【高中數(shù)學(xué)】概率的基本性質(zhì) 課件 2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

1.事件的概率：對隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量

其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).3.古典概型概率計(jì)算公式：（1）明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆柋硎驹囼?yàn)的可能結(jié)果;（2）根據(jù)實(shí)際問題情境判斷樣本點(diǎn)的等可能性;（3）計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率.4.求解古典概型問題的一般思路:2.古典概型:

(1)有限性;(2)等可能性.一般而言，給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對象的性質(zhì).例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概率的定義后，我們來研究概率的基本性質(zhì).概率的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解概率的基本性質(zhì).2.掌握利用互斥事件和對立事件的概率公式解決與古典概型有關(guān)的問題.下面我們從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，例如概率的取值范圍；特殊事件的概率；事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系；等等.你認(rèn)為可以從哪些角度研究概率的性質(zhì)?(1)概率的取值范圍(2)特殊事件的概率性質(zhì)1對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1,P(Ω)=1，不可能事件的概率為0，即P(Φ)=0.概率的性質(zhì)：從以下試驗(yàn)?zāi)惆l(fā)現(xiàn)概率具有哪些特點(diǎn)？

試驗(yàn)1：一個(gè)星期有7天；

試驗(yàn)2：4月份有31天；

試驗(yàn)3：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上的事件.由以上試驗(yàn)，由概率的定義都可知：任何事件的概率都是非負(fù)的；在每次試驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生.在“事件的關(guān)系和運(yùn)算”中我們研究過事件之間的某些關(guān)系。具有這些關(guān)系的事件，它們的概率之間會(huì)有什么關(guān)系呢?例如設(shè)事件A與事件B互斥，那么和事件A∪B的概率與事件A、B的概率之間具有怎樣的關(guān)系?因?yàn)閚(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=2+2=4，所以例6一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球，其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號為1和2)，2個(gè)綠色球(標(biāo)號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”.事件R與事件G互斥，R∪G=“兩次摸到球顏色相同”.P(R)+P(G)==P(R∪G)下面我們用10.1.2節(jié)例6來探究此問題.即P(R)+P(G)=P(R∪G)概率的性質(zhì)：性質(zhì)3如果事件A與事件B互斥，那么

P(A∪B)=P(A)+P(B).(或P(A+B)=P(A)+P(B))

事實(shí)上，若事件A與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，則n(A∪B)=n(A)+n(B)，這就等價(jià)于P(A∪B)=P(A)+P(B)，即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和.所以我們就得到互斥事件的概率加法公式.推論如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

因?yàn)槭录嗀和事件B互為對立事件，所以和事件A∪B是必然事件，則P(A∪B)=1.由性質(zhì)3，得1=P(A∪B)=P(A)+P(B).練習(xí)甲、乙兩人下棋，甲輸?shù)母怕适?.6，兩人下成平局的概率是0.3.求甲獲勝的概率？解：“甲獲勝”是“甲輸或和棋”的對立事件，因?yàn)椤昂推濉迸c“甲輸”是互斥事件，所以甲獲勝的概率為：1-(0.6+0.3)=0.1探究若事件A和事件B互為對立事件，則它們的概率有什么關(guān)系?性質(zhì)4

如果事件A與事件B互為對立事件，那么

P(B)＝1－P(A)，P(A)=1－P(B).即P(A)+P(B)=1.

一般地，對于事件A與事件B，如果A?B，即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過事件B的概率.于是我們有概率的單調(diào)性：所以對于任意事件A，有0≤P(A)≤1.思考

在古典概型中，對于事件A與事件B，如果A?B，那么P(A)與P(B)有什么關(guān)系？如果A?B，則n(A)≤n(B)，所以即P(A)≤P(B).對于任意事件A，P(A)的取值范圍為多少？因?yàn)??A?Ω，所以P(?)≤P(A)≤P(Ω)，即0≤P(A)≤1.性質(zhì)5(概率的單調(diào)性)

如果A?B，那么P(A)≤P(B)性質(zhì)6

設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則有

P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(A∩B).

或者P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).這是因?yàn)镽1∩R2={(1,2),(2,1)}≠?，即事件R1和R2不互斥.因?yàn)閚(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，所以P(R1)+P(R2)=P(R1∪R2)=所以P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1∩R2).由于P(R1∩R2)=思考：在10.1.2節(jié)例6的摸球試驗(yàn)中，R1=“第一次摸到紅球”，R2=“第二次摸到紅球”,“兩個(gè)球中有紅球”=R1∪R2,那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)相等嗎?如果不相等，請你說明原因，并思考如何計(jì)算P(R1∪R2).性質(zhì)1

對任意的事件A，都有P(A)≥0.性質(zhì)2必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)=1，P(?)=0.性質(zhì)3

如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性質(zhì)4

如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即P(A)+P(B)=1.性質(zhì)5如果A?B,那么P(A)≤P(B).性質(zhì)6設(shè)A、B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

(或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).)推論

如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).對任意事件A,有P(A)∈[0,1].概率的性質(zhì)：例11

從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件A=“抽到紅心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么（1）C=“抽到紅花色”，求P(C);（2）D=“抽到黑花色”，求P(D).（2）∵C與D互斥.又∵C∪D是必然事件，

∴C與D互為對立事件.

因此，P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.解：（1）

∵

C=A∪B,且A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，∴A與B是互斥事件.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，

得P(C)=P(A)＋P(B)=0.25＋0.25=0.5反思與感悟：利用互斥（或?qū)α⑹录┑母怕使角蠼鈺r(shí)，必須準(zhǔn)確判斷兩個(gè)事件確實(shí)是互斥（或?qū)αⅲ┦录r(shí)才能應(yīng)用.例12

為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少？因?yàn)锳1A2、、兩兩互斥，所以P(A)=P(A1A2)+P(

)+P(

).2×1=22×4=8可能結(jié)果數(shù)不中獎(jiǎng)中獎(jiǎng)4×2=84×3=12不中獎(jiǎng)中獎(jiǎng)中獎(jiǎng)不中獎(jiǎng)241423第一罐第二罐借助樹狀圖來求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù).解1：設(shè)事件A=“中獎(jiǎng)”，事件A1=“第一罐中獎(jiǎng)”，事件A2=“第二罐中獎(jiǎng)”，那么事件AlA2=“兩罐都中獎(jiǎng)”，=“第一罐中獎(jiǎng),第二罐不中獎(jiǎng)”,=“第一罐不中獎(jiǎng),第二罐中獎(jiǎng)”，且A=A1A2∪∪.因?yàn)閚(A1A2)=2,n()=8,n()=8，可以得到，n(Ω)=6×5=30.P(A)=所以所以從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為事件A的對立事件是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”.由于=“兩罐都不中獎(jiǎng)”，而n()=4×3=12，所以P(A)=1-P()=正難則反解2：所以從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為你還有另外方法求解此題嗎？反思與感悟：求某些較復(fù)雜事件的概率，通常有兩種方法：將所求事件的概率轉(zhuǎn)化成一些彼此互斥的事件的概率的和；先求此事件的對立事件的概率，再用公式求此事件的概率.這兩種方法可使復(fù)雜事件概率的計(jì)算得到簡化.例12

為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少？

此解法說明什么？解3：設(shè)不中獎(jiǎng)的4罐記為1,2,3,4,中獎(jiǎng)的2罐記為a,b，隨機(jī)抽2罐中有一罐中獎(jiǎng)，就表示能中獎(jiǎng)，其樣本空間為：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,a)，(1,b)，(2,3)，(2,4)，(2,a)，(2,b)，

(3,4)，(3,a)，(3,b)，

(4,a)，(4,b)，

(a,b).共15個(gè)樣本點(diǎn).而中獎(jiǎng)的樣本點(diǎn)有9個(gè)，所以能中獎(jiǎng)的概率P=9/15=0.6.上述解法沒有考慮順序，其結(jié)果是一樣的.互斥事件、對立事件概率的求解方法：（1）互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．（2）對于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率就是這些簡單事件的概率的和．（3）當(dāng)求解的問題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語時(shí)，常常考慮其反面，通過求其反面，然后轉(zhuǎn)化為所求問題．

【注意】有限個(gè)彼此互斥事件的和的概率，等于這些事件的概率的和，即

.

規(guī)律方法：1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.

(1)如果B?A，那么P(A∪B)=_____，P(AB)=______;

(2)如果A,B互斥，那么P(A∪B)=_____，P(AB)=_____.0.50.30.802.指出下列表述中的錯(cuò)誤:

(1)某地區(qū)明天下雨的概率為0.4，明天不下雨的概率為0.5;

(2)如果事件A與事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1.解：(1)因?yàn)槊魈煜掠昱c明天不下雨是對立事件,且明天下雨的概率為0.4,所以明天不下雨的概率為0.6.

(2)因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，但不一定不對立，所以不一定有P(A)+P(B)=1.課本練習(xí)3.在學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)開幕式上，100名學(xué)生組成一個(gè)方陣進(jìn)行表演，他們按照性別(M(男)、F(女))及年級(G1(高一)、G2(高二)、G3(高三))分類統(tǒng)計(jì)的人數(shù)如下表:若從這100名學(xué)生中隨機(jī)選一名學(xué)生，求下列概率:P(M)=_