圓錐曲線地綜合應(yīng)用及其求解策略prt

圓錐曲線的綜合應(yīng)用NUMPAGES10PAGE10圓錐曲線的綜合應(yīng)用NUMPAGES10PAGE10圓錐曲線的綜合應(yīng)用及其求解策略有關(guān)圓錐曲線的綜合應(yīng)用的常見題型有：①、定點與定值問題；②、最值問題；③、求參數(shù)的取值范圍問題；④、對稱問題；⑤、實際應(yīng)用問題。解答圓錐曲線的綜合問題，應(yīng)根據(jù)曲線的幾何特征，熟練運用圓錐曲線的相關(guān)知識，將曲線的幾何特征轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（如方程、不等式、函數(shù)等），再結(jié)合代數(shù)知識去解答。解答過程中要重視函數(shù)思想、方程與不等式思想、分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的靈活應(yīng)用。一、定點、定值問題：這類問題通常有兩種處理方法：①、第一種方法：是從特殊入手，先求出定點（或定值），再證明這個點（值）與變量無關(guān)；②、第二種方法：是直接推理、計算；并在計算的過程中消去變量，從而得到定點（定值）?！铩纠}1】（2007年高考·湖南文科·19題·13分）已知雙曲線的右焦點為，過點的動直線與雙曲線相交于A、B兩點，又已知點的坐標(biāo)是．（I）證明·為常數(shù)；（II）若動點滿足（其中為坐標(biāo)原點），求點的軌跡方程．◆解：由條件知，設(shè)，．（I）當(dāng)與軸垂直時，可求得點A、B的坐標(biāo)分別為，，此時則有．當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是．代入，則有．則是上述方程的兩個實根，所以，，于是．∴綜上所述，為常數(shù)．（II）設(shè)，則，，，，由得：即于是的中點坐標(biāo)為．當(dāng)不與軸垂直時，，即．又因為A、B兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．所以點的軌跡方程是．▲點撥：本題中“·為常數(shù)”的證明，采用特殊位置“當(dāng)與軸垂直時”可輕易得出·=-1；接下來再從一般情況“當(dāng)不與軸垂直時”去加以論證，有了明確的目標(biāo)，推理計算就要容易得多了！★【例題2】已知A,B為橢圓(a>b>0)和雙曲線的公共頂點,P,Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A,B的動點,且有EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AP)+EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BP)=(EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AQ)+EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BQ))(∈R,||>1),設(shè)AP,BP,AQ,BQ斜率分別為k1,k2,k3,k4,求證:k1+k2+k3+k4為一個定值.◆解、點A(-a,0)；B(a,0)；∵由EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AP)+EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BP)=(EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),AQ)+EQ\o\ac(EQ\s\up8(→),BQ)),依據(jù)向量加法的平行四邊形法則,則有O、Q、P三點共線；設(shè)P(x1,y1)、Q（x2，y2）,則EQ\f(x12,a2)-EQ\f(y12,b2)=1,則x12-a2=EQ\f(a2,b2)·y12；∴k1+k2=EQ\f(y1,x1+a)+EQ\f(y1,x1-a)=EQ\f(2x1y1,x12-a2)=EQ\f(2b2,a2)·EQ\f(x1,y1)；同樣有k3+k4=EQ\f(-2b2,a2)·EQ\f(x2,y2)；由于EQ\f(x1,y1)=EQ\f(x2,y2)，∴所求的定值為0?！c撥：本題中的特殊位置難以確定，因而采用直接推理、計算；并逐漸化簡，從而得到其定值為0。二、最值問題：常見解法有兩種：幾何法與代數(shù)法。①若題目中的條件或結(jié)論能明顯體現(xiàn)某種幾何特征及意義，或反映出了某種圓錐曲線的定義，則直接利用圖形的性質(zhì)或圓錐曲線的定義來求解，這就是幾何法；②將圓錐曲線中的最值問題通過建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，再充分利用均值不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等相關(guān)知識去求解?！铩纠}3】、拋物線x2=4y的焦點F和點A(-1,8),P為拋物線上一點,則|PA|+|PF|最小值是()A6B9C12D16▲若將上題中點A的條件改為A(3,1),其它不變,則應(yīng)為____解析：由拋物線定義，可知當(dāng)A、P、H（如圖1）三點共線時，|PA|+|PF|最小，其最小值為9?！鴹l件改動之后，則當(dāng)A、P、F三點共線時（如圖2），|PA|+|PF|最小，其最小值為3?！c撥：本題的求解，主要是扣住了拋物線的定義，充分挖掘圖形的特征，從而解決所求之問題。運用幾何法求解，解答過程簡單、明了，但對綜合運用圖形的幾何性質(zhì)（或把握曲線定義的靈活運用）的能力要求較高?！铩纠}4】（2007年安徽高考題）設(shè)是拋物線的焦點．設(shè)A、B為拋物線上異于原點的兩點，且滿足，延長，分別交拋物線于點C、D，求四邊形面積的最小值．◆解：設(shè)，；由題意知，直線的斜率存在，由對稱性，不妨設(shè)．因直線過焦點，所以直線的方程為．點A、C的坐標(biāo)滿足方程組得，由根與系數(shù)的關(guān)系知則有：．因為，所以的斜率為，從而的方程為．同理可求得．∴．當(dāng)時，等號成立．所以，四邊形面積的最小值為．▲點撥：本題首先通過計算，建立好四邊形面積的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)其函數(shù)特征，轉(zhuǎn)化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值?！铩纠}5】（2007年全國高考題·12分）在直角坐標(biāo)系中，以為圓心的圓與直線相切．（1）求圓的方程；（2）圓與軸相交于A、B兩點，圓內(nèi)的動點使成等比數(shù)列，求的取值范圍．◆解：（1）依題設(shè)，圓的半徑等于原點到直線的距離，即；得圓的方程為．（2）不妨設(shè)．由即得．設(shè)，由成等比數(shù)列，得，即．由于點在圓內(nèi)，故由此得．所以的取值范圍為．▲點撥：本題同樣是先通過計算，建立好“”的函數(shù)表達(dá)式，然后依據(jù)“點在圓內(nèi)”，得出相應(yīng)的約束條件“”，從而得出所求。三、求參數(shù)的取值范圍范圍問題：求參數(shù)的取值范圍問題，常用的解決方法有兩種：①、第一種是不等式（組）求解法根據(jù)題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式（組）再得出參數(shù)的變化范圍；②、第二種是函數(shù)的值域求解法：把所討論的參數(shù)表示為某個變量的函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域求得參數(shù)的變化范圍?！铩纠}6】、若圓x2+(y-1)2=1上的任一點P(x,y),有不等式x+y+c≥0恒成立，則c的取值范圍是_____◆解：可設(shè)；則有cos+sin+1+c≥0恒成立，即有c≥-(cos+sin+1)恒成立，∴c≥EQ\r(,2)-1為所求?！c拔：本題通過圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角代換，將所求問題轉(zhuǎn)化成求三角函數(shù)的最值的問題，從而簡捷易解。Oyx1lF★【例題7】（2007年福建高考題·14分）如圖，已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．Oyx1lF（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；（Ⅱ）過點的直線交軌跡于兩點，交直線于點．（1）已知，，求的值；（2）求的最小值．◆解析：（Ⅰ）由得：，，，．所以點的軌跡是拋物線，由題意，軌跡的方程為：．（Ⅱ）、（1）：由已知，，得．則：．…………①過點分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則有：．…………②；PBQMFOAxy由PBQMFOAxy（Ⅱ）、（2）：設(shè)直線的方程為：．設(shè)，，又，聯(lián)立方程組，消去得：，，∴．當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以最小值為．▲點撥：本題中“求的值”，首先是建立好條件不等式組，再化簡計算得出所求。四、對稱問題：包括兩種情形：①、中心對稱問題：常利用中點坐標(biāo)公式求解；②、軸對稱問題：主要抓住以下兩個條件去處理?垂直，即已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直；?中點，即連結(jié)已知點和對稱點的線段的中點在對稱軸上?！铩纠}7】、(2004年上海高考·文科20題·14分)如圖,直線y=x與拋物線y=x2－4交于A、B兩點,線段AB的垂直平分線與直線y=－5交于Q點.(1)求點Q的坐標(biāo)；(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段AB下方(含點A、B)的動點時,求△OPQ面積的最大值.◆解析:(1)解方程組得或者；即A(－4,－2),B(8,4),從而AB的中點為M(2,1).由kAB==,直線AB的垂直平分線方程y－1=(x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)(2)直線OQ的方程為x+y=0,設(shè)P(x,x2－4).∵點P到直線OQ的距離；∴d==,,∴SΔOPQ==.∵P為拋物線上位于線段AB下方的點,且P不在直線OQ上,∴－4≤x<4－4或4－4<x≤8.∵函數(shù)y=x2+8x－32在區(qū)間[－4,8]上單調(diào)遞增,且當(dāng)x=－4時，|x2+8x－32|=48當(dāng)x=8時，|x2+8x－32|=96∴當(dāng)x=8時,ΔOPQ的面積取到最大值.NOACByx▲點撥：本題中“直線AB的垂直平分線方程”的求解，主要是NOACByx★【例題8】、（2007年湖北高考題·14分）在平面直角坐標(biāo)系中，過定點作直線與拋物線（）相交于兩點．（I）若點是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點，求面積的最小值；（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．◆解析：（Ⅰ）依題意，點的坐標(biāo)為，可設(shè)，NOACByxl直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．由韋達(dá)定理得，．于是，當(dāng)時，．NOACByxl（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，則，點的坐標(biāo)為．，，，．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．▲點撥：本題中“點是點關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點”，利用中點坐標(biāo)公式，很快就得出點N的坐標(biāo)了。五、實際應(yīng)用問題：此類問題要建立好平面直角坐標(biāo)系，建立好數(shù)學(xué)模型，實現(xiàn)應(yīng)用問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。【例題9】如圖，B地在A地的正東方向4km處，C地在B地的北偏東30°方向2km處，河流的沿岸PQ（曲線）上任意一點到A的距離比到B的距離遠(yuǎn)2km。現(xiàn)要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭，向B、C兩地轉(zhuǎn)運貨物。經(jīng)測算，從M到B、M到C修建公路的費用分別是a萬元/km、2aA．(2－2)a萬元B．5a萬元 C．(2+1)a萬元D．(2+3)a萬元◆解析：這是福建省2004年的一道高考題。①、首先，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點A（-2，0），B（2，0），C（3，EQ\r(,3)）；②、PQ曲線是以A、B為焦點的雙曲線的右支，其軌跡方程為：，其離心率為e=2,準(zhǔn)線方程為x=EQ\f(1,2)③、考查修建這兩條公路的總費用y=|MB|·a+|MC|·2a=(|MB|+2·|MC|)·a，由于點B為曲線的焦點，則有EQ\f(|MB|,|MH|)=e=2,則|MB|=2·|MH|，從而有y=(2·|MH|+2·|MC|)·a=(|MH|+|MC|)·2a,由圖顯然可知，當(dāng)H、M、C三點共線時，y費用最少，最少費用為（3-EQ\f(1,2)）×2a=5a萬元；所以本題選（B）?！c撥：本題首先要建立好平面直角坐標(biāo)系，再依據(jù)雙曲線的第二定義去轉(zhuǎn)化所求，從而得出答案。總之，圓錐曲線的常見綜合問題的處理思路和方法可歸納概括如下：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：、要解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，通常把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y（或消去x）得到關(guān)于x（或關(guān)于y）的一元二次方程，再考查其△，從而確定直線與圓錐曲線的的交點個數(shù)：（1）若△<0，則直線與圓錐曲線沒有公共點；②若△=0，則直線與圓錐曲線有唯一的公共點；③若△>0，則直線與圓錐曲線有兩個不同的公共點；、從幾何角度來看：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系對應(yīng)著相交（有兩個交點）、相切（有一個公共點）、相離（沒有公共點）三種情況；這里特別要注意的是：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時、當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行時，屬于相交的情況，但只有一個公共點。直線被圓錐曲線截得的弦長問題：①、直線與圓錐曲線有兩個交點A（x1,y1)、B(x2,y2)，一般將直線方程L：y=kx+m代入曲線方程整理后得到關(guān)于x的一元二次方程則應(yīng)用弦長公式：|AB|=；或?qū)⒅本€方程L:x=EQ\f(1,k)y+t代入曲線方程整理后得到關(guān)于y的一元二次方程則應(yīng)用弦長公式：|AB|=；②、過焦點的弦長的求解一般不用弦長公式去處理,而用焦半徑公式會更簡捷;、垂直于圓錐曲線的對稱軸的焦點弦長稱為圓錐曲線的通徑,其中橢圓、雙曲線的通徑長都為EQ\f(2b2,a),而拋物線的通徑長為2p；、對于拋物線y2=2px（p>0)而言，還有如下的焦點弦長公式，有時用起來很方便：|AB|=x1+x2+p；|AB|=EQ\f(2p,sin2)(其中為過焦點的直線AB的傾斜角）直線與圓錐曲線相交的中點弦的的問題,常用的求解方法有兩種：①、設(shè)直線方程為y=kx+m，代入到圓錐曲線方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系去處理（由于直線方程與圓錐