自動(dòng)控制原理第七章非線性系統(tǒng)

自動(dòng)控制原理第七章非線性系統(tǒng)第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

前面幾章討論的都是線性系統(tǒng)，實(shí)際上所有的實(shí)際系統(tǒng)都不可避免地帶有某種程度的非線性，只要具有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)，就稱作非線性系統(tǒng)，因此嚴(yán)格的說所有系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。

本章將主要討論關(guān)于非線性系統(tǒng)的基本概念，以及其中的一種基本分析方法——描述函數(shù)法。

第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一7.1典型非線性特性

在控制系統(tǒng)中，若控制裝置或元件其輸入輸出間的靜特性曲線，不是一條直線，則稱為非線性特性。如果這些非線性特性不能采用線性化的方法來處理，稱這類非線性為本質(zhì)非線性。為簡化對(duì)問題的分析，通常將這些本質(zhì)非線性特性用簡單的折線來代替，稱為典型非線性特性。7.1.1典型非線性特性的種類1．飽和特性

飽和特性的靜特性曲線如圖7-1所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

式中，a為線性區(qū)寬度；k為線性區(qū)斜率。飽和特性的特點(diǎn)是：輸入信號(hào)超過某一范圍后，輸出不再隨輸入的變化而變化，而是保持在某一常值上。飽和特性在控制系統(tǒng)中是普遍存在的，常見的調(diào)節(jié)器就具有飽和特性。yxka-a0圖7-1飽和特性M-M第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

yxka-a0圖7-2死區(qū)特性2．死區(qū)特性

死區(qū)又稱不靈敏區(qū)，在死區(qū)內(nèi)雖有輸入信號(hào)，但其輸出為零，其靜持性關(guān)系如圖7-2所示。若引入符號(hào)函數(shù)

死區(qū)小時(shí)，可忽略；大時(shí)，需考慮。工程中，為抗干擾，有時(shí)故意引入。比如操舵系統(tǒng)。第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

滯環(huán)特性

滯環(huán)特性表現(xiàn)為正向與反向特性不是重疊在一起，而是在輸入--輸出曲線上出現(xiàn)閉合環(huán)路。其靜特性曲線如圖7-3所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

這類特性，當(dāng)輸入信號(hào)小于間隙a時(shí)，輸出不變。當(dāng)x>a時(shí)，輸出線性變化；輸入反向時(shí)，輸出保持在方向發(fā)生變化時(shí)的輸出值上，直到變化2a后，才再線性變化。

例如：鐵磁材料，齒輪的齒隙，液壓傳動(dòng)中的間隙等。yx圖7-3滯環(huán)特性0b-ba-a第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一繼電器特性

繼電器非線性特性一般可用圖7-4表示，不僅包含死區(qū)，而且還具有滯環(huán)特性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

yx圖7-4繼電器特性0ama-a-mab-b第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

特殊情況：(1)若a＝0，稱這種特性為理想繼電器特性，如圖7-5(a)所示.(2)若m=1，其靜特性如圖7-5(b)所示，則稱為死區(qū)繼電器特性.(3)若m＝-1，則稱為滯環(huán)繼電器特性，如圖7-5(c)所示。實(shí)際系統(tǒng)中，各種開關(guān)元件都具有繼電器特性。圖7-5三種繼電器特性（a）理想繼電器特性（b）死區(qū)繼電器特性（c）滯環(huán)繼電器特性yx0b-b(a)yx圖7-4繼電器特性0ama-a-mab-byxa-a0-bb(b)yxa-a0-bb(c)第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

7.1.2非線性系統(tǒng)的若干特征

非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)最本質(zhì)的區(qū)別為：由非線性微分方程描述，不滿足疊加原理，故在非線性系統(tǒng)中將出現(xiàn)一些線性系統(tǒng)見不到的現(xiàn)象，兩者之間有著不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

具體表現(xiàn)在：

上述介紹的是一些典型特性。實(shí)際中的非線性還有好多復(fù)雜的情況，有些是它們的組合；還有一些很難用一般的函數(shù)來描述，可以稱為不規(guī)則非線性。第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

對(duì)于線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入信號(hào)及初始條件無關(guān)。而非線性系統(tǒng)卻復(fù)雜的多?？紤]非線性一階系統(tǒng)：（1）穩(wěn)定性的復(fù)雜性設(shè)t=0時(shí),系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0

10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)隨初始條件而變。當(dāng)x0>1，t<lnx0/(x01)時(shí)，隨t增大，x(t)遞增；t=lnx0/(x01)時(shí)，x(t)為無窮大。當(dāng)x0<1時(shí)，x(t)遞減并趨于0。因此非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一（2）可能存在自激振蕩

無外界周期信號(hào)輸入時(shí)產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定振蕩。對(duì)于線性二階系統(tǒng)，也會(huì)出現(xiàn)等幅振蕩，但不會(huì)是穩(wěn)定的振蕩（Why？）。

（3）頻率響應(yīng)對(duì)于線性系統(tǒng)，輸入是正弦函數(shù)時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出也是同頻率的正弦函數(shù)，可以用頻率特性來描述；而非線性系統(tǒng)輸出是非正弦周期函數(shù)。

可見，非線性系統(tǒng)要比線性系統(tǒng)復(fù)雜的多，會(huì)存在多種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。已無法用線性系統(tǒng)理論解釋或分析，必須應(yīng)用非線性理論來研究。

第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一7.1.3非線性系統(tǒng)的分析方法

非線性的數(shù)學(xué)模型為非線性微分方程，大多數(shù)尚無法直接求解。到目前為止，非線性系統(tǒng)的研究還不成熟，結(jié)論不能像線性系統(tǒng)那樣具有普遍意義，一般要針對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，輸入及初始條件等具體情況進(jìn)行分析。工程上常用的方法有以下幾種：（1）描述函數(shù)法（本質(zhì)非線性）：是一種頻域分析法，實(shí)質(zhì)上是應(yīng)用諧波線性化的方法，將非線性特性線性化，然后用頻域法的結(jié)論來研究非線性系統(tǒng)，它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，不受系統(tǒng)階次的限制。第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一（2）相平面法（本質(zhì)非線性）：圖解法。通過在相平面上繪制相軌跡，可以求出微分方程在任何初始條件下的解。是一種時(shí)域分析法，僅適用于一階和二階系統(tǒng)。（3）計(jì)算機(jī)求解法：用計(jì)算機(jī)直接求解非線性微分方程，對(duì)于分析和設(shè)計(jì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)是非常有效的。

本章以系統(tǒng)分析為主，而且是以穩(wěn)定性分析為核心內(nèi)容，著重介紹在工程上廣泛應(yīng)用的描述函數(shù)法。第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的求法組合非線性特性的描述函數(shù)

用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)7.2描述函數(shù)法第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一7.2.1描述函數(shù)的定義

1.描述函數(shù)的應(yīng)用條件（1）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡化成一個(gè)非線性環(huán)節(jié)N和一個(gè)線性部分G(s)串聯(lián)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖7-8所示。

描述函數(shù)法是非線性系統(tǒng)的一種近似分析方法。首先利用描述函數(shù)將非線性元件線性化，然后利用線性系統(tǒng)的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。它是線性理論中的頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，不受系統(tǒng)階次的限制。

分析內(nèi)容主要是非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩穩(wěn)態(tài)，一般不給出時(shí)域響應(yīng)的確切信息。xyNG(s)r(t)=0c(t)圖7-8非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

（2）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出靜特性曲線是奇對(duì)稱的，即y(x)=-y(-x)，以保證非線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出不包含直流分量。（3）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波特性。能較好的濾除非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入下輸出中的高次諧波，于是可以認(rèn)為在閉環(huán)通道中只有基波分量在流通，此時(shí)應(yīng)用描述函數(shù)法所得的分析結(jié)果才是比較準(zhǔn)確的。實(shí)際系統(tǒng)基本都能滿足。2.描述函數(shù)的定義對(duì)于圖7-8所示的非線性系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)輸入信號(hào)是正弦信號(hào)：則其輸出一般為周期性的非正弦信號(hào)，可以展成傅氏級(jí)數(shù)：第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一若系統(tǒng)滿足上述第二個(gè)條件，則有A0=0

由于在傅氏級(jí)數(shù)中n越大,諧波分量的頻率越高，An，Bn越小。此時(shí)若系統(tǒng)又滿足第三個(gè)條件，則高次諧波分量又進(jìn)一步被充分衰減，故可認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出只含基波分量，即

第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

類似于線性系統(tǒng)中頻率特性的定義，我們把非線性元件穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量與輸入正弦信號(hào)的相量比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用N(A)來表示，即

第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

由非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的定義可以看出：

(1)描述函數(shù)類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念便可以把一個(gè)非線性元件近似地看作一個(gè)線性元件，因此又叫做諧波線性化。線性系統(tǒng)頻率法的推廣。（2）描述函數(shù)表達(dá)了非線性元件對(duì)基波正弦量的傳遞能力。一般來說，它應(yīng)該是輸入信號(hào)幅值和頻率的函數(shù)，但對(duì)于絕大多數(shù)的實(shí)際非線性環(huán)節(jié)，由于不包括儲(chǔ)能元件，它們的輸出僅是幅值的函數(shù)，與頻率無關(guān)，故常用N(A)表示。

7.2.2描述函數(shù)的求法

描述函數(shù)可以從定義式(7-22)出發(fā)求得，一般步驟是：(7-22)第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一(1)首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號(hào)輸入下的輸出波形y(t)

，并寫出輸出波形y(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。(2)利用傅氏級(jí)數(shù)求出y(t)的基波分量。(3)將求得的基波分量代入定義式(7-22)，即得N(A).下面計(jì)算幾種典型非線性特性的描述函數(shù)。

1．理想繼電器特性當(dāng)輸入為x(t)＝Asinωt時(shí)，理想繼電器特性的輸出波形如圖7-9所示：第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一yx0M圖7-9理想繼電器特性的輸出波形ωt0xπ2πωty0π2πM-π-MxyN第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

由于輸出周期方波信號(hào)是奇函數(shù)，則傅氏級(jí)數(shù)中的直流分量與基波偶函數(shù)分量的系數(shù)為零A0＝A1=0

，而基波奇函數(shù)分量的系數(shù)為：

ωty0π2πM第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一故理想繼電器特性的描述函數(shù)為

即N(A)的相位角為零度,幅值是輸入正弦信號(hào)A的函數(shù).請(qǐng)牢記！2.飽和特性

當(dāng)輸入為x(t)＝Asinωt，且A大于線性區(qū)寬度a時(shí)，飽和特性的輸出波形如圖7-10所示。

所以基波分量為：第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一yyxx000ππ2π2πM圖7-10飽和特性的輸出波形akψ1ωtωtψ1xyN第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

式中ψ1=arcsin(a/A)

由式（7-15）可得飽和特性的描述函數(shù)為顯然其輸出信號(hào)也是奇函數(shù)，因此A0＝A1=0

，而y0π2πωtψ1ka第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

由上式可見，飽和特性的N(A)也是輸入正弦信號(hào)幅值A(chǔ)的函數(shù)。這說明飽和特性等效于一個(gè)變系數(shù)的比例環(huán)節(jié)，當(dāng)A>a時(shí)，比例系數(shù)總小于k.

P255表7-1列出了常見的非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)N(A)以及相應(yīng)的負(fù)倒特性曲線-1/N(A)，供分析時(shí)參考。理想繼電特性，死區(qū)繼電特性，飽和特性，死區(qū)特性最好能記?。?/p>

7.2.3組合非線性特性的描述函數(shù)

以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對(duì)于復(fù)雜的非線性特性，完全可以利用這種方法求出其描述函數(shù)，但計(jì)算也復(fù)雜得多。此時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特性的描述函數(shù)。 第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一1．非線性特性的并聯(lián)計(jì)算

設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實(shí)數(shù)，如圖7-11所示。N1N2++x(t)y12(t)y1(t)

圖7-11兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)y11(t)

當(dāng)輸入為x(t)＝Asinωt時(shí)，則兩個(gè)環(huán)節(jié)輸出的基波分量分別為輸入信號(hào)乘以各自的描述函數(shù)，即

由此可見，若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當(dāng)N1和N2是復(fù)數(shù)時(shí)，該結(jié)論仍成立。第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

例7.1下圖為一個(gè)具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)N(A).

具有死區(qū)的非線性特性的并聯(lián)分解△△00Mkxy++xk0M△y第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一解：可見，該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器特性和一個(gè)典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為2．非線性特性的串聯(lián)計(jì)算

若兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)，如下圖所示，其總的描述函數(shù)不等于兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的乘積。N1N2xyNyxz第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。yz021k2=2xy10k=222-Δ2-Δ110k=2x22-Δ110k=2x22-Δ2yy10k1=1xz2

例7-2求圖7-12所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)N(A)。第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一解；這是一個(gè)死區(qū)特性和一個(gè)飽和特性相串聯(lián)。根據(jù)各串聯(lián)環(huán)節(jié)輸入輸出之間的關(guān)系，可以等效為一個(gè)死區(qū)加飽和的非線性特性。為求得這個(gè)等效非線性特性的描述函數(shù)，又可將其分解為兩個(gè)具有完全相同線性區(qū)斜率k=2和不同死區(qū)寬度死區(qū)特性的并聯(lián)相減，故總的描述函數(shù)為：第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一習(xí)題：1.求圖示3個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，并求其描述函數(shù)，其中M>h。0hM0M-M0M-Mh0M-M第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一2.圖示2個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性。0M-M0ab0aM第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一7.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)前面介紹了描述函數(shù)的定義及其求法。通過描述函數(shù)，一個(gè)非線性環(huán)節(jié)就可看作一個(gè)線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是就可進(jìn)一步應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法進(jìn)行分析。

這種利用描述函數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法稱為描述函數(shù)法，這種方法只能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。

第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

1非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

假設(shè)非線性元件和系統(tǒng)滿足7.2節(jié)所要求的描述函數(shù)法的應(yīng)用條件，則非線性環(huán)節(jié)可以用描述函數(shù)N(A)來表示，而線性部分可用傳遞函G(s)或頻率特性G(jω)表示，如圖7-15所示。圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)

-第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一式中，-1／N(A)稱作非線性特性的負(fù)倒描述函數(shù)。x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

通過對(duì)比會(huì)發(fā)現(xiàn):在線性系統(tǒng)分析中當(dāng)應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，若滿足G(jω)＝-1+j0，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)是等幅振蕩狀態(tài)。

顯然，式(7-29)中的-1/N(A)相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的(-1，j0)點(diǎn)。區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是一個(gè)點(diǎn)(-1，j0)。而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是-1/N(A)曲線。通常又將-1/N(A)曲線稱為負(fù)倒特性曲線。綜上所述，利用奈氏判據(jù)，可以得到非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別方法：首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(A)，然后在極坐標(biāo)圖上分別畫出線性部分的G(jω)曲線和非線性部分的-1/N(A)曲線，并假設(shè)G(s)的極點(diǎn)均在s左半平面，則線性系統(tǒng)閉環(huán)特征方程:1+G(jω)=0或G(jω)=-1非線性系統(tǒng)閉環(huán)特征方程:1+N(A)G(jω)=0或G(jω)=-1/N(A)式(7-29)第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

(1)若G(s)曲線不包圍-1/N(A)曲線，如圖7-16(a)所示，則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)若G(s)曲線包圍-1/N(A)曲線，如圖7-16(b)所示，則非線性系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

(3)若G(s)曲線與-1/N(A)曲線相交，如圖7-16(c)所示，則在理論上將產(chǎn)生等幅振蕩或稱為自振蕩。0ImG(jw)-1/N(A)Re0ReImG(jw)-1/N(A)Im0G(jw)-1/N(A)M1M2Re圖7-16非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析(a),(b),(c)第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一2自振蕩的分析與計(jì)算若G(jω)曲線與-1/N(A)曲線相交，則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩。下面從信號(hào)的角度進(jìn)一步分析自振蕩產(chǎn)生的條件。

在圖7-15所示非線性系統(tǒng)中，若產(chǎn)生自振蕩，則意味著系統(tǒng)中有一個(gè)正弦信號(hào)在流通，不妨設(shè)非線性環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)為x(t)=Asinωt

則非線性環(huán)節(jié)輸出信號(hào)基波分量為而線性部分的輸出信號(hào)為 x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)圖7-15非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

-G(jω)=-1/N(A)第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一0ImG(jw)-1/N(A)ReM2M1

自振蕩也存在一個(gè)穩(wěn)定性問題，因此必須進(jìn)一步研究自振蕩的穩(wěn)定性。

若系統(tǒng)受到擾動(dòng)偏離了原來周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態(tài)，稱為穩(wěn)定的自振蕩，反之，稱為不穩(wěn)定的自振蕩。判斷自振蕩的穩(wěn)定性可以從上述定義出發(fā)，采用擾動(dòng)分析的方法。第四十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

以上圖為例，G(jω)與-1/N(A)曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，說明存在兩個(gè)自振蕩點(diǎn)。對(duì)于M1點(diǎn)，若受到干擾使振幅A增大，則工作點(diǎn)將由點(diǎn)M1移至a點(diǎn)。由于此時(shí)a點(diǎn)不被曲線G(jω)包圍。系統(tǒng)穩(wěn)定，振蕩衰減，振幅A自動(dòng)減小，工作點(diǎn)將沿-1/N(A)曲線回到M1點(diǎn)。反之亦然，所以M1點(diǎn)是穩(wěn)定的自振蕩。同樣的方法可以分析點(diǎn)M2是不穩(wěn)定的振蕩點(diǎn)。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1第四十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

按照下述準(zhǔn)則來判斷自振蕩的穩(wěn)定性是極為簡便的：

在復(fù)平面上自振蕩點(diǎn)附近。當(dāng)按幅值A(chǔ)增大的方向沿-l/N(A)曲線移動(dòng)時(shí)，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，則該交點(diǎn)代表的是穩(wěn)定的自振蕩；反之，若沿-l/N(A)曲線振幅A增大的方向是從穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)，則該交點(diǎn)代表的是不穩(wěn)定的自振蕩。0ImG(jw)-1/N(A)adbcReM2M1第四十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期一

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