，由，得三角形的邊長(zhǎng).在等邊三角形中，邊上的高為，所以等邊三角形的面積是.故答案為：；.四、填空題14．如圖，點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則______【答案】8【分析】由，知點(diǎn)為的重心．連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，可得和的長(zhǎng)，又，利用平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可得解．【詳解】解：由，所以點(diǎn)O為的重心．連接CO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)D．又，所以．在中，，所以．故答案為：8.15．若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，坐標(biāo)滿足關(guān)系：，則稱西數(shù)與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)．給出下列函數(shù)：①；

②；

③；

④．其中與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的所有函數(shù)為_(kāi)____________（填上所有正確答案的序號(hào)）．【答案】①②④【分析】由“西數(shù)函數(shù)與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)”的定義可知函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得、共線，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O共線，結(jié)合4個(gè)函數(shù)的圖象分別判斷即可.【詳解】設(shè)，則，由題意可知，即，即，所以，又，所以，即共線，亦即三點(diǎn)共線，也即存在過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，稱為西數(shù)函數(shù)與原點(diǎn)關(guān)聯(lián).對(duì)于①，易知函數(shù)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O三點(diǎn)共線，故①是與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的函數(shù)；對(duì)于②，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為，作出函數(shù)與的圖象，如圖，所以存在實(shí)數(shù)k使得直線與函數(shù)圖象在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O三點(diǎn)共線，故②是與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的函數(shù)；對(duì)于③，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為，作出函數(shù)與的圖象，如圖，所以存在實(shí)數(shù)k使得直線與函數(shù)圖象在上有1個(gè)交點(diǎn)，即不存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O三點(diǎn)共線，故③不是與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的函數(shù)；對(duì)于④，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線為，作出函數(shù)與的圖象，如圖，所以存在實(shí)數(shù)k使得直線與函數(shù)圖象在上有2個(gè)交點(diǎn)，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O三點(diǎn)共線，故④是與原點(diǎn)關(guān)聯(lián)的函數(shù)；故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，理解新定義的本質(zhì)是求解的關(guān)鍵.五、解答題16．已知．(1)已知，在所給直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A，B兩點(diǎn)的位置；(2)求；(3)求；(4)求在方向上的投影的數(shù)量．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)(4)【分析】（1）由向量的減法運(yùn)算即可求出的坐標(biāo)，在圖中表示即可；（2）求出，再由數(shù)量積公式求解即可；（3）求出，由向量的模長(zhǎng)公式求解即可；（4）由數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】（1），由向量的減法可得：，，A，B兩點(diǎn)的位置如下：（2），，，.（3），.（4）在方向上的投影的數(shù)量為：.17．某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：0xab02c0(1)請(qǐng)將上述數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，直接寫出a，b，c的值并求出的解折式；(2)求的對(duì)稱軸；(3)求在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(1)；(2)；(3)最大值為1，最小值為-2.【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)列式即可求出解析式，進(jìn)而補(bǔ)全表格；（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可；（3）由題意，結(jié)合正弦函數(shù)的的單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，解得，則數(shù)據(jù)補(bǔ)充如下：0x000所以，函數(shù)的解析式為；（2）由（1）知，令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為；（3）當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)即時(shí)，取得最小值為；當(dāng)，即時(shí)，取得最大值為.18．函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值；(2)從下面四個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得解析式存在且唯一．求的解折式．(3)在（2）的條件下，求的單調(diào)減區(qū)間．條件①：的值域是；條件②：在區(qū)間上單調(diào)遞增；條件③：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件④：的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按前兩個(gè)條件和第一個(gè)解答給分．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由周期可得；（2）由①中確定，由③得出的關(guān)系式，由④可確定，條件②不能得出確定的值，在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒(méi)有說(shuō)就是單調(diào)增區(qū)間，由它可能確定參數(shù)的范圍．因此考慮方案：①③；①④；③④分別求解；（3）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?；?）由（1）得，因?yàn)闂l件②在區(qū)間上單調(diào)遞增，沒(méi)有說(shuō)就是單調(diào)增區(qū)間，由它可能確定參數(shù)的范圍，而不能確定參數(shù)得值，方案一：選擇①③，因?yàn)榈闹涤蚴?，所以，所以，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，又，所以，所以的解析式為；方案二：選擇條件①④，因?yàn)榈闹涤蚴?，所以，所以，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，又，所以，所以的解析式為；方案三：選擇條件③④，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，又，所以，則因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以的解析式為；（3）由（2）得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．六、單選題19．方程的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)已知式可取得，即可得出答案.【詳解】由可得：，解得：，所以.故選：B.20．函數(shù)的圖象為A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)?，根?jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義可知，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除選項(xiàng)A和選項(xiàng)D.當(dāng)時(shí)，，所以選B.【解析】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)21．剪紙是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會(huì)沿著紙的某條對(duì)稱軸對(duì)折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開(kāi)得到最后的圖形，若正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在四段圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的取值范圍.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，易知，以為半徑的左半圓的方程為，以為半徑的右半圓的方程為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，又因?yàn)?，，所以?故選：B.22．若函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正、余弦函數(shù)的值域可得，且，再根據(jù)，確定，進(jìn)而得解.【詳解】由，得，，則，，所以函數(shù)的最大值和最小值均大于，設(shè)，則對(duì)，，有，所以，所以，，所以，故選：C.七、填空題23．化簡(jiǎn)______________．【答案】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)同角的平方關(guān)系化簡(jiǎn)．【詳解】∵，∴，∴.故答案為：．24．若，則的取值范圍是_____________．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為（），則，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和數(shù)量積的定義可得，進(jìn)而，結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)與的夾角為（），則，，有，又，所以，所以，得，即的取值范圍為.故答案為：.25．在下列四個(gè)函數(shù)中任選兩個(gè)相加可以得到6個(gè)新的函數(shù)：①

②

③

④其中有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)的所有函數(shù)為_(kāi)____________（寫出完整的函數(shù)解析式）【答案】.【分析】由題意寫出6個(gè)新函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象即可求解.【詳解】由題意，這6個(gè)新函數(shù)分別為：.對(duì)于函數(shù)，令，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于函數(shù)，令，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于函數(shù)，令，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于函數(shù)，令，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)的圖象有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于函數(shù)，令，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)的圖象有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于函數(shù)，令，得，作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知，函數(shù)的圖象有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn).所以有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)的函數(shù)為，，.故答案為：，，.八、解答題26．集合稱為三元有序數(shù)組集，對(duì)于，互不相等，令，其中，．(1)當(dāng)時(shí)，試求出和；(2)證明：對(duì)于任意的中的三個(gè)數(shù)至多有一個(gè)為0；(3)證明：存在．當(dāng)時(shí)，向量滿足．【答案】(1)；.(2)證明見(jiàn)解析.(3)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）計(jì)算出得到其周期為3，而，最后即可得到；（2）假設(shè)存在,取第一次出現(xiàn)至少兩個(gè)0的位置,則，設(shè)且，則推理出，解出，則,矛盾，與假設(shè)矛盾，即證明；（3）設(shè)三個(gè)數(shù)中最大的為,記作,通過(guò)（2）中結(jié)論排除若單調(diào)遞減的情況，則存在,使得,根據(jù)定義，不妨設(shè)，設(shè)，所以，故，則，最終得證.【詳解】（1）因?yàn)?所以,,故從起以3為周期循環(huán),因?yàn)?故