高中數(shù)學(xué)必修二知識點+例題+知識點

立體幾何知識點一、空間幾何體1.多面體：由若干個多邊形圍成的幾何體，叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面,相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱,棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.2.棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。兩個互相平行的面叫做底面,其余各面叫做側(cè)面.3.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。底面是正多邊形，且各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐叫做正棱錐。正棱錐的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形；頂點在底面上的射影是底面正多邊形的中心。4.棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺。由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺。正棱臺的性質(zhì)：各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是相似的正多邊形5.旋轉(zhuǎn)體：由一個平面圖形繞一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸，6.圓柱、圓錐、圓臺：分別以矩形的一邊、直角三角形的直角邊、直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺。圓柱、圓錐、圓臺的性質(zhì)：平行于底面的截面都是圓；過軸的截面(軸截面)分別是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形。注：在處理圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖問題時，經(jīng)常用到弧長公式7.球:以半圓的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做球面.球面所圍成的幾何體叫做球體(簡稱球)8.簡單空間圖形的三視圖：一個投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做俯視圖。一個投影面放置在正前方，這個投影面叫做直立投影面，投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做主視圖(正視圖)。和直立、水平兩個投影面都垂直的投影面叫做側(cè)立投影面，通常把這個平面放在直立投影面的右面，投影到這個平面內(nèi)的圖形叫做左視圖(側(cè)視圖)。三視圖的主視圖、俯視圖、左視圖分別是從物體的正前方、正上方、正左方看到的物體輪廓線的正投影圍成的平面圖形。（1）.三視圖畫法規(guī)則：高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊正視圖側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖1112寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等（2）.空間幾何體三視圖：正視圖（從前向后的正投影）；側(cè)視圖（從左向右的正投影）；俯視圖（從上向下正投影）．例題1.某四棱錐底面為直角梯形，一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的三視圖如右圖所示，則其體積為．例題2.右圖是底面為正方形的四棱錐，其中棱垂直于底面，它的三視圖正確的是（）[來源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K][來源:學(xué)_科_網(wǎng)]（3）.空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法特點：①斜二測坐標(biāo)系的軸與軸正方向成角；②原來與x軸平行的線段仍然與x平行,長度不變；=3\*GB3③原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半．常用結(jié)論：平面圖形面積與其斜二側(cè)直觀圖面積之比為：1．例．如果一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()．中點，則以下結(jié)論中不成立的是()A．B.C.D.例2.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A． B． C． D．練習(xí)：1.設(shè)直線與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是（）A．在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線垂直B．過直線有且只有一個平面與平面垂直C．與直線垂直的直線不可能與平面平行D．與直線平行的平面不可能與平面垂直2.設(shè)為兩條直線,為兩個平面,下列四個命題中，正確的命題是()A．若與所成的角相等，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則3.給出下列四個命題:=1\*GB3①垂直于同一直線的兩條直線互相平行.=2\*GB3②垂直于同一平面的兩個平面互相平行.=3\*GB3③若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.=4\*GB3④若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個數(shù)是（）(A)1(B)2(C)3(D)44.設(shè)為平面，為直線，則的一個充分條件是()(A) (B)(C) (D)5．設(shè)、是不同的直線,、、是不同的平面,有以下四個命題:①若則②若,,則③若,則④若,則其中真命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．②④ D．①③三、線線平行的判斷：（1）三角形中位線定理；（2）構(gòu)造平行四邊形，其對邊平行；（3）對應(yīng)線段成比例，兩直線平行；（4）平行于同一直線的兩直線平行；（平行的傳遞性）（5）如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行；（線面平行的性質(zhì)）（6）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，所得交線平行；（面面平行的性質(zhì)）（7）垂直于同一平面的兩直線平行；（線面垂直的性質(zhì)）線面平行的判斷：（1）如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。（2）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。A1ED1C1B1DCBA例A1ED1C1B1DCBA證明：連接交于，連接，∵為的中點，為的中點∴為三角形的中位線∴又在平面內(nèi)，在平面外∴平面。例2、（證明是平行四邊形）已知正方體，是底對角線的交點.求證：C1O∥面；證明：（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)∵是正方體是平行四邊形∴A1C1∥AC且又分別是的中點，∴O1C1∥AO且是平行四邊形面，面∴C1O∥面3、面面平行的判斷：（1）一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。（2）垂直于同一條直線的兩個平面平行。例4、如圖，在正方體中，、、分別是、、的中點.求證：平面∥平面.證明：∵、分別是、的中點，∥又平面，平面∥平面∵四邊形為平行四邊形，∥又平面，平面∥平面，平面∥平面練習(xí)：AFPDCB1、（利用三角形中位線）如圖,已知四棱錐的底面是菱形,平面,點為的中點.求證:平面;

AFPDCBDBCEB1C1AA12、（構(gòu)造平行四邊形）如圖,在三棱柱中,每個側(cè)面均為正方形,為底邊的中點,為側(cè)棱的中點，DBCEB1C1AA13、（線面平行的性質(zhì)）如圖，四面體A—BCD被一平面所截，截面EFGH是一個矩形.CABEHFCABEHFGD（1）證明：∵截面EFGH是一個矩形，∴EF∥GH，又GH平面BCD.∴EF∥面BCD，而EF面ACD，面ACD∩面BCD=CD.∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH.4．（對應(yīng)線段成比例，兩直線平行，面面平行得到線面平行）如下圖，設(shè)P為長方形ABCD所在平面外一點，M、N分別為AB、PD上的點，且=，求證：直線MN∥平面PBC。分析：要證直線MN∥平面PBC，只需證明MN∥平面PBC內(nèi)的一條直線或MN所在的某個平面∥平面PBC證法一：過N作NR∥DC交PC于點R，連結(jié)RB，依題意得====NR=MB∵NR∥DC∥AB，∴四邊形MNRB是平行四邊形∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直線MN∥平面PBC證法二：過N作NQ∥AD交PA于點Q，連結(jié)QM，∵==，∴QM∥PB又NQ∥AD∥BC，∴平面MQN∥平面PBC∴直線MN∥平面PBC（第1題圖）5、（中位線定理、平行四邊形）如圖，四棱錐P－ABCD的底面是平行四邊形，點E、F分別為棱AB、PD的中點．求證：AF∥平面（第1題圖）分析：取PC的中點G，連EG.，F(xiàn)G，則易證AEGF是平行四邊形6、（平行的傳遞性）已知正方體ABCD-A`B`C`D`中，E，F(xiàn)分別是A`B`，B`C`的中點。求證：EF∥面AD`C。AABCDA`B`C`D`EF四、立體幾何垂直總結(jié)1、線線垂直的判斷： 線面垂直的定義：若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。2、線面垂直的判斷：（1）如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。（2）如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。（3）一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。（4）如果兩個平面垂直，那么在—個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另—個平面。3、面面垂直的判斷：一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。證明線線垂直的常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三線合一）如圖，已知空間四邊形中，，是的中點。求證：（1）平面CDE;（2）平面平面。AEDBC證明：（1）同理，又∵∴平面（2）由（1）有平面又∵平面，∴平面平面例2、（菱形的對角線互相垂直、等腰三角形三線合一）已知四棱錐的底面是菱形．，為的中點．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：平面平面．例3、(線線、線面垂直相互轉(zhuǎn)化)已知中,面,,求證：面．證明：°又面面又面圖2例4、(直徑所對的圓周角為直角)如圖2所示，已知垂直于圓O在平面，是圓O的直徑，是圓O的圓周上異于、的任意一點，且，點是線段的中點.求證：平面.圖2證明：∵所在平面，是的弦，∴.又∵是的直徑，是直徑所對的圓周角，∴.∵平面，平面.∴平面，平面，∴.∵，點是線段的中點.∴.∵,平面，平面.∴平面.例5、（證明所成角為直角）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.求證：BD⊥平面AED；證明因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.例6、（勾股定理的逆定理）如圖7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點．求證：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.例7、（三垂線定理）證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D證明：連結(jié)AC∴AC為A1C在平面AC上的射影練習(xí)；1、如圖在三棱錐P—ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上.證明：AP⊥BC；2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝eq\f(1,2)AA1，D是棱AA1的中點，DC1⊥BD.證明：DC1⊥BC。3．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求證：AB⊥DE；(2)求三棱錐EABD的側(cè)面積．4、在正三棱柱中，若AB=2，，求點A到平面的距離。5、如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底面，E、F分別是AB、PC的中點，PA＝AD.求證：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.五、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)(時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，不存在。②過兩點的直線的斜率公式：注意下面四點：(1)當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程①點斜式：直線斜率k，且過點注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：（）直線兩點，④截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。⑤一般式：（A，B不全為0）注意：1各式的適用范圍2特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）；（4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數(shù)）的直線系：（C為常數(shù)）（二）過定點的直線系（?。┬甭蕿閗的直線系：，直線過定點；（ⅱ）過兩條直線，的交點的直線系方程為（為參數(shù)），其中直線不在直線系中。（5）兩直線平行與垂直當(dāng)，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（6）兩條直線的交點相交交點坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數(shù)解與重合（7）兩點間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，則（8）點到直線距離公式：一點到直線的距離（9）兩平行直線距離公式：在任一直線上任取一點，再轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解。六、圓的方程1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當(dāng)時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當(dāng)時，表示一個點；當(dāng)時，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；（2）設(shè)直線，圓，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標(biāo)，r表示半徑。(3)過圓上一點的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(課本命題)．②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設(shè)圓，兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng)時兩圓外離，此時有公切線四條；當(dāng)時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；當(dāng)時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；當(dāng)時，兩圓內(nèi)含