橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（借鑒5篇）

第第頁橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（優(yōu)秀5篇）

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程篇一

一、教材內(nèi)容分析

本節(jié)是整個解析幾何部分的重要基礎(chǔ)知識。這一節(jié)課是在《直線和圓的方程》的基礎(chǔ)上，將研究曲線的方法拓展到橢圓，又是繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，同時還為后面學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線作好準(zhǔn)備。它的學(xué)習(xí)方法對整個這一章具有導(dǎo)向和引領(lǐng)作用，所以橢圓是學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何由淺入深的一個臺階，它在整章中具有承前起后的作用。

二、學(xué)情分析

高中二年級學(xué)生正值身心發(fā)展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應(yīng)知識基礎(chǔ)，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經(jīng)驗型，運算能力不是很強，有待于訓(xùn)練。

基于上述分析，我采取的是“創(chuàng)設(shè)問題情景自主探索研究結(jié)論應(yīng)用鞏固”的一種研究性教學(xué)方法，教學(xué)中采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學(xué)習(xí)，形成師生互動的教學(xué)氛圍。使學(xué)生真正成為課堂的主體。

三、設(shè)計思想

1、把章頭圖和引言用微機以影像、錄音和圖片的形式給出，生動體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的實用性；

2、進(jìn)行分組實驗，讓學(xué)生親自動手，體驗知識的發(fā)生過程，并培養(yǎng)團(tuán)隊協(xié)作精神；

3、利用《幾何畫板》進(jìn)行動態(tài)演示，增加直觀性；

四、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能目標(biāo)：

理解橢圓定義、掌握標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。

2、過程與方法目標(biāo)：注重數(shù)形結(jié)合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法，注重探索能力的培養(yǎng)。

3、情感、態(tài)度和價值觀目標(biāo)：

(1)探究方法激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

(2)進(jìn)行數(shù)學(xué)美育的滲透，用哲學(xué)的觀點指導(dǎo)學(xué)習(xí)。

五、教學(xué)的重點和難點

教學(xué)重點：橢圓定義的理解及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

教學(xué)難點：標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

四、說教學(xué)過程

（一）、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課。（3分鐘)

1、利用微機放映“彗星運行”資料片，引入課題——橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

2、提問：同學(xué)們在日常生活中都見過哪些帶有橢圓形狀的物體？對學(xué)生的回答進(jìn)行篩選，并利用微機放映幾個例子的圖片。

設(shè)計意圖：通過觀看影音資料，一方面使學(xué)生簡單了解橢圓的實際應(yīng)用，另一方面產(chǎn)生問題意識，對研究橢圓產(chǎn)生心理期待。通過圖片、實物，吸引學(xué)生的注意力，提高參與程度，為后續(xù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和參與熱情。

（二）、動畫演示，探索研究(15分鐘）

引導(dǎo)學(xué)生互相配合利用細(xì)繩和鉛筆動手畫橢圓，通過巡視找出作圖比較規(guī)范的同學(xué)用細(xì)繩和粉筆演示。再根據(jù)多媒體規(guī)范演示橢圓的形成過程。根據(jù)作圖過程，讓學(xué)生思考：軌跡為橢圓需滿足的條件，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)橢圓定義。

設(shè)計意圖：注重概念形成過程，通過讓合作交流，思考問題；讓學(xué)生都積極地參與到學(xué)習(xí)中來，體現(xiàn)學(xué)生主體意識，開動大腦，訓(xùn)練思維。使知識從感性認(rèn)識自然過渡到理性認(rèn)識，增強了他們的集體凝聚，樹立團(tuán)隊意識，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括能力。

定義：設(shè)問：（1）、為什么強調(diào)“平面內(nèi)”？（2）、對常數(shù)有什么限制？

（3）、常數(shù)的取值不同時，軌跡如何變化？

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生動手實踐能力，通過分組討論提高發(fā)現(xiàn)問題的能力和提煉總結(jié)能力。在給出定義后，通過設(shè)問讓學(xué)生加深對橢圓定義中的關(guān)鍵詞匯的理解，進(jìn)一步強化橢圓定義，真正使學(xué)生理解定義的內(nèi)涵和外延。

（三）、構(gòu)建方程，探索新知（10分鐘）

探索方程這一部分，采用自主、合作方式，引導(dǎo)學(xué)生從方程思想、建系思想、等價換元等不同的角度分析歸納，并將.本文1mi本文.net小組討論出的較為優(yōu)秀成果展示出來，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的團(tuán)隊意識，也體驗了數(shù)學(xué)思維的條理性和系統(tǒng)性。

1、根據(jù)求曲線方程的一般步驟建立橢圓方程：

（1）、建系設(shè)點；（2）、列方程（3）、化簡方程；（4）、等價轉(zhuǎn)化；

設(shè)問：怎樣選取坐標(biāo)系？怎樣化簡含有兩個根式的方程？③為什么要引入b？

2、推導(dǎo)得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(ab0)或(ab0)

設(shè)問：①兩種方程有何異同？②怎樣根據(jù)條件確定焦點的位置？

設(shè)計意圖：1、通過方程的推導(dǎo)，學(xué)會建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，構(gòu)造數(shù)與形的橋梁，學(xué)會用解析的方法來解決問題，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、探究、研究能力；

2、設(shè)置問題，引導(dǎo)學(xué)生自立思考、使之成為知識的發(fā)現(xiàn)者；

3、鼓勵學(xué)生富于個性化的理解和表達(dá)。

(四)、操作演練、拓展思維（5分鐘）

例題：求適合下列條件的橢圓的方程：

①、兩個焦點的坐標(biāo)分別是(-4,0)、(4,0)，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等于10。

②、兩個焦點的坐標(biāo)分別是(0,-4)、(0,4)，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等于10。

③、焦距為8，橢圓上一點p到兩焦點距離的和等于10。

設(shè)計意圖：學(xué)以致用，運用研究成果解決問題，并通過變式訓(xùn)練，質(zhì)疑討論、師生互動，培養(yǎng)學(xué)生樂于動手、勇于實踐的能力。通過變式訓(xùn)練來強化概念，開拓學(xué)生的思維，訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。深化知識點的掌握，突出重點、難點。

練習(xí)1：已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，m為橢圓上的一點，m到一個焦點的距離是3，則它到另一個焦點的距離等于。

練習(xí)2：下列各組橢圓中，其焦點相同的是：()

a、與b、與

c、與d、與

練習(xí)3：已知橢圓，、是它的焦點，ab是過的直線被橢圓截得的線段長，求△的周長。

練習(xí)4：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點坐標(biāo)為(0,-4)、(0,4)，a=5;

(2)焦點在x軸上，焦距等于4,并且經(jīng)過點p(3,-2);

設(shè)計意圖：練習(xí)一是填空題，設(shè)計此題的目的讓學(xué)生加深對橢圓的定義的理解，以便更好的夯實基礎(chǔ)知識；練習(xí)二是選擇題，融入相對練習(xí)一較多的知識點，滲透類比思想，讓學(xué)生從不同的角度分析、補充，強化學(xué)生的發(fā)散思維、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識；練習(xí)三、四則是練習(xí)一與二的有機綜合，充分滲透數(shù)形結(jié)合思想，較好的提高了學(xué)生的綜合能力，從中感受數(shù)學(xué)的魅力。也為下一節(jié)課的進(jìn)一步提高作了鋪墊。

（五）課堂總結(jié)，完善認(rèn)知（1分鐘)

一個概念：橢圓：

二個方程：；；

三個意識：求美意識；求簡意識；猜想的意識。

四個思想：數(shù)形結(jié)合、類比、方程、轉(zhuǎn)化與化歸

設(shè)計意圖：培養(yǎng)歸納、概括能力，并鞏固研究成果。同時，通過小結(jié)，使學(xué)生理清這節(jié)課的重難點，深化對基本概念，基本理論的理解，同時培養(yǎng)學(xué)生宏觀掌握知識的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

（六）布置作業(yè)，鞏固提高：

1、教材96頁——習(xí)題8.1第3、4題

2、課后實踐操作題：一束光線垂直于一個墻面，將一圓形紙板置于光源與墻面之間，墻面上會出現(xiàn)紙板的影子，變化紙板與光線的角度，觀察影子會出現(xiàn)哪些不同的形狀？

設(shè)計意圖：使學(xué)生探究、思考、實踐的過程延伸到課后。體現(xiàn)分層教學(xué)的思想，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使各層次的學(xué)生都找到各自的學(xué)習(xí)區(qū)，進(jìn)一步完善教學(xué)目標(biāo)的實現(xiàn)。

（七）板書設(shè)計

8.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、橢圓的定義

2、有關(guān)概念

3、標(biāo)準(zhǔn)方程

（1）焦點在軸上

（2）焦點在軸上

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程書寫

例1：（寫要點）

變式1：（寫要點）

變式2：

（1）詳寫

（2）寫關(guān)鍵步驟

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程篇二

【考試要求】掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，理解橢圓的參數(shù)方程。【學(xué)習(xí)重點】1、橢圓的兩個定義及離心率，準(zhǔn)線與a，b，c三個量之間的關(guān)系；2、橢圓方程的求解，定義靈活運用?！緦W(xué)習(xí)難點】橢圓方程的求解，定義靈活運用?！靖呖硷L(fēng)向標(biāo)】橢圓是一種重要的圓錐曲線，因而是高考命題的熱點之一。常與平面幾何、三角函數(shù)、向量等以及實際問題相聯(lián)系來考查橢圓的概念和性質(zhì)，定值、最值、取值范圍等問題將會有所加強，計算要求將有所降低，參數(shù)方程可能在考查其他內(nèi)容時附帶考查，一般不會單獨命題?！局R整合】1、橢圓的定義：(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個定點f1、f2的距離的等于常數(shù)()的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點f1、f2叫做,定點間的距離叫做.①當(dāng)時，點p的軌跡是線段;②當(dāng)時，點p的軌跡不存在。(2)第二定義：平面內(nèi)動點p到定點f的距離和它到定直線的距離的是常數(shù)()的點的軌跡是橢圓。定點f是,定直線是,常數(shù)e是2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓焦點的位置

方程的形式

焦點在x軸上

焦點在y軸上

其中：①焦距為2c，則a，b，c關(guān)系為a最大且a2=；②由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點位置或由焦點位置選橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式的方法是；當(dāng)橢圓是標(biāo)準(zhǔn)方程，但焦點位置不確定時，可應(yīng)用分類討論法解答，也可設(shè)其方程為或③求橢圓方程的基本步驟是：（六個字概括）3、橢圓+=1（a＞b＞0）的參數(shù)方程為（）4、點p(x0,y0)在橢圓+=1（a＞b＞0）的上;點p(x0,y0)在橢圓+=1（a＞b＞0）的內(nèi)部;點p(x0,y0)在橢圓+=1（a＞b＞0）的外部.【基礎(chǔ)練習(xí)】（1）已知f1（-1，0），f2（1，0），滿足|pf1|+|pf2|=2的點p的軌跡為；若|pf1|+|pf2|=2時，點p的軌跡為（2）f1，f2是橢圓的兩個焦點，橢圓上任一點到f1，f2的距離和為常數(shù)2a，過f1的直線交橢圓于c、d兩點，則△cdf2的周長為（3）(課本題)已知b、c是兩個定點，|bc|=6,且△abc的周長等于16,則頂點a的軌跡方程（4）設(shè)m是橢圓+=1上的點，f1，f2是焦點，∠f1mf2=300，則=（5）平面內(nèi)與定點f（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1：2，則點p的軌跡方程是，軌跡是變式1：若將“1：2”改為“1：3”呢？變式2：若將“f（2，0）”改為“f（1，0）”呢？【典型例題】例1(課本題)求適合下列條件的橢圓的方程：(1)長軸是短軸的2倍，且一條準(zhǔn)線方程為x=-4;(2)離心率等于0.8,焦距是8;(3)過點m(-2,)和n(1,)的橢圓方程。

平行題：以短軸的一個端點和兩焦點為頂點的三角形為正三角形，且焦點到橢圓的最短距離為

例2、(1)△abc的一邊bc在x軸上，b、c的中點在原點，|bc|=16，ab和ac兩邊中線長的和為30，求△abc的重心g的軌跡方程。(2)求過點a(2,0)且與圓x2+4x+y2-32=0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程。平行題：(1)(課本題)已知△abc的兩個頂點a、b的坐標(biāo)分別是(-6,0)、(6,0),邊ac、bc所在直線的斜率之積等于-,求頂點c的軌跡方程(2)動圓c和定圓c1:x2+(y-4)2=64內(nèi)切而和定圓c2:x2+(y+4)2=4外切，求動圓圓心的軌跡方程例3、已知點a(1,1),f1是橢圓5x2+9y2=45的左焦點，點p是橢圓上的動點，求：|pf1|+|pa|的最小值和|pf1|+|pa|的最大值平行題：已知點a(-2,),點f為橢圓+=1的右焦點，點m在橢圓上移動，求|am|+2|mf|的最小值，并求此時點m的坐標(biāo)?！眷柟叹毩?xí)】1、（01全國）若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為f1(1,0),f2(3,0),則其離心率為()a.b.c.d.2、已知為定直線，f為定點，點f不在上，則以f為焦點，為對應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓有()a.1個b.2個c.1個或2個d.無窮多個3、曲線c1:+=1與c2:+=1(k9)有相同的（）a。長軸b。準(zhǔn)線c。焦點d。離心率4、點p在橢圓7x2+4y2=28上，則點p到直線3x-2y-16=0的距離的最大值為()a.b.c.d.5、設(shè)p是橢圓+=1上一點，p到兩焦點f1、f2的距離之差為2,則△pf1f2是()三角形a.銳角b.直角c.鈍角d.等腰直角6、若橢圓+=1的離心率為e=,則m的值為7、已知點p在橢圓4x2+y2=4上，則x+y的取值范圍為8、和橢圓9x2+4y2=36有相同的焦點，且經(jīng)過q(2,-3)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是9、(課本題)點m與橢圓+=1的左焦點和右焦點的距離的比為2:3,點m的軌跡方程;10、(課本題)點p是橢圓+=1上一點，以點p以及焦點f1、f2為頂點的三角形的面積等于1,則點p的坐標(biāo)為

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程篇三

我說課的題目是全日制普通高級中學(xué)教科書（試驗修訂本。必修）《數(shù)學(xué)》第二冊、第八章《圓錐曲線》、第一節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》。

一、概說：

1、教材分析：

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程是圓錐曲線的基礎(chǔ)，它的學(xué)習(xí)方法對整個這一章具有導(dǎo)向和引領(lǐng)作用，直接影響其他圓錐曲線的學(xué)習(xí)。是后繼學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和范示。同時，也是求曲線方程的深化和鞏固。

2、教學(xué)分析：

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程是培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、概括、推理和探索能力的極好素材。本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)情景、動手操作、總結(jié)歸納，應(yīng)用提升等探究性活動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神和實踐能力，使學(xué)生掌握坐標(biāo)法的規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)學(xué)科研究的基本過程與方法。

3、學(xué)生分析：

高中二年級學(xué)生正值身心發(fā)展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應(yīng)知識基礎(chǔ)，所以他們樂于探索、敢于探究。但高中生的邏輯思維能力尚屬經(jīng)驗型，運算能力不是很強，有待于訓(xùn)練。

基于上述分析，我采取的是教學(xué)方法是“問題誘導(dǎo)--啟發(fā)討論--探索結(jié)果”以及“直觀觀察--歸納抽象--總結(jié)規(guī)律”的一種研究性教學(xué)方法，注重“引、思、探、練”的結(jié)合。

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學(xué)習(xí)，形成師生互動的教學(xué)氛圍。

我設(shè)定的教學(xué)重點是：橢圓定義的理解及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

教學(xué)難點是：標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

二、目標(biāo)說明：

根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱要求確立“三位一體”的教學(xué)目標(biāo)。

1、知識與技能目標(biāo)：

理解橢圓定義、掌握標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。

2、過程與方法目標(biāo)：注重數(shù)形結(jié)合，掌握解析法研究幾何問題的一般方法，注重探索能力的培養(yǎng)。

3、情感、態(tài)度和價值觀目標(biāo)：

(1)探究方法激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣。

(2)進(jìn)行數(shù)學(xué)美育的滲透，用哲學(xué)的觀點指導(dǎo)學(xué)習(xí)。

三、過程說明：

依據(jù)“一個為本，四個調(diào)整”的新的教學(xué)理念和上述教學(xué)目標(biāo)設(shè)計教學(xué)過程?！耙詫W(xué)生發(fā)展為本，新型的師生關(guān)系、新型的教學(xué)目標(biāo)、新型的教學(xué)方式、新型的呈現(xiàn)方式”體現(xiàn)如下：

（一）對教材的重組與拓展：根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，選擇教學(xué)內(nèi)容，遵循拓展、開放、綜合的原則。教材中對橢圓定義盡管很嚴(yán)密，但不夠直觀，所以增加了影音文件：海爾波譜彗星的運行軌道圖，最后，讓學(xué)生交流用幾何畫板畫橢圓以及5個探究性問題，作為對教材的拓展。

（二）在教學(xué)過程中的體現(xiàn)：

1、新課導(dǎo)入：以影音文件“海爾波譜彗星的運行軌道示意圖”導(dǎo)入，呈現(xiàn)方式具有新異性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；畫板畫圖，增強動手操作意識，直觀形象從而引入橢圓定義，進(jìn)而研究橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

2、新課呈現(xiàn)：

學(xué)生通過觀看文件、動手操作，然后自己總結(jié)橢圓定義，符合從感性上升為理性的認(rèn)知規(guī)律，而且提升了抽象概括的能力。然后，進(jìn)行推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)運算能力，進(jìn)而探討標(biāo)準(zhǔn)方程的特點。教師作為熱烈討論的平等氛圍中的引導(dǎo)者，鼓勵學(xué)生大膽探究、勇于創(chuàng)新，積極談?wù)摵蛥⑴c體驗，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S，抽象概括的能力，滲透數(shù)學(xué)美學(xué)教育，掌握數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想，最后的幾個探究性問題鼓勵學(xué)生積極探索，敢于探究，轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式。

3、鞏固應(yīng)用

根據(jù)定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)計三組九道練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系、思考、討論、反饋、矯正，增強運用能力。

4、繼續(xù)探究：

（1）觀察橢圓形狀，不同原因在哪里；

（2）改變繩長或變換焦點位置再畫橢圓，發(fā)現(xiàn)關(guān)系；

（3）用幾何畫板交流畫圖，觀察形狀變化；

（4）如何描述形狀變化？

引導(dǎo)學(xué)生探究欲望，開展研究性學(xué)習(xí)。

四、評價說明：

本節(jié)課的學(xué)生評價堅持形成性評價和階段性評價相結(jié)合的原則。

（一）形成性評價：從操作能力、概括能力、學(xué)習(xí)興趣、交流合作、情緒情感方面對學(xué)習(xí)效果進(jìn)行過程評價。對出現(xiàn)問題的學(xué)生，教師指出其可取之處并耐心引導(dǎo)，這樣有助于培養(yǎng)他們勇于面對挫折，持之以恒地科學(xué)探索精神；當(dāng)學(xué)生做的精彩有創(chuàng)新，教師給予學(xué)生充分的鼓勵，從而進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造的潛能，提高他們的創(chuàng)新能力。

（二）階段性評價：從單元測試、期中測試等方面對學(xué)生的階段性學(xué)習(xí)成果進(jìn)行測試。評價結(jié)果以每次測試成績和學(xué)生平時的綜合表現(xiàn)為依據(jù)。同時要進(jìn)行學(xué)生的自我評價以及教師對行動的綜合性評價。

（三）教師自我反思評價：本課充分體現(xiàn)了“一個為本，四個調(diào)整”的新課程理念。

五、說課總結(jié)：

這節(jié)課使用計算機網(wǎng)絡(luò)技術(shù)，展現(xiàn)知識的發(fā)生過程，是學(xué)生始終處于問題探索研究狀態(tài)之中，激情引趣。注重數(shù)學(xué)科學(xué)研究方法的掌握，是研究性教學(xué)的一次有益嘗試。有利于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，有利于學(xué)生自主探究，有利于學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng)。

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程篇四

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程；

2.能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3.通過對橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；

4.通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力；

5.通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識。

教學(xué)建議

教材分析

1.知識結(jié)構(gòu)

2.重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式。難點是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)。關(guān)鍵是掌握建立坐標(biāo)系與根式化簡的方法。

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用。先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然。學(xué)好橢圓對于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線是非常重要的。

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來理解。

另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于.這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當(dāng)常數(shù)等于時軌跡是一條線段；當(dāng)常數(shù)小于時無軌跡”。這樣有利于集中精力進(jìn)一步研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準(zhǔn)確性。

（2）根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標(biāo)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，是求曲線方程首先應(yīng)該注意的地方。應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標(biāo)系的兩軸，不但可以使方程的推導(dǎo)過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔。

②設(shè)橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導(dǎo)過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會。

③在方程的推導(dǎo)過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學(xué)生的難點。要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側(cè)，把其他項移至另一側(cè)；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項。

④教科書上對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，實際上只給出了“橢圓上點的坐標(biāo)都適合方程“而沒有證明，”方程的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上”。這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學(xué)們不作要求。

（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在軸上，軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，.它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，.不同點是：兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不同。

橢圓的焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大；

橢圓的焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大。

另外，形如中，只要，，同號，就是橢圓方程，它可以化為.

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法。例3有三個作用：第一是教給學(xué)生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學(xué)生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓。

教法建議

（1）使學(xué)生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學(xué)生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學(xué)生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關(guān)，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的。

（2）安排學(xué)生課下切割圓錐形的事物，使學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學(xué)時應(yīng)安排讓學(xué)生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認(rèn)識。

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學(xué)生從感性認(rèn)識入手，逐步上升到理性認(rèn)識，形成正確的概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在地面上的影子等等，讓學(xué)生先對橢圓有一個直觀的了解。

教師可事先準(zhǔn)備好一根細(xì)線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義之前，教師先在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離小于細(xì)線的長度），再讓兩名學(xué)生按教師的要求在黑板上畫一個橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個定點（兩定點之間的距離大于細(xì)線的長度），然后再請剛才兩名學(xué)生按同樣的要求作圖。學(xué)生通過觀察兩次作圖的過程，總結(jié)出經(jīng)驗和教訓(xùn)，教師因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生自己得出橢圓的嚴(yán)格的定義。這樣，學(xué)生對這一定義就會有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實質(zhì)

在教學(xué)時，可以設(shè)置幾個問題，讓學(xué)生動手動腦，自立思考，自主探索，使學(xué)生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實驗、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學(xué)過程中，可以提出“到兩定點的距離的和為定值的點的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學(xué)生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內(nèi)涵，這樣就使得學(xué)生對橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系

在講解橢圓的定義時，就要啟發(fā)學(xué)生注意橢圓的圖形特征，一般學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，這樣在建立坐標(biāo)系時，學(xué)生就比較容易選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系了，即使焦點在坐標(biāo)軸上，對稱中心是原點（此時不要過多的研究幾何性質(zhì)）.雖然這時學(xué)生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標(biāo)系，但在有了一定感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上再講解選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的一般原則，學(xué)生就較為容易接受，也向?qū)W生逐步滲透了坐標(biāo)法。

（6）推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時教師要注意化解難點，適時地補充根式化簡的方法。

推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，由于列出的方程為兩個跟式的和等于一個非零常數(shù)，化簡時要進(jìn)行兩次平方，方程中字母超過三個，且次數(shù)高、項數(shù)多，教學(xué)時要注意化解難點，盡量不要把跟式化簡的困難影響學(xué)生對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的整體認(rèn)識。通過具體的例子使學(xué)生循序漸進(jìn)的解決帶跟式的方程的化簡，即：（1）方程中只有一個跟式時，需將它單獨留在方程的一邊，把其他各項移至另一邊；（2）方程中有兩個跟式時，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項。（為了避免二次平方運算）

（7）講解了焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師要啟發(fā)學(xué)生自己研究焦點在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后鼓勵學(xué)生探索橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點，加深對橢圓的認(rèn)識。

（8）在學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識仍然使用，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中要注意進(jìn)一步鞏固曲線和方程的概念。對于教材上在推出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向?qū)W生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡過程是等價變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒有給出證明過程，但學(xué)生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡是等價變形的才可以不用證明，而實際上學(xué)生在遇到一些具體的題目時，還需要具體問題具體分析。

（9）要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作的團(tuán)隊精神。

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程篇五

教學(xué)目標(biāo)

1.掌握橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程；

2.能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3.通過對橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；

4.通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力；

5.通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識。

教學(xué)建議

教材分析

1.知識結(jié)構(gòu)

2.重點難點分析

重點是橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式。難點是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)。關(guān)鍵是掌握建立坐標(biāo)系與根式化簡的方法。

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用。先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然。學(xué)好橢圓對于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線是非常重要的。

（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質(zhì)，可以對比圓的定義來理解。

另外要注意到定義中對“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于.這樣規(guī)定是為了避免出現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當(dāng)常數(shù)等于時軌跡是一條線段；當(dāng)常數(shù)小于時無軌跡”。這樣有利于集中精力進(jìn)一步研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)。但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準(zhǔn)確性。

（2）根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意下面幾點：

①曲線的方程依賴于坐標(biāo)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，是求曲線方程首先應(yīng)該注意的地方。應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標(biāo)系的兩軸，不但可以使方程的推導(dǎo)過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔。

②設(shè)橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導(dǎo)過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會。

③在方程的推導(dǎo)過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經(jīng)常遇到的問題，又是學(xué)生的難點。要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側(cè)，把其他項移至另一側(cè)；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項。

④教科書上對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，實際上只給出了“橢圓上點的坐標(biāo)都適合方程“而沒有證明，”方程的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上”。這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學(xué)們不作要求。

（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓異同點

中心在原點、焦點分別在軸上，軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，.它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，.不同點是：兩種橢圓相對于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點坐標(biāo)也不同。

橢圓的焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大；

橢圓的焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大。

另外，形如中，只要，，同號，就是橢圓方程，它可以化為.

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法。例3有三個作用：第一是教給學(xué)生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學(xué)生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓。

教法建議

（1）使學(xué)生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣，體會圓錐曲線知識在實際生活中的作用，可由實際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學(xué)生對所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學(xué)生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。

例如，我們生活的地球每時每刻都在環(huán)繞太陽的軌道——橢圓上運行，太陽系的其他行星也如此，太陽則位于橢圓的一個焦點上。如果這些行星運動的速度增大到某種程度，它們就會沿拋物線或雙曲線運行。人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個原理。相對于一個物體，按萬有引力定律受它吸引的另一個物體的運動，不可能有任何其他的軌道。因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關(guān)，圓錐曲線在實際生活中的價值是很高的。

（2）安排學(xué)生課下切割圓錐形的事物，使學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時間，教學(xué)時應(yīng)安排讓學(xué)生課后親自動手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對圓錐曲線的認(rèn)識。

（3）對橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學(xué)生從感性認(rèn)識入手，逐步上升到理性認(rèn)識，形成正確的概念。

教師可從太陽、地球、人造地球衛(wèi)星的運行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽光下圓盤在