統(tǒng)計量和抽樣分布

統(tǒng)計量和抽樣分布第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/51說明樣本的分布雖然能夠反映總體的特征，但樣本是一個多維隨機變量，對其分布的研究當然也非常麻煩。所以，在對總體的分布或某些特征進行統(tǒng)計推斷的時候，并不是直接利用樣本的分布，而是通過建立樣本的一個適當?shù)暮瘮?shù)，對總體的某方面的特征進行統(tǒng)計推斷。也就是建立一個統(tǒng)計量。第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/52第一節(jié)統(tǒng)計量第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/53定義：設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體的一個樣本，g(X1,X2,…,Xn)是樣本的函數(shù)，若g中不含任何未知參數(shù)，則稱g(X1,X2,…,Xn)是一個統(tǒng)計量。若(x1,x2,…,xn

)

是樣本（X1,X2,…,Xn）的觀察值，則g(x1,x2,…,xn

)是g(X1,X2,…,Xn)的觀察值。如是來自總體的一個樣本，則都是統(tǒng)計量；若未知，則就不是統(tǒng)計量。第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/54補充說明統(tǒng)計量是我們對總體的分布函數(shù)或數(shù)字特征進行統(tǒng)計推斷的最重要的基本概念，所以建立適當?shù)慕y(tǒng)計量，以及尋求統(tǒng)計量的分布成為數(shù)理統(tǒng)計的基本問題之一。并把統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/55第二節(jié)常用統(tǒng)計量常用的統(tǒng)計量主要有兩種類型：1、描述數(shù)據(jù)分布的中心位置；2、描述數(shù)據(jù)分布的分散程度。第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/56一、樣本均值1、定義式：①一般地，②分組情形：TH1【樣本的所有偏差之和為0】TH2【樣本觀察值與均值的偏差平方和最小】第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/57TH2的證明證：由TH1知＝0第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/58二、樣本方差與樣本標準差1、定義式：①②注：②式比①式更常用，是D(X)的無偏估計；n-1稱為偏差平方和的自由度。中只有n-1個數(shù)據(jù)可以變動。為偏差平方和，第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/592、偏差平方的其他計算式在分組情形下，注：稱為樣本的標準差。第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/510三、樣本中位數(shù)次序統(tǒng)計量：把簡單隨機樣本按照其取值從小到大的次序排列，記為稱之為次序統(tǒng)計量。在次序統(tǒng)計量中，位于中間一個位置的x稱為樣本中位數(shù)。并且有第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/511樣本中位數(shù)M=med=n為奇數(shù)時；n為偶數(shù)時.注：樣本均值和樣本中位數(shù)都是描述數(shù)據(jù)分布的中心位置的常用統(tǒng)計量；對于對稱分布有第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/512四、樣本相關(guān)系數(shù)和散點圖為樣本相關(guān)系數(shù)。且規(guī)定第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/513以成對樣本數(shù)據(jù)的對應取值（x，y）作為平面上點的坐標，在平面坐標系中畫出這些點，就得到所謂數(shù)據(jù)對的散點圖。詳見P105-圖9.2。注：樣本相關(guān)系數(shù)反映了成對數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)程度。例如，考察中學生的物理成績與數(shù)學成績的散點圖，并說明兩科成績的關(guān)聯(lián)程度。第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/514第三節(jié)抽樣分布統(tǒng)計量的分布，即稱為抽樣分布。統(tǒng)計推斷就是根據(jù)抽樣分布來作出的。第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/515一、有限總體的抽樣分布TH1設(shè)總體中的個體總數(shù)為N，樣本容量為n,且總體具有有限的均值μ和方差σ2,則有第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/516樣本均值的方差較小，體現(xiàn)了樣本均值的穩(wěn)定性。并且，樣本容量越大，反映總體越可靠。補充說明如果n<<N,則不放回抽樣可以近似看作是有放回抽樣。對于無限總體，不論放回、不放回抽樣，都可以看作是有放回抽樣。本教材主要研究從無限總體的簡單隨機抽樣，較大容量的有限總體可以看作是無限總體。第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/517在推斷統(tǒng)計中，以正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個著名統(tǒng)計量，在實踐中有廣泛的應用，即統(tǒng)稱為“三大抽樣分布”。分布，分布，分布，二、三個重要分布第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/518一、分布〔卡方分布〕定義1設(shè)獨立，且都服從標準正態(tài)分布，服從的分布為自由度為n

的分布，記作：即，則稱注：服從分布的隨機變量取值非負，其密度函數(shù)及其圖形如下：第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/519n=4n=6n=10注：隨n的增大，其偏度越來越小。

分布分位數(shù)表（P425）實際上也是分布函數(shù)數(shù)值表?！獹a(n/2,1/2)=分布是Ga分布的特例。獨立，則第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/520二、F分布且X與Y相互定獨立，則稱其中m稱為第一自由度，n稱為第二自由度。定義2設(shè)所服從的分布為自由度是（m,n)的F分布，記作:第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/521F分布的圖形及性質(zhì),則易證：如果進而有：其中，第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/522的證明證：第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/523三、t分布所服從的分布是自由度為n的t分布，記作:顯然，t分布是由標準正態(tài)分布與分布組合成的。定義3設(shè)則稱統(tǒng)計量且X與Y相互獨立，t分布也稱為學生－student分布，其密度函數(shù)如下：第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/524t分布的圖形與性質(zhì)n=10n=4n=1t(x;n)性質(zhì)：t分布與標準正態(tài)分布有著相似的性質(zhì)；而且，隨著n的增加，它與標準正態(tài)分布越來越接近。當n>30時，兩者的區(qū)別非常小。可以比較這兩種分布的數(shù)值表。第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/525四、抽樣分布定理分別為樣本均值與樣本方差，則1.2.與相互獨立;3.定理1若，是來自正態(tài)總體的一個樣本，與第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/526證明由定理4知所以又的一個樣本，則定理2若是來自正態(tài)總體第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/527由于與相互獨立，因此與相互獨立，從而由t分布的定義有：第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/528其中的兩個樣本，且它們相互獨立，則定理3設(shè)和是分別來自正態(tài)總體和第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/529證明由定理條件有所以又因并且它們是相互獨立的，故由分布的可加性可知第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/530從而由獨立性條件及t分布的定義有即第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/531的兩個樣本，且它們相互獨立，則定理4設(shè)和是分別來自正態(tài)總體和其中，第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/532由相互獨立性及F分布的定義可知：證明注：若，則第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期一2023/6/533例某鎮(zhèn)有25000戶家庭，平均擁有汽車1.2輛，標準差為0.90輛，他們中10％沒有汽車?，F(xiàn)有1600戶家庭的隨機樣本，問在樣本中9％至11％之間的家庭沒有汽車的概率是多少？分析：因此，這兩個條件與所求問題無關(guān)。平均擁有汽車1.2輛，標準差為0.90輛，是關(guān)于擁有汽車數(shù)量的兩個條件；而所求問題是擁有汽車的家庭平均所占的比例。主要的條件是10％沒有汽車第三十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星