第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)復習課導學案高中數(shù)學新北師大版必修第一冊

第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)復習課(1分鐘)1.構建知識體系，明確知識與方法的聯(lián)系，將知識轉化為技能，提高綜合應用能力.2.掌握本章主要題型及解法，熟悉各類題型的解題步驟和思想方法.3.培養(yǎng)數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng).(2分鐘)教師引導學生先自行構建思維導圖，可選幾個學生進行展示，充分肯定學生的優(yōu)點，在主體結構基本合理的前提下，允許有漏洞，鼓勵形式多樣化，然后公布下面的知識框圖：(2分鐘)1.進行分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化時，主要依據(jù)公式amn=nam(a>0，m、n(1)在分數(shù)指數(shù)冪中，若冪指數(shù)為負數(shù)，可先將其化為正數(shù)，再利用公式化為根式.(2)若表達式中根式較多，含有多重根號時，要理清被開方數(shù)，由里向外逐次用分數(shù)指數(shù)冪表示，最后再運用相關的運算性質化簡.2.分數(shù)指數(shù)冪及根式化簡結果的具體要求利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式計算時，結果可化為根式形式或保留分數(shù)指數(shù)冪的形式，不強求統(tǒng)一用什么形式，但結果不能既有根式又有分數(shù)指數(shù)冪，也不能同時含有分母和負指數(shù).3.指數(shù)冪的一般運算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運算.負指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).底數(shù)是負數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分數(shù)，底數(shù)是帶分數(shù)，先要化成假分數(shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運算性質.4.解決條件求值問題的一般方法——整體代入法對于條件求值問題，一般先化簡代數(shù)式，再將字母取值代入求值.但有時字母的取值不知道或不易求出，這時可將所求代數(shù)式恰當?shù)刈冃危瑯嬙斐雠c已知條件相同或相似的結構，從而通過“整體代入法”巧妙地求出代數(shù)式的值.利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(其中a>0，b>0)：(1)a±2a12(2)a(3)a5.指數(shù)函數(shù)的性質及圖象特點是這部分知識的重點，而底數(shù)a的不同取值對函數(shù)的圖象及性質的影響則是重中之重，要熟知a在(0，1)和(1，+∞)兩個區(qū)間取值時，函數(shù)的單調性及圖象特點.6.比較幾個數(shù)的大小是指數(shù)函數(shù)性質的應用，在具體比較時，可以首先將它們與零比較，分出正數(shù)、負數(shù)，再將正數(shù)與1比較，分出大于1還是小于1，然后在各類中兩兩相比較.7.求含有指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)的最值或單調區(qū)間時，首先要考慮指數(shù)函數(shù)的定義域，再由復合函數(shù)的單調性來確定其單調區(qū)間，要注意單調區(qū)間是函數(shù)定義域的子集.其次要結合函數(shù)的圖象，觀察確定其最值或單調區(qū)間.8.解簡單的指數(shù)方程或不等式：可先利用冪的運算性質化為同底數(shù)冪，再利用單調性轉化為一般不等式求解.(1分鐘)題型一：指數(shù)冪的運算題型二：比較大小題型三：指數(shù)函數(shù)的圖象及應用題型四：指數(shù)型函數(shù)題型五：等價轉化思想的體現(xiàn)題型六：解簡單的指數(shù)方程或不等式……(自主歸納)(根據(jù)學情，選講部分探究，約31分鐘)探究1：指數(shù)冪的運算【例1】化簡下列各式：(1)2350+2-2·214-12-((2)(a【方法指導】根據(jù)指數(shù)冪的運算性質進行運算.【解析】(1)原式=1+1=1+14×23-(2)原式=a=a-13【方法小結】有關指數(shù)冪的運算，首先將根式、分數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪，再利用法則計算，但應注意：①必須同底數(shù)冪相乘，指數(shù)才能相加；②運算的先后順序.③運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負指數(shù).探究2：比較大小【例2】a=40.9，b=80.48，c=12-1.A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b【方法指導】先將a，b，c均化為同底數(shù)冪，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較大小關系.【解析】∵a=40.9=(22)0.9=21.8，b=(23)0.48=21.44，c=12-1.5=(2-1)-1.5=21.5，且指數(shù)函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，∴21.8>21.5>21.44，因此，a>c>【答案】D【方法小結】比較指數(shù)式大小的策略：①能化成同底數(shù)冪的先化成同底數(shù)冪，再利用單調性比較大小；②不能化成同底數(shù)冪的，一般引入“1”等中間量比較大小.探究3：指數(shù)函數(shù)的圖象及應用【例3】已知函數(shù)f(x)是定義在[-4，0)∪(0，4]上的奇函數(shù)，當x∈(0，4]時，f(x)的圖象如圖所示，那么滿足不等式f(x)≥3x-1的x的取值范圍是().A.[-1，0)∪(0，1]B.[-4，-2]∪(0，1]C.[-4，-2]∪[2，4]D.[-1，0)∪[2，4]【方法指導】根據(jù)題意作出f(x)與g(x)的圖象，可知其交于兩點A(1，2)，B-2，-【解析】設g(x)=3x-1，如圖所示，畫出函數(shù)g(x)與f(x)在[-4，0)∪(0，4]上的圖象，可知f(x)與g(x)圖象交于兩點A(1，2)，B-2f(x)≥3x-1，即f(x)的圖象要在g(x)的圖象上方，所以滿足條件的x的取值范圍為[-4，-2]∪(0，1]，故選B.【答案】B【方法小結】一些指數(shù)方程或不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)函數(shù)圖象數(shù)形結合求解.探究4：指數(shù)型函數(shù)【例4】已知函數(shù)f(x)=a2x-ax+3-1的圖象經(jīng)過點(-2，0)，其中a(1)求a的值；(2)求f(x)在區(qū)間[1，2]上的值域.【方法指導】(1)建立方程求解參數(shù)；(2)根據(jù)復合函數(shù)單調性，構造內層函數(shù)g(x)，求解g(x)的取值范圍，再求值域.【解析】(1)依題意得f(-2)=aa2-1-1=0，則aa2-1=1=a0，所以a2-(2)因為a=2，所以f(x)=22x-2x+3-1，設函數(shù)g(x)=2x-2x易知函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，2]上單調遞增.又因為g(1)=3，g(2)=6，所以3≤g(x)≤6.因為y=2x為增函數(shù)，所以7≤f(x)≤63，即f(x)在區(qū)間[1，2]上的值域為[7，63].【方法小結】探究指數(shù)型函數(shù)的性質，要結合復合函數(shù)的單調性：同增異減.其他與研究一般函數(shù)的定義域、單調區(qū)間、奇偶性、最值、值域等性質的方法一致.探究5：等價轉化思想的體現(xiàn)【例5】已知函數(shù)f(x)=13x，當x∈[-1，1]時，求函數(shù)y=[f(x)]2-2af(x)+3的最小值g(a【解析】∵x∈[-1，1]，∴13x∈y=[f(x)]2-2af(x)+3=132x-2a=13x-a2+令t=13x，則t∈若a<13，則當t=13，即x=1時，ymin=19-2若13≤a≤3，則當t=a，即13x=a時，ymin=3-若a>3，則當t=3，即x=-1時，ymin=9-6a+3=12-6a.綜上可知，g(a)=28【方法小結】一般來說，小題對指數(shù)函數(shù)的考查，僅限于指數(shù)函數(shù)本身的概念、圖象與性質，而解答題往往注重考查與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的性質.這類題目的解題思想：通過換元轉化成其他函數(shù)，或是將其他函數(shù)通過轉化與化歸，變成指數(shù)函數(shù)來處理.探究6：解簡單的指數(shù)方程或不等式【例6】已知函數(shù)f(x)=x2+2|x|-8，則不等式f(3x-1-5)≤16的解集是()A.[1，3] B.[1，9]C.[1，+∞) D.(-∞，3]【方法指導】分析出函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞)上單調遞增，由此建立指數(shù)不等式求解.【解析】函數(shù)f(x)=x2+2|x|-8的定義域為R，關于原點對稱，且f(-x)=(-x)2+2|-x|-8=x2+2|x|-8=f(x)，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)=x2+2x-8=(x+1)2-9，該函數(shù)在區(qū)間[0，+∞)上單調遞增，由f(3x-1-5)≤16，得f(|3x-1-5|)≤f(4)，∴|3x-1-5|≤4，即-4≤3x-1-5≤4，得1≤3x-1≤9，則0≤x-1≤2，解得1≤x≤3.∴1≤x≤3.因此，不等式f(3x-1-5)≤16的解集是[1，3].故選A.【答案】A【方法小結】解簡單的指數(shù)方程或不等式：可先利用冪的運算性質化為同底數(shù)冪，再利用單調性轉化為一般不等式求解.(1分鐘)素養(yǎng)圖譜(5分鐘)1.【2020年高考北京】已知函數(shù)f(x)=2A.(-1，1C.(0，1【解析】因為fx=2x-x-1在同一直角坐標系中作出y=2x和兩函數(shù)圖象的交點坐標為(0不等式2x>x+1的解為x所以不等式fx>0的解集為：-∞，0【答案】D2.(2019年全國Ⅲ卷)函數(shù)y=2x32x+2-x在[【解析】設y=f(x)=2x32x+2-x，則f(-x)=2(-x)32-x+2x=-2x32x+2-x=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C；【答案】B3.(2018年全國Ⅱ卷)函數(shù)f(x)