非線性系統(tǒng)的分析相平面

非線性系統(tǒng)的分析相平面第一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二1.相平面:以和為橫軸和縱軸構(gòu)成的坐標(biāo)平面.2.相點(diǎn):相平面上任一點(diǎn)3.相軌跡:對(duì)二階系統(tǒng)來(lái)講，從某一初始狀態(tài)出發(fā)，以時(shí)間t為參變量，便可畫(huà)出一條連續(xù)變化的相軌跡。第二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二xx(x,,x)

持續(xù)振蕩4.相軌跡特點(diǎn):⑴與初始點(diǎn)(狀態(tài))密切相關(guān).⑵可以不直接求出微分方程而獲得系統(tǒng)所有運(yùn)動(dòng)狀態(tài).5.相軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性第三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、相平面圖繪制方法1.解析法:適用于微分方程簡(jiǎn)單(二階)或可分段線性化.設(shè)二階系統(tǒng)(*)若令則直接積分,便解出相軌跡方程并由此畫(huà)出相軌跡。第四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二整理上式并積分其中

上式表示一族封閉橢圓，說(shuō)明:ξ=0時(shí)的狀態(tài)為臨界穩(wěn)定，但實(shí)際中不存在，將隨時(shí)間不是發(fā)散就是收斂。例：如無(wú)阻尼二階系統(tǒng)令則，設(shè)初始條件為第五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二等傾線方程⒉圖解法之一：等傾線法

它多用于解析法中求解微分方程困難的情況。若令二階微分方程令滿足相軌跡上的切線斜率為a第六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二⑴畫(huà)圖原理：據(jù)不同的斜率a可畫(huà)出等斜線方向場(chǎng)（分布）可證明不同a不相交，則對(duì)確定初始點(diǎn)沿等斜率切線變化規(guī)律唯一。這樣便可畫(huà)出相軌跡（近似）⑵畫(huà)圖步驟：ii.作等傾線分布圖iii.從初始點(diǎn)出發(fā),沿相鄰等傾線間的平均斜率依次作短直線便可畫(huà)得。i.求出等傾線方程相軌跡必然以a的斜率經(jīng)過(guò)等斜線。第七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二說(shuō)明：等傾線未必都是直線，另外，為保證精度，等傾線分布要有適當(dāng)密度，密度可不一樣。例如令等斜線方程:等斜線分布圖.相軌跡A點(diǎn)直線段交=－1.2線于B.11.122.111-=--=-=A,過(guò)點(diǎn)第八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二三.相軌跡和相平面圖的性質(zhì)1)相軌跡的斜率若相軌跡上任意一點(diǎn)的斜率為，則2)相軌跡的對(duì)稱性按照?qǐng)D形對(duì)稱的條件，關(guān)于橫軸或縱軸對(duì)稱的曲線，其對(duì)稱點(diǎn)處的斜率大小相等，符號(hào)相反；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的曲線，其對(duì)稱點(diǎn)處斜率大小相等，符號(hào)相同。a第十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二則相軌跡關(guān)于對(duì)稱(左右對(duì)稱)。則相軌跡關(guān)于對(duì)稱(上下對(duì)稱)。則相軌跡關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。設(shè)二階系統(tǒng)的平衡點(diǎn)在原點(diǎn)，即f(0,0)=0，則原點(diǎn)也是奇點(diǎn)。又設(shè)在原點(diǎn)附近展成臺(tái)勞級(jí)數(shù)3)相平面圖的奇點(diǎn)奇點(diǎn)：相平面上同時(shí)滿足第十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二高階無(wú)窮小量可以省略，得到則該線性化系統(tǒng)的奇點(diǎn)的性質(zhì)取決于特征根在復(fù)平面上的位置。設(shè)特征根為，根據(jù)在復(fù)平面的位置，可以有以下幾種情況：第十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二①一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根每條相軌跡都以震蕩方式無(wú)限地“卷向”平衡點(diǎn)，這種類型的奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。②一對(duì)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根每條相軌跡都以震蕩方式“卷離”平衡點(diǎn)，這種類型的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。第十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二③特征根為兩個(gè)負(fù)實(shí)根對(duì)應(yīng)的相軌跡以非震蕩方式趨聚于平衡點(diǎn)。這種類型的奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。第十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二④特征根為兩個(gè)正實(shí)根對(duì)應(yīng)的相軌跡以非震蕩方式從平衡點(diǎn)散出。這種類型的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。⑤特征根為一對(duì)共軛純虛根，系統(tǒng)處于無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，系統(tǒng)的相軌跡是圍繞平衡點(diǎn)的一組封閉曲線。這種奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。第十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二⑥特征根為兩個(gè)符號(hào)相反的實(shí)根。此時(shí)每條相軌跡都是先趨近平衡點(diǎn)，隨后在尚未達(dá)到平衡點(diǎn)之前又遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)而去，只有4條孤立的相軌跡除外，其中兩條趨于平衡點(diǎn)，另兩條從平衡點(diǎn)散出，這時(shí)奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。第十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二

在非線性系統(tǒng)的相軌跡中，可能會(huì)存在特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的多個(gè)區(qū)域，這種特殊的相軌跡就稱為奇線。

極限環(huán)就是最常見(jiàn)的一種奇線，它是相平面上一條孤立的封閉相軌跡，而且附近的其他相軌跡都無(wú)限地趨向或者離開(kāi)它。

極限環(huán)作為一條相軌跡來(lái)說(shuō)，既不存在平衡點(diǎn)，也不趨向無(wú)窮遠(yuǎn)，而是一個(gè)無(wú)首無(wú)尾的封閉環(huán)圈。4）極限環(huán)第十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二

如果起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡最終都趨于極限環(huán)上，則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖(a)所示。當(dāng)系統(tǒng)受到小擾動(dòng)的作用而偏離極限環(huán)時(shí)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，系統(tǒng)的狀態(tài)又能回到極限環(huán)上。

因此，穩(wěn)定的極限環(huán)上系統(tǒng)就表現(xiàn)為自激振蕩。極限環(huán)橫向與縱向的最大值分別對(duì)應(yīng)自激振蕩的振幅與最大變化率。①穩(wěn)定的極限環(huán)第十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二

如圖(b)所示。起始于極限環(huán)內(nèi)部和外部的相軌跡，最終都卷離極限環(huán)。當(dāng)系統(tǒng)受到很小的擾動(dòng)而偏離極限環(huán)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)再也不會(huì)回到極限環(huán)上來(lái)，因此稱為不穩(wěn)定的極限環(huán)。②不穩(wěn)定的極限環(huán)第十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二③半穩(wěn)定的極限環(huán)如果極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡，一側(cè)是卷向極限環(huán)，而另一側(cè)卷離極限環(huán)，則該極限環(huán)稱為半穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖(c)與圖(d)所示。

對(duì)于圖(c)所示的系統(tǒng)顯然是一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)應(yīng)設(shè)法避免；而圖(d)所示的系統(tǒng)則同不穩(wěn)定的極限環(huán)一樣，應(yīng)使它的尺寸盡可能的大。第二十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二5）由相軌跡求時(shí)間增量當(dāng)相軌跡在x

方向移動(dòng)一個(gè)增量時(shí)，如果在區(qū)間的變化不很劇烈，則可以把該區(qū)間內(nèi)的平均值近似當(dāng)成x

在此區(qū)間內(nèi)勻速變化的速度。這樣就可以用下式近似求出該區(qū)間對(duì)應(yīng)的時(shí)間增量。第二十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二三．線性系統(tǒng)的相平面分析一階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)微分方程為相軌跡方程為設(shè)系統(tǒng)初始條件為，則相軌跡圖下圖所示第二十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二二階線性系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)微分方程為當(dāng)b>0時(shí)，上述方程可表示為特征根為相軌跡微分方程為第二十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二令得到等傾線方程當(dāng)a2-4b>0，且b≠0時(shí)，可得滿足k=a的兩條特殊的等傾線，其斜率為該式表明，特殊的等傾線斜率等于位于該等傾線上相軌跡任一點(diǎn)的切線斜率，即當(dāng)相軌跡運(yùn)動(dòng)至特殊的等傾線上時(shí)，將沿著等傾線收斂或發(fā)散，而不會(huì)第二十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二脫離該等傾線。下面就線性二階微分方程參數(shù)b<0,b=0和b>0的三種不同情況具體討論，其相軌跡采用等傾線法或解析法繪制。①b<0。系統(tǒng)特征根s1，s2為符號(hào)相反的互異實(shí)根，相平面圖如下。第二十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二由圖可知，圖中兩條特殊的等傾線是相軌跡，也是其他相軌跡的漸近線。當(dāng)初始條件位于對(duì)應(yīng)的相軌跡上時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將趨于原點(diǎn)，但只要受到微小擾動(dòng)，運(yùn)動(dòng)將偏離該軌跡，并沿著相軌跡方向發(fā)散。因此b<0時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第二十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二②b=0。系統(tǒng)特征根s1=0，s2=-a相軌跡方程為兩邊積分可得相軌跡方程相平面圖如下所示，相軌跡為過(guò)初始點(diǎn)斜率為-a的直線。當(dāng)a>0時(shí)，相軌跡收斂并最終停止在c軸上；a<0時(shí)，相軌跡發(fā)散。第二十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二③b>0。由前面可知當(dāng)b>0時(shí)，方程可以表示為可得根據(jù)的選取，可以分為以下幾種情況：第三十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二●設(shè)系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個(gè)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)穩(wěn)定，過(guò)渡過(guò)程呈衰減震蕩形式。其等傾線方程為第三十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二●特征根為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為非震蕩衰減形式，存在兩條特殊的等傾線，其斜率為相平面圖如下圖所示。當(dāng)相軌跡初始點(diǎn)落在兩條特殊等傾線上時(shí)，相軌跡沿該直線趨于原點(diǎn)；除此之外，相軌跡最終將沿著的方向趨于原點(diǎn)。第三十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二●系統(tǒng)特征根為兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根。取其相平面圖如下。與相比，相軌跡的特殊等傾線蛻化為一條。第三十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二●系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個(gè)共軛虛根，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，過(guò)渡過(guò)程為等幅震蕩。改寫(xiě)系統(tǒng)方程為積分后得到相軌跡方程為第三十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二●設(shè)系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個(gè)具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，過(guò)渡過(guò)程震蕩發(fā)散。等傾線為第三十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二●設(shè)系統(tǒng)微分方程為特征根為兩個(gè)不相等的正實(shí)根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，過(guò)渡過(guò)程為非周期發(fā)散。等傾線方程為第四十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第四十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二●系統(tǒng)特征根為兩個(gè)相同的正實(shí)根，存在一條特殊的等傾線，系統(tǒng)相軌跡發(fā)散，相平面圖如下圖所示。第四十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二1）分段列寫(xiě)非線性系統(tǒng)微分方程2）在相平面上確定每一個(gè)微分方程所在區(qū)域及開(kāi)關(guān)線。3）按照線性系統(tǒng)相軌跡的作法，分段求解相軌跡方程。4）在開(kāi)關(guān)線上做好兩條相軌跡的鏈接。注意，下一條相軌跡的初始條件是上一條相軌跡的終止條件。四．非線性系統(tǒng)的相平面分析一般非線性系統(tǒng)利用分段線性微分方程來(lái)描述。第四十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二(1)具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)第四十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二取作為狀態(tài)變量，因?yàn)椋谒氖屙?yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二給定參數(shù)T=1,Kk=1，根據(jù)二階線性系統(tǒng)相軌跡分析結(jié)果，可得奇點(diǎn)類型區(qū)域I：奇點(diǎn)(-△，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡為向心螺旋線();區(qū)域II：奇點(diǎn)(x，0)，x∈(-△,△)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡沿直線收斂；區(qū)域I：奇點(diǎn)(△，0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡為向心螺旋線();由零初始條件和得到e(0)=R,。相軌跡如下圖所示：第四十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二若用比例環(huán)節(jié)k=1代替死區(qū)特性，即無(wú)死區(qū)影響時(shí)，線性二階系統(tǒng)相軌跡如圖中虛線所示?？梢员容^出死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響。第四十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二(2)具有飽和特性的非線性控制系統(tǒng)圖中系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，且第四十八頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二下面分別研究系統(tǒng)在r(t)=R·1(t)和r(t)=V0

t作用下的相軌跡。1）r(t)=R·1(t)。

A

為常數(shù)第四十九頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二相軌跡方程為等傾線方程為為一簇平行于橫軸的直線，其斜率k

為零。當(dāng)a=0得，即為特殊的等傾線(k=a=0)。對(duì)于線性區(qū)域的奇點(diǎn)，求得為原點(diǎn)，且其特征根為負(fù)實(shí)部共軛復(fù)根，所以奇點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn)。由初始條件可知，e(0)=R，。取R=2，繪制相軌跡如圖所示。第五十頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第五十一頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二2）r(t)=V0(t)。在線性區(qū)間，奇點(diǎn)為穩(wěn)定能夠的焦點(diǎn)。負(fù)飽和區(qū)和正飽和區(qū)內(nèi)漸近線分別為第五十二頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二當(dāng)V0=1.2>KM0時(shí)，線性區(qū)內(nèi)相軌跡奇點(diǎn)(0.3,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，且為虛奇點(diǎn)；飽和區(qū)內(nèi)漸近線都位于相平面的上半平面，相軌跡如下圖所示。第五十三頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二當(dāng)V0=0.4<KM0時(shí)，線性區(qū)內(nèi)相軌跡奇點(diǎn)(0.1,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，且為實(shí)奇點(diǎn)；漸近線分別位于相平面的上下半平面，相軌跡收斂于(0.1,0)，系統(tǒng)地穩(wěn)態(tài)誤差為0.1，相軌跡如下圖所示。第五十四頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二當(dāng)V0=0.8=KM0時(shí)，線性區(qū)內(nèi)相軌跡奇點(diǎn)(0.2,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，為實(shí)奇點(diǎn)，位于開(kāi)關(guān)線e=e0上；正飽和區(qū)的線性微分方程為該區(qū)域內(nèi)相軌跡是斜率為-1/T的直線，橫軸上大于e0的各個(gè)點(diǎn)都是奇點(diǎn)，所以系統(tǒng)存在問(wèn)題誤差。第五十五頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二第五十六頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二小結(jié)

本章介紹了非線性系統(tǒng)的兩種設(shè)計(jì)方法：描述函數(shù)法、相平面法。它們都是用工程作圖的方法分析解決問(wèn)題。描述函數(shù)法把非線性特性基波傳遞關(guān)系做為它的替代公式，所以只適用于非線性程度較低和特性對(duì)稱的非線性元件，還要求線性部分具有良好的低通濾波器特性。描述函數(shù)法的核心是計(jì)算非線性特性的描述函數(shù)和它的負(fù)倒特性。由于描述函數(shù)是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)做周期運(yùn)動(dòng)的描述，一般沒(méi)有考慮外界作用。所以用于分析穩(wěn)定性和自持振蕩，而不能得到系統(tǒng)的響應(yīng)。第五十七頁(yè)，共六十一頁(yè)，編輯于2023年，星期二§3-4Popov