第三章第三節(jié)扭轉(zhuǎn)課件

1/23§3-1扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例工程構(gòu)件分類:桿板yxz塊體桿的基本變形:軸向拉壓扭轉(zhuǎn)彎曲2/23研究對象：圓截面直桿受力特點(diǎn)：作用在垂直于軸線的不同平面內(nèi)的外力偶，且滿足平衡方程:SMx=0變形特征：相對扭轉(zhuǎn)角fABM0y傳動(dòng)軸fABxM0z變形前汽車轉(zhuǎn)向軸變形后圓軸各橫截面將繞其軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動(dòng)。3/23§3-2扭轉(zhuǎn)和扭轉(zhuǎn)圖及其計(jì)算扭矩：T是橫截面上的內(nèi)力偶矩。內(nèi)力—由截面法求得。M0M0Mn取左邊部分M0假想切面外力偶平衡內(nèi)力偶由平衡方程：Mn?M04/23M0M0Mn扭矩平衡取左邊部分M0假想切面Mn外力偶由平衡方程：M0Mn'?M0?Mn?Mn取右邊部分Mn和Mn?是同一截面上的內(nèi)力，應(yīng)當(dāng)有相同的大小和正負(fù)。扭矩平衡外力偶5/23扭矩的符號(hào)規(guī)定：MnM0正M0Mn負(fù)按右手螺旋法則確定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向與截面的外法線方向一致者為正，反之為負(fù)。6/23畫扭矩圖：AB段：10kN?mMnAB10kN?m10kN?moAB20kN?m20CxMn/kN?m10M?10kN?m2BC段：nABMnBCAMnBC?20kN?mBC20kN?m以平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示截面的位置，以垂直于x軸的坐標(biāo)表示截面扭矩值，即得到扭矩圖。7/23簡捷畫法：FN圖（軸力）2kN8kNMn圖10kN?m10kN?moACx5kN5kN2kN8kNB20kN?m+向按右手法確定205kN+向5kNMn/kN?m+3kN10-5kNFN圖ABC在左端取參考正向，按載荷大小畫水平線；遇集中載荷作用則內(nèi)力相應(yīng)增減；至右端回到零。8/23例3-1傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速n=700r/min，主動(dòng)輪的輸入功率為PA=400KW，從動(dòng)輪B、C和D的輸出功率分別為PB=PC=120KW，PD=160KW。試作軸的扭矩圖。解：由功率－轉(zhuǎn)速關(guān)系計(jì)算外力偶矩MBBMCCMAAMDDPA400MA?9.55?9.55??5.46kN?mn700PB120MB?MC?9.55?9.55??1.64kN?mn700PD160MD?9.55?9.55??2.18kN?m9/23n700MBBMCCMAAMDDMA?5.46kN?mMB?MC?1.64kN?mMD?2.18kN?mMBBMn1Mn3MDD求各截面內(nèi)力：BC段CA段MBBMCCMn1??1.64kN?mMn2??3.28kN?mMn2AD段Mn/kN.mC2.18Mn3?2.18kN?mBA1.643.28D最大扭矩在AB段，且Mn圖Mn?3280N?m10/23MBBMCCMAAMDD簡捷畫法：MA?5460N?mMB?MC?1640N?mMD?2180N?m+向按右手法確定Mn圖Mn/kN.m2.18ADCB1.643.2811/23§10-3圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力與變形變形體靜力學(xué)的基本研究思路：靜力平衡條件10.3.1+變形幾何條件+材料物理關(guān)系剛性平面假設(shè)：變形前后，扭轉(zhuǎn)圓軸各個(gè)橫截面仍然保持為平面，二平面間距離不變，其半徑仍然保持為直線且半徑大小不變。12/231.變形幾何條件變形前變形后1.變形幾何條件取長為dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面剛性轉(zhuǎn)動(dòng)角df，原來的矩形ABCD變成為菱形ABC?D?。MnAggCrdfOC?DdfrD?g是微元的直角改變量，即半徑r各處的剪應(yīng)變。因?yàn)镃C?=gdx=rdf,故有：g?rd?/dxdf/dx,稱為單位扭轉(zhuǎn)角。Bdx對半徑為r的其它各處，可作類似的分析。13/23對半徑為r的其它各處，作類似的分析。MnABgrgrCdfC?D同樣有：CC?=gdx=rdfrOD?r即得變形幾何條件為：g?rd?/dx--(1)dx剪應(yīng)變g的大小與半徑r成正比。與單位扭轉(zhuǎn)角df/dx成正比。14/232.物理關(guān)系—材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系材料的剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間有與拉壓類似的關(guān)系。在線性彈性范圍內(nèi)，剪切虎克定律為：t?Gg--(2)tGG11OtsG是t?g曲線的斜率，如圖，稱為剪切彈性模量。半徑為r處的剪應(yīng)力則為：gd?tr?Ggr?Grdx圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)無正應(yīng)力15/23討論：圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的剪應(yīng)力分布tmaxtrABgrgrroMTrd?--(3)tr?Ggr?Grdxr圓軸幾何及MT給定，df/dx為常數(shù)；G是材料常數(shù)。截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力與該點(diǎn)到軸心的距離r成正比；剪應(yīng)變在ABCD面內(nèi)，故剪應(yīng)力與半徑垂直，指向由截面扭矩方向確定。16/23CtrdfC?ODMnD?最大剪應(yīng)力在圓軸dx表面處。3.力的平衡關(guān)系d?--(3)tr?Ggr?Grdx應(yīng)力是內(nèi)力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上內(nèi)力對軸心之矩的和應(yīng)與截面扭矩相等。tmaxtrtrdA取微面積如圖，有：rortdA?Mrn?A利用(3)式，得到：Mnd?2GrdA?Mn?dxA17/233.力的平衡關(guān)系令：d?2GrdA?Mn?dxAtmaxtrrIr??rdAA2最后得到：d?Mn?rtr?Gr?--(4)dxIrotrMntmax在圓軸表面處，且Ir稱為截面對圓心的極慣性t?M?r/I?M/WmaxnrnT矩，只與截面幾何相關(guān)。W=I/r，稱為抗rr扭截面模量。求Ir，Wr?18/2310.3.2圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量極慣性矩:Ir?rdA?2dArodrA抗扭截面模量W=I/rrr討論內(nèi)徑d，外徑D的空心圓截面，取微面積dA=2prdr,則有：dD44極慣性矩Ir?2pD/2d/2?r3p(D?d)pD4?dr?(1?a)4a=d/D32324??p?a抗扭截面模量：WrIr/(D/2)D(1)/1619/233圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量空心圓軸極慣性矩實(shí)心圓軸?a)4(1(1?a)4odDoD?IrI?r44pDpD3232?Ira=d/D=032Wr?pD4抗扭截pD34??aWr(1)面模量16pD16320/23研究思路：變形幾何條件g?rd?/dx---(1)d?tr?Ggr?Grdxd?Gdx+材料物理關(guān)系---(2)---(3)---(4)+靜力平衡關(guān)系r?A2dA?Mn圓軸扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式：且由(2)、(4)可知單位扭轉(zhuǎn)角為：?rMtr?nIrd?/dx?Mn/GIr---(5)21/23結(jié)論：1）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上只有剪應(yīng)力，剪應(yīng)力在橫截面上線性分布，垂直與半徑，指向由扭矩的轉(zhuǎn)向確定。2）截面任一處截面外圓周處（表面）tr=Mn?r/Ir實(shí)心圓軸tmaxtmax=Mn/Wr空心圓軸tmaxMnodDtrotrMnD22/23討論：1）已知二軸長度及所受外力矩完全相同。若二軸截面尺寸不同，其扭矩圖相同否?相同若二軸材料不同、截面尺寸相同，各段應(yīng)力是否相同？相同變形是否相同？不同2）下列圓軸扭轉(zhuǎn)的剪應(yīng)力分布圖是否正確?MnooMnoMnoMn23/2310.3.3扭轉(zhuǎn)圓軸任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)研究兩橫截面相距dx的任一A處單位厚度微元，左右二邊為橫截面，上下二邊為過軸線的徑向面。剪應(yīng)力互等定理：物體內(nèi)任一點(diǎn)處于相互垂直的截面上，剪應(yīng)力總是同時(shí)存在的，它們大小相等，方向是共同指向或背離二截面的交線。MnMntctAtdxt′Adxtdyt′A的平衡？SMC(F)=t?dxdy-tdydx=0?t=t?24/23純剪應(yīng)力狀態(tài):微元各面只有剪應(yīng)力作用。stAct′s45?tdyt′Adxtc45?t45?tsdx純剪應(yīng)力狀態(tài)等價(jià)于轉(zhuǎn)過45?后微元的二向等值拉壓應(yīng)力狀態(tài)。45?斜截面上的應(yīng)力：tdx+(t45?dx/cos45?)cos45?+(s45?dx/cos45?)sin45?=0一些脆性材料(例如粉筆、鑄鐵等)承受扭轉(zhuǎn)tdx-(t45?dx/cos45?)sin45+(s45?dx/cos45?)cos45?=0作用時(shí)發(fā)生沿軸線45??方向的破壞，就是由解得：s45?=-t；t45?=0。還有：s?45?=t；t?45?=0此拉應(yīng)力控制的。25/2310.3.4圓軸的扭轉(zhuǎn)變形單位扭轉(zhuǎn)角為：d?/dx?Mn/GIr相對扭轉(zhuǎn)角?AB：B截面相對于gAATggC?ABd?C?DLd?DL?0rBOMBA截面的扭轉(zhuǎn)角。若AB=L，則Mn/GIr=const.,故有：?AB??d???dxMndxGIr若AB間扭矩不變，材料不變，截面尺寸不變，則?AB?MnL/GIrGIr稱為抗扭剛度，反映軸抵抗變形的能力。26/23若扭矩、材料，截面尺寸改變，則需分段求解。例10-2空心圓軸如圖，已知MA=150N.m，MB=50N.mMC=100N.m，材料G=80Gpa，試求（1）軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力；（2）C截面相對A截面的扭轉(zhuǎn)角。解:1)畫扭矩圖。f24MAf18MBMCC2)計(jì)算各段應(yīng)力:AB段：N-mm-Mpa單位制A1000B1000tmax1Mn1Mn1??3pD1dWr1[1?]16D13Mn/N.m150100150?10?16?34?80.8MPa24p[1?(18/24)]ABC27/23f222)計(jì)算各段應(yīng)力:f24MAf18MBMCCBC段：N-mm-Mpa單位制A1000B1000tmax2Mn2Mn2??3pD2dWr2[1?]16D23Mn/N.m150100100?10?16?34?86.7MPa22p[1?(18/22)]AB故tmax=86.7Mpa3)計(jì)算扭轉(zhuǎn)角?ACMlMlABBCn2n1?AC?+?0.183radGIrABGIrBC28/23f22C§10-4圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算1.強(qiáng)度條件smax=?[s]=拉壓ss/n(延)sb/n(脆)扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件t=?[t]=maxts/n(延)tb/n(脆)smax?FN/A?[s][t]與[s]之關(guān)系：tmax?Mn/Wr?[t][t]=0.5~0.6[s](鋼材，延性)[t]=0.8~1.0[s](鑄鐵，脆性)29/232.剛度條件單位統(tǒng)一為?/m，則有：扭轉(zhuǎn)圓軸必須滿足強(qiáng)度條件，以保證不破壞；oMn180[]qmax???q另一方面，軸類零件若變形過大，則不能正常工作pGIr（弧度轉(zhuǎn)換為角度），即還須滿足剛度條件。軸AB間的相對扭轉(zhuǎn)角為：?AB=MnL/GIr單位長度的扭轉(zhuǎn)角為：q=?AB/L=Mn/GIr扭轉(zhuǎn)剛度條件則為：qmax?[q]---許用扭轉(zhuǎn)角機(jī)械設(shè)計(jì)手冊建議：[q]=0.25~0.5?/m;精度高的軸；?[q]=0.5~1.0/m;一般傳動(dòng)軸。30/233.扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計(jì)tmax?Mn/Wr[?t]強(qiáng)度條件：剛度條件：極慣性矩qmaxMn180???[q]pGIro二者均須滿足Ir?pD4抗扭截32?Wr面模量16pD3扭轉(zhuǎn)圓軸的設(shè)計(jì)計(jì)算：強(qiáng)度、剛度校核；確定許用載荷（扭矩）；設(shè)計(jì)軸的幾何尺寸。31/23例10-3實(shí)心圓軸如圖，已知MB=MC=1.64kN.m，MD=2.18kN.m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1?/m，試設(shè)計(jì)軸的直徑。解:1)畫扭矩圖。最大扭矩在AB段，且MBBMCCMAAMDDMn?3280N?m2)按強(qiáng)度設(shè)計(jì)，有：MnMntmax???t[]3WrpD/16D?3Mn/kN.mCB2.18AD1.643.2816Mmaxp[t]16?3280?3?36?75?10(m)?75mm32/23p?40?10N-m-Pa單位制2)按剛度設(shè)計(jì)，有：Mmax180Mmax180[]qmax?????q4ppGIrGpD/32則有：432M?180°432?3280?180max??D292pq[]G80?10?p?1?69.9?10(m)?70mm?3ooN-m-Pa單位制同時(shí)滿足強(qiáng)度與剛度要求，則應(yīng)取取大者D?75mm33/23討論：若取a=0.5，試設(shè)計(jì)空心圓軸尺寸。a?(0.5)[p(D/2)?p(aD/2)]Lg空心軸2扭矩圖不變，按強(qiáng)度設(shè)計(jì)，有：???a(1)/12p(D/Tg實(shí)心軸2)LTmaxmaxtmax???[t]3(1?a4)/16p重量比：重量減輕25%，尺寸略大一點(diǎn)。WDT16Mmax?D?4p(1?a)[t]332216?328046=76.4mmp?(1?0.5)40?10o按剛度設(shè)計(jì)，有：則有：4Mmax180qmax???[q]pGpD4(1?a4)/3232?3280?180D?=71mm92480?10?p(1?a)?134/23取D=78mm10-4.聯(lián)軸節(jié)如圖。軸徑D=100mm，四個(gè)直徑d=20mm的螺栓對稱置于D1=320mm的圓周上，t=12mm。若[t]=80MPa，[sj]=120MPa。試確定許用的扭矩M。解：1)考慮軸的扭轉(zhuǎn)ttD1強(qiáng)度條件:MMmaxtmax???t[]3pD/16WT3t?pM扭?[]D/16DoM36???80100