高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題匯編

PAGEPAGE4高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混易忘題分類匯編“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來(lái)成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問(wèn)題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見(jiàn)的66個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問(wèn)題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問(wèn)題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過(guò)作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)。一、集合部分常見(jiàn)錯(cuò)誤：當(dāng)集合用特征性質(zhì)描述法表示時(shí)，把代表元素看錯(cuò)；忽視空集；忽略集合中元素的互異性；集合運(yùn)算出錯(cuò)?！疽族e(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。設(shè)，，若，求實(shí)數(shù)a組成的集合的子集有多少個(gè)？子集共有個(gè)。【練】已知集合、，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是。答案：或?！纠恳阎希簦瑒t實(shí)數(shù)m的值為.答案：0，1或-1【例】設(shè)集合集合，則.答案：變式1：設(shè)集合集合，則.答案：變式2：設(shè)集合集合，則的子集個(gè)數(shù)為.答案：4變式3：設(shè)集合集合，則.答案：二、基本初等函數(shù)與導(dǎo)數(shù)常見(jiàn)錯(cuò)誤：對(duì)函數(shù)定義域關(guān)注不夠；對(duì)函數(shù)性質(zhì)掌握不準(zhǔn),特別是函數(shù)的局部性質(zhì).【例】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）答案：A變式：已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么a的取值范圍是.答案：【例】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是2，求實(shí)數(shù)a的值.答案：.【例】已知函數(shù).（1）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，的值域是求的值.答案：（1）；（2）.【例】已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極值為，則．答案：【例】過(guò)點(diǎn)與曲線S：相切的切線的方程為.答案：答案：.【易錯(cuò)點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例、已知,求的取值范圍[1,]在定義域下易證即函數(shù)為奇函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù)具有奇偶性，則是對(duì)定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值?！揪殹颗袛嘞铝泻瘮?shù)的奇偶性：①②③答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過(guò)程繁鎖。例.函數(shù)的反函數(shù)為，證明是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。【思維分析】可求的表達(dá)式，再證明。若注意到與具有相同的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。解析：，故為奇函數(shù)從而為奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù)且為增函數(shù)，故在和上分別為增函數(shù)。故分別在和上分別為增函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即?！揪殹浚?）（99全國(guó)高考題）已知，則如下結(jié)論正確的是（）A、是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、是奇函數(shù)且為減函數(shù)C、是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、是偶函數(shù)且為減函數(shù)答案：A（2）（2005天津卷）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（）A、B、C、D、答案：A（時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以.）【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則。例、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹(shù)立定義域優(yōu)先的意識(shí)。解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可。設(shè)，由于故當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分別為減函數(shù).【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問(wèn)題中，應(yīng)引起足夠重視。（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于（小于）零。（3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不能說(shuō)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“∪”和“或”.【練】（1）（濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。（2）設(shè)在的最小值為，求的解析式。答案：（1）函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。（2）（2）（2001天津）設(shè)且為R上的偶函數(shù)。（1）求a的值（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并給出證明。答案：（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)（證明略）【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。例、（2004全國(guó)高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過(guò)程中易誤作是充要條件，如在R上遞減，但。解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則故解得。（2）當(dāng)時(shí)，易知此時(shí)函數(shù)也在R上是減函數(shù)。（3）當(dāng)時(shí)，在R上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是?！局R(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來(lái)說(shuō)明：①與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。②時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系:若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。∴當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。③與為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性?！嗍菫樵龊瘮?shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。因此本題在第一步后再對(duì)和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中注意思維的嚴(yán)密性?！揪殹浚?）（2003新課程）函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）A、B、C、D、答案：A（2）是否存在這樣的K值，使函數(shù)在上遞減，在上遞增？答案：。（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出K值后要檢驗(yàn)。）【易錯(cuò)點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。錯(cuò)解:(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)2+(b+)2的最小值是8【易錯(cuò)點(diǎn)分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。解析：原式=a2+b2+++4=(a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2-2ab]+[(+)2-]+4 =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()2=得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)∴(a+)2+(b+)2的最小值是?！局R(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)?！揪殹浚?7全國(guó)卷文22理22）甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)ckm/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為:（1）（2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)≤c時(shí)，行駛速度v=；當(dāng)＞c時(shí)，行駛速度v=c?！疽族e(cuò)點(diǎn)10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例、是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)在上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說(shuō)明理由?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過(guò)程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)是由和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法（1）當(dāng)a>1時(shí)，若使在上是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)且大于零。故有解得a>1。（2）當(dāng)a<1時(shí)若使在上是增函數(shù)，則在上是減函數(shù)且大于零。不等式組無(wú)解。綜上所述存在實(shí)數(shù)a>1使得函數(shù)在上是增函數(shù)【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）?！揪殹浚?）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)，且試求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間。答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。（2）（2005高考天津）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A、B、C、D、答案：B.（記，則當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)，則需有恒成立，所以.矛盾.排除C、D當(dāng)時(shí)，要使是函數(shù)，則需有恒成立，所以.排除A）【易錯(cuò)點(diǎn)11】用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性．例、已知求的最大值【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過(guò)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令將問(wèn)題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解，解析：由已知條件有且（結(jié)合）得，而==令則原式=根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)即時(shí)，原式取得最大值?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化?！揪殹浚?）（高考變式題）設(shè)a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。答案：f(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為（2）不等式>ax＋的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。答案：（提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為）數(shù)列【例】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.答案：變式：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為.答案:.【例】求和答案:；.【易錯(cuò)點(diǎn)12】已知求時(shí),易忽略n＝１的情況．例（2005高考北京卷）數(shù)列前n項(xiàng)和且。（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對(duì)于任意n值都成立，忽略了對(duì)n=1的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。解析：易求得。由得故得又，故該數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列故?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系可以已知求。但注意只有在當(dāng)適合時(shí)兩者才可以合并否則要寫(xiě)分段函數(shù)的形式?！揪殹浚?004全國(guó)理）已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)為。答案：（將條件右端視為數(shù)列的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可）【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開(kāi)始）例、等差數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，。問(wèn)n為何值時(shí)最大?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。解析：由題意知=此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故即此二次函數(shù)開(kāi)口向下，故由得當(dāng)時(shí)取得最大值，但由于，故若為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，最大。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從1開(kāi)始）上的函數(shù)，因此在解題過(guò)程中要樹(shù)立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外形如前n項(xiàng)和所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和?！揪殹浚?001全國(guó)高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是前n項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、B、C、D、和均為的最大值。答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn)14】解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒(méi)有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過(guò)程繁瑣。例、已知關(guān)于的方程和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求的值?！舅季S分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：故從而=。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等差數(shù)列，若，則；對(duì)于等比數(shù)列，若，則；若數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等比數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，，那么，，成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用?！揪殹浚?003全國(guó)理天津理）已知方程和的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則=（）A、1B、C、D、答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比ｑ＝１的情況例、數(shù)列中，，，數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列。（=1\*ROMANI）求使成立的的取值范圍；（=2\*ROMANII）求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒(méi)有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：（=1\*ROMANI）∵數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，∴，，由得，即（），解得．（=2\*ROMANII）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這表明數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是，又，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。【練】（2005高考全國(guó)卷一第一問(wèn)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和（1）求q的取值范圍。答案：【易錯(cuò)點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。例、．（2003北京理）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令求數(shù)列前項(xiàng)和的公式。【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得（2）由（1）得令（Ⅰ）則（Ⅱ）用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯(cuò)過(guò)一位再相減）得當(dāng)當(dāng)時(shí)綜上可得：當(dāng)當(dāng)時(shí)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過(guò)在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過(guò)一項(xiàng)相減的方法來(lái)求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例?！揪殹浚?005全國(guó)卷一理）已知當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和答案：時(shí)當(dāng)時(shí).【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。例、求…．【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過(guò)程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，∴，取，，，…，就分別得到，…，∴．【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱的。常見(jiàn)的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項(xiàng)，即，問(wèn)題會(huì)很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，如：，求其前項(xiàng)和，可通過(guò)分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等?！揪殹浚?005濟(jì)南統(tǒng)考）求和＋＋＋…＋．答案：…＝．【易錯(cuò)點(diǎn)18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例、（2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.(Ⅰ)若首項(xiàng)EQ\F(3,2)，公差，求滿足的正整數(shù)k；(Ⅱ)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{an}，使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.學(xué)生在解第(Ⅱ)時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立”這句話將k取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒(méi)有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。 解：（I）當(dāng)時(shí) 由，即又. （II）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則在中分別取k=1,2,得（1）（2） （1）（2） 由（1）得當(dāng) 若成立 ,若故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng) 若 若. 綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列： ①{an}:an=0，即0，0，0，…；②{an}:an=1，即1，1，1，…； ③{an}:an=2n－1，即1，3，5，…，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上，“條件中使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立.”就等價(jià)于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。【練】（1）（2000全國(guó)）已知數(shù)列,其中,且數(shù)列為等比數(shù)列.求常數(shù)p答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說(shuō)明p值對(duì)任意自然數(shù)n都成立）四、平面解析幾何【例】（2006年四川）已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，如果，且曲線E上存在點(diǎn)C，使，求m的值和的面積s．錯(cuò)因剖析：此解屬于錯(cuò)誤地運(yùn)用雙曲線的定義.由條件“”錯(cuò)誤的得出結(jié)論“點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線，其方程為”，使后面的問(wèn)題變得復(fù)雜.事實(shí)上,點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線的左支，其方程為，若直線與曲線E交于A、B兩點(diǎn)，則需解得從而由得，答案：.【例】橢圓的離心率為,則m的值為.錯(cuò)誤解答:由,解得.錯(cuò)因剖析：沒(méi)有深刻認(rèn)識(shí)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的形式特征，事實(shí)上此題有可能，也可能，答案：故m的值為3或.【例】已知點(diǎn)在圓：外，則a的取值范圍是.錯(cuò)誤解答：由點(diǎn)在圓：外得，解得a的取值范圍是.錯(cuò)因剖析：此題只注意點(diǎn)在圓外，忽視了方程表示圓的條件，答案：.解析幾何中許多曲線的方程使用時(shí)都有一定的條件，又如例15中直線l的方程.【例】已知直線l經(jīng)過(guò)直線的交點(diǎn)，若點(diǎn)A（5，0）到l的距離為3，求直線l的方程.錯(cuò)誤解答：由得兩已知直線的交點(diǎn)P（2，1），設(shè)直線l的方程為，由，得k=，故直線l的方程為錯(cuò)因剖析：由于直線的點(diǎn)斜式方程要在斜率存在時(shí)使用，因此此解只給出部分答案.此題當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)也滿足題設(shè)，即方程也為所求.這是方程的使用條件要求我們進(jìn)行討論.【例】已知過(guò)點(diǎn)D（-2，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，若，求點(diǎn)P的軌跡方程.錯(cuò)誤解答：顯然直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k，由消y得①設(shè)，，則由韋達(dá)定理得，由得，于是有由得，代入②整理得點(diǎn)P的軌跡方程為錯(cuò)因剖析：此解中直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)的前提是方程=1\*GB3①的判別式，即，那么由知.此題正確的答案是點(diǎn)P的軌跡方程為此外本題解法中還有一處不當(dāng)，即時(shí)應(yīng)討論k是否為零.是在解直線與圓錐曲線問(wèn)題時(shí)經(jīng)常被忽視的條件，再比如例1中k的范圍的確定與此題類似，但條件更多，也很典型.此外有些變量的范圍是由幾何意義得出的，如例2中由A、B、C不共線，得.【例】若動(dòng)點(diǎn)在曲線上變化，則的最大值為.錯(cuò)誤解答:，則當(dāng)時(shí)最大，最大值為.錯(cuò)因剖析：此解沒(méi)注意到方程對(duì)y范圍的限制.事實(shí)上，,于是當(dāng)時(shí)，，最大，最大值為；當(dāng)時(shí)，若最大，最大值為【易錯(cuò)點(diǎn)19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為０．尤其是直線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.例、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易忽視對(duì)方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯(lián)立方程組消去y得到（1）當(dāng)時(shí)，即，方程為關(guān)于x的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)（3）當(dāng)時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)且。（4）當(dāng)時(shí)即或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。綜上知當(dāng)或時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)且。時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過(guò)這一點(diǎn)也說(shuō)明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過(guò)本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一。【練】（1）（2005重慶卷）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的左右頂點(diǎn)，而的左右頂點(diǎn)分別是的左右焦點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程（2）若直線與橢圓及雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足，其中O為原點(diǎn)，求k的取值范圍。答案：（1）（2）（2）已知雙曲線C：，過(guò)點(diǎn)P（1，1）作直線l,使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有____條。答案：4條（可知kl存在時(shí)，令l:y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-(1-k2)-4=0,∴當(dāng)4-k2=0即k=±2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠±2時(shí)，由Δ=0有，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)kl不存在時(shí)，x=1也和曲線C有一個(gè)切點(diǎn)∴綜上，共有4條滿足條件的直線）三角恒等變換與解三角形【例】已知，則.答案：【例】的值為（）答案：D【例】在中，已知角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若求其它的邊和角.答案：.【易錯(cuò)點(diǎn)20】易遺忘關(guān)于和齊次式的處理方法。例、已知，求（1）；（2）的值.【思維分析】將式子轉(zhuǎn)化為正切如利用可將（2）式分子分母除去即可。解：（1）；(2).【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用齊次式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)（如果不具備，通過(guò)構(gòu)造的辦法得到），進(jìn)行弦、切互化，就會(huì)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化。這些統(tǒng)稱為1的代換)常數(shù)“1”的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．【練】．已知的值.答案：（原式可化為，）例、下列命題正確的是（）A、、都是第二象限角，若，則B、、都是第三象限角，若，則C、、都是第四象限角，若，則D、、都是第一象限角，若，則。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】學(xué)生在解答此題時(shí)易出現(xiàn)如下錯(cuò)誤：（1）將象限角簡(jiǎn)單理解為銳角或鈍角或270到360度之間的角。（2）思維轉(zhuǎn)向利用三角函數(shù)的單調(diào)性，沒(méi)有應(yīng)用三角函數(shù)線比較兩角三角函數(shù)值大小的意識(shí)而使思維受阻。解析：A、由三角函數(shù)易知此時(shí)角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要小即B、同理可知C、知滿足條件的角的正切線的數(shù)量比角的正切線的數(shù)量要大即。正確。D、同理可知應(yīng)為?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】單位圓的三角函數(shù)線將抽象的角的三角函數(shù)值同直觀的有向線段的數(shù)量對(duì)應(yīng)起來(lái)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，要注意一點(diǎn)的就是角的三角函數(shù)值是有向線段的數(shù)量而不是長(zhǎng)度。三角函數(shù)線在解三角不等式、比較角的同名函數(shù)值的大小、三角關(guān)系式的證明都有著廣泛的應(yīng)用并且在這些方面有著一定的優(yōu)越性。例如利用三角函數(shù)線易知，等。【練】（2000全國(guó)高考）已知，那么下列命題正確的是（）若、都是第一象限角，則B、若、都是第二象限角，則若、都是第三象限角，則D、若、都是第四象限角，則答案：D【易錯(cuò)點(diǎn)23】在利用三角函數(shù)的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時(shí)。易將和求錯(cuò)。例．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）先將每個(gè)x值擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，y值不變，再向右平移個(gè)單位。先將每個(gè)x值縮小到原來(lái)的倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。先把每個(gè)x值擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，y值不變，再向左平移個(gè)單位。先把每個(gè)x值縮小到原來(lái)的倍，y值不變，再向右平移個(gè)單位?！疽族e(cuò)點(diǎn)24】沒(méi)有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對(duì)角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。例、已知，求的值。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題可依據(jù)條件，利用可解得的值，再通過(guò)解方程組的方法即可解得、的值。但在解題過(guò)程中易忽視這個(gè)隱含條件來(lái)確定角范圍，主觀認(rèn)為的值可正可負(fù)從而造成增解。解析：據(jù)已知（1）有，又由于，故有，從而即（2）聯(lián)立（1）（2）可得，可得?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值過(guò)程中，角的范圍的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過(guò)程中要注意在已有條件的基礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的三角函數(shù)值的符號(hào)、三角形中各內(nèi)角均在區(qū)間內(nèi)、與已知角的三角函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性等。本題中實(shí)際上由單位圓中的三角函數(shù)線可知若則必有,故必有。【練】（1994全國(guó)高考）已知，則的值是。答案：【易錯(cuò)點(diǎn)25】根據(jù)已知條件確定角的大小，沒(méi)有通過(guò)確定角的三角函數(shù)值再求角的意識(shí)或確定角的三角函數(shù)名稱不適當(dāng)造成錯(cuò)解。例、若，且、均為銳角，求的值。、均為銳角即故【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】根據(jù)已知條件確定角的大小，一定要轉(zhuǎn)化為確定該角的某個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)此三角函數(shù)值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意兩點(diǎn)一就是要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù)名稱同時(shí)要注意盡量用已知角表示待求角，這就需要一定的角的變換技巧如：等。二是依據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)要注意確定角的范圍的技巧?！疽族e(cuò)點(diǎn)】對(duì)正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)：如圖象、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心易遺忘或沒(méi)有深刻理解其意義。例、如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么a等于（）A.B.－C.1D.－1【易錯(cuò)點(diǎn)分析】函數(shù)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對(duì)稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)時(shí)，y=0，導(dǎo)致解答出錯(cuò)。解析：（法一）函數(shù)的解析式可化為，故的最大值為，依題意，直線是函數(shù)的對(duì)稱軸，則它通過(guò)函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)即，解得.故選D（法二）依題意函數(shù)為,直線是函數(shù)的對(duì)稱軸,故有，即：，而故，從而故選D.（法三）若函數(shù)關(guān)于直線是函數(shù)的對(duì)稱則必有，代入即得?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)它們有無(wú)窮多條對(duì)稱軸及無(wú)數(shù)多個(gè)對(duì)稱中心，它們的意義是分別使得函數(shù)取得最值的x值和使得函數(shù)值為零的x值，這是它們的幾何和代數(shù)特征。希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)本題的三種解法根據(jù)具體問(wèn)題的不同靈活處理。【練】（1）（2003年高考江蘇卷18）已知函數(shù)上R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和ω的值.答案：或。（2）（2005全國(guó)卷一第17題第一問(wèn)）設(shè)函數(shù)的，圖象的一條對(duì)稱軸是直線，求答案：=【易錯(cuò)點(diǎn)27】利用正弦定理解三角形時(shí)，若已知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，易忽視三角形解的個(gè)數(shù)。例、在中，。求的面積【易錯(cuò)點(diǎn)分析】根據(jù)三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內(nèi)角C，則相應(yīng)的三角形內(nèi)角A即可確定再利用即可求得。但由于正弦函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)所以滿足條件的角可能不唯一，這時(shí)要借助已知條件加以檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解。解析：根據(jù)正弦定理知：即得，由于即滿足條件的三角形有兩個(gè)故或.則或故相應(yīng)的三角形面積為或.【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理能夠解決兩類問(wèn)題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數(shù)在在區(qū)間內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此時(shí)三角形解的情況可能是無(wú)解、一解、兩解，可通過(guò)幾何法來(lái)作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。如：在中，已知a,b和A解的情況如下：當(dāng)A為銳角（2）若A為直角或鈍角【練】（2001全國(guó)）如果滿足，，的三角表恰有一個(gè)那么k的取值范圍是（）A、B、C、D、或答案：D【易錯(cuò)點(diǎn)28】三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題。對(duì)三角變換同三角形邊、角之間知識(shí)的結(jié)合的綜合應(yīng)用程度不夠?！揪殹浚?）（2004年北京春季高考）在中，a，b，c分別是的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a，b，c成等比數(shù)列，且，求的大小及的值。答案：，（2）（2005天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)a、b、c滿足條件和。求∠A和的值。答案：，九、不等式【例】（2011浙江）若為實(shí)數(shù)，則“”是“a”的（）答案：A【例】設(shè)若求的最小值.答案：的最小值為的最小值為【例】（2011重慶）已知?jiǎng)t的最小值是（）答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)29】含參分式不等式的解法。易對(duì)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)把握不準(zhǔn)，分類討論達(dá)不到不重不漏的目的。例、解關(guān)于x的不等式＞1(a≠1).【易錯(cuò)點(diǎn)分析】將不等式化為關(guān)于x的一元二次不等式后，忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)的討論，導(dǎo)致錯(cuò)解。解：原不等式可化為：＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1時(shí)，原不等式無(wú)解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時(shí)原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞).當(dāng)a＜1時(shí)，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)綜上所述：當(dāng)a＞1時(shí)解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為(2，)；當(dāng)a=0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為(，2).【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡(jiǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問(wèn)題：(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.(2)掌握用序軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.(3)掌握無(wú)理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種基本類型的解法.(4)掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法.(5)在解不等式的過(guò)程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解的不等式.(6)對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論.【練】（2005年江西高考）已知函數(shù)為常數(shù)）,且方程有兩個(gè)實(shí)根為（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè),解關(guān)于的不等式：答案：①當(dāng)時(shí),解集為②當(dāng)時(shí),不等式為解集為③當(dāng)時(shí),解集為【易錯(cuò)點(diǎn)30】求函數(shù)的定義域與求函數(shù)值域錯(cuò)位例、已知函數(shù)（1）如果函數(shù)的定義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。（2）如果函數(shù)的值域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生易忽視對(duì)是否為零的討論，而導(dǎo)致思維不全面而漏解。另一方面對(duì)兩個(gè)問(wèn)題中定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽的含義理解不透徹導(dǎo)致錯(cuò)解。解析：（1）據(jù)題意知若函數(shù)的定義域?yàn)镽即對(duì)任意的x值恒成立，令，當(dāng)=0時(shí)，即或。經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)適合，當(dāng)時(shí)，據(jù)二次函數(shù)知識(shí)若對(duì)任意x值函數(shù)值大于零恒成立，只需解之得或綜上所知m的取值范圍為或。（2）如果函數(shù)的值域?yàn)镽即對(duì)數(shù)的真數(shù)能取到任意的正數(shù)，令當(dāng)=0時(shí)，即或。經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)適合，當(dāng)時(shí)，據(jù)二次函數(shù)知識(shí)知要使的函數(shù)值取得所有正值只需解之得綜上可知滿足題意的m的取值范圍是。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于二次型函數(shù)或二次型不等式若二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，要注意對(duì)字母是否為零進(jìn)行討論即函數(shù)是一次函數(shù)還是二次函數(shù)不等式是一次不等式還是二次不等式。同時(shí)通過(guò)本題的解析同學(xué)們要認(rèn)真體會(huì)這種函數(shù)與不等式二者在解題中的結(jié)合要通過(guò)二者的相互轉(zhuǎn)化而獲得解題的突破破口。再者本題中函數(shù)的定義域和值域?yàn)镽是兩個(gè)不同的概念，前者是對(duì)任意的自變量x的值函數(shù)值恒正，后者是函數(shù)值必須取遍所有的正值二者有本質(zhì)上的區(qū)別?！揪殹恳阎瘮?shù)的定義域和值域分別為R試分別確定滿足條件的a的取值范圍。答案：（1）或（2）或【易錯(cuò)點(diǎn)31】不等式的證明方法。學(xué)生不能據(jù)已知條件選擇相應(yīng)的證明方法,達(dá)不到對(duì)各種證明方法的靈活應(yīng)用程度。例、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+)(b+)≥.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題若直接應(yīng)用重要不等式證明，顯然a+和b+不能同時(shí)取得等號(hào)，本題可有如下證明方法。證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，即證4(ab)2－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2，∴ab≤，從而得證.證法二：(均值代換法)設(shè)a=+t1，b=+t2.∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=時(shí)，等號(hào)成立.證法三：(比較法）∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤證法四：(綜合法)∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.證法五：(三角代換法)∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】1.不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述；如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證.(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開(kāi)擴(kuò)視野.2.不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查.有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言特點(diǎn).【易錯(cuò)點(diǎn)33】利用函數(shù)的的單調(diào)性構(gòu)造不等關(guān)系。要明確函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間及定義域限制。例、記，若不等式的解集為，試解關(guān)于t的不等式。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題雖然不能求出a,b,c的具體值，但由不等式的解集與函數(shù)及方程的聯(lián)系易知1,3是方程的兩根，但易忽視二次函數(shù)開(kāi)口方向，從而錯(cuò)誤認(rèn)為函數(shù)在上是增函數(shù)。解析：由題意知，且故二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。又因?yàn)椋视啥魏瘮?shù)的單調(diào)性知不等式等價(jià)于即故即不等式的解為：。【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)的單調(diào)性實(shí)質(zhì)是就體現(xiàn)了不等關(guān)系，故函數(shù)與不等式的結(jié)合歷來(lái)都是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，也是我們解答不等式問(wèn)題的重要工具，在解題過(guò)程中要加意應(yīng)用意識(shí)，如指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式、涉及抽象函數(shù)類型的不等式等等都與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)。【練】（1）（2005遼寧4月份統(tǒng)考題）解關(guān)于的不等式答案：當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)，解集為當(dāng)時(shí)解集為。（2005全國(guó)卷Ⅱ）設(shè)函數(shù),求使≥的的x取值范圍。答案：x取值范圍是六、平面向量【例】（07福建）對(duì)于向量和實(shí)數(shù)，下列命題中真命題是（）A.B.C.D.答案：B【例】已知的夾角為450，則使與的夾角為銳角的的取值范圍是.答案：.【例】（天津卷理15）在四邊形ABCD中，==（1，1），，則四邊形ABCD的面積是.答案：.錯(cuò)因——不清楚與∠ABC的角平分線有關(guān).【易錯(cuò)點(diǎn)35】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用。易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。例、下列命題：① ② ③ |·|=||·||④若∥∥則∥ ⑤∥，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使 ⑥若，且≠，則⑦設(shè)是平面內(nèi)兩向量，則對(duì)于平面內(nèi)任何一向量，都存在唯一一組實(shí)數(shù)x、y，使成立。⑧若|+|=|－|則·=0。⑨·=0，則=或=真命題個(gè)數(shù)為（） A．1 B．2 C．3 D．3個(gè)以上【易錯(cuò)點(diǎn)分析】共線向量、向量的數(shù)乘、向量的數(shù)量積的定義及性質(zhì)和運(yùn)算法則等是向量一章中正確應(yīng)用向量知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題的前提，在這里學(xué)生極易將向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算等同起來(lái)，如認(rèn)為向量的數(shù)量積的運(yùn)算和實(shí)數(shù)一樣滿足交換律產(chǎn)生一些錯(cuò)誤的結(jié)論。答案：B【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知ａ，ｂ，с和實(shí)數(shù)λ，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ(交換律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）(數(shù)乘結(jié)合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с(分配律)說(shuō)明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ，(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２【練】（1）（2002上海春，13）若a、b、c為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是（）A.（a+b）+c=a+（b+c）B.（a+b）·c=a·c+b·cC.m（a+b）=ma+mbD.（a·b）c=a（b·c）（2）(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①（a·b）c－（c·a）b=0②|a|－|b|<|a－b|③（b·c）a－（c·a）b不與c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命題的有（）A.①② B.②③ C.③④ D.②④答案：（1）D（2）D【易錯(cuò)點(diǎn)36】利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運(yùn)算的幾何意義解題時(shí)，數(shù)形結(jié)合的意識(shí)不夠，忽視隱含條件。例、四邊形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形?四邊形ABCD是矩形【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】向量是高考的一個(gè)亮點(diǎn)，因?yàn)橄蛄恐R(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視。基于這一點(diǎn)解決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立起數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的解題思路。例如很多重要結(jié)論都可用這種思想直觀得到：（1）向量形式的平行四邊形定理：2（｜｜+｜｜）=｜－｜+｜+｜（2）向量形式的三角形不等式：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜(試問(wèn)：取等號(hào)的條件是什么?)；（3）在△ABC中，若點(diǎn)P滿足；=則直線AP必經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心等等有用的結(jié)論。【練】（1）（2003高考江蘇）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的 （）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心（2）（2005全國(guó)卷文科）點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的（ ）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) （B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) （C）三條中線的交點(diǎn) （D）三條高的交點(diǎn)（3）（2005全國(guó)卷Ⅰ）的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，，則實(shí)數(shù)m=答案：（1）B（2）D（3）m=1【易錯(cuò)點(diǎn)37】忽視向量積定義中對(duì)兩向量夾角的定義。例、已知中,,求【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題易錯(cuò)誤碼的認(rèn)為兩向量和夾角為三角形ABC的內(nèi)角C導(dǎo)致錯(cuò)誤答案.解析:由條件根據(jù)余弦定理知三角形的內(nèi)角，故兩向量和夾角為的補(bǔ)角即,故據(jù)數(shù)量積的定義知.【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】高中階段涉及角的概念不少,在學(xué)習(xí)過(guò)程中要明確它們的概念及取值范圍,如直線的傾斜角的取值范圍是，兩直線的夾角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是，異面直線所成的角的范圍是，直線和平面所成的角的范圍是二面角的取值范圍是。【練】（2004上海春招）在ΔABC中，有如下命題，其中正確的是（）（1）（2）（3）若，則ΔABC為等腰三角形（4）若，則ΔABC為銳角三角形。A、（1）（2）B、（1）（4）C、（2）（3）D、（2）（3）（4）答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)38】向量數(shù)積積性質(zhì)的應(yīng)用。例、已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角。【思維分析】本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹(shù)立整體求解的思想。解析：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②兩式相減：2ab=b2代入①或②得：a2=b2設(shè)a、b的夾角為，則cos=∴=60。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】利用向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可解決涉及長(zhǎng)度、角度、垂直等解析幾何、立體幾何、代數(shù)等問(wèn)題，要熟記并靈活應(yīng)用如下性質(zhì)：設(shè)ａ與ｂ都是非零向量，①ａ與ｂ的數(shù)量積的幾何意義是向量ａ在向量ｂ方向的單位向量正射影的數(shù)量②ａ⊥ｂａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜２或｜ａ｜＝④ｃｏｓθ＝⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜【練】（1）（2005高考江西卷）已知向量若則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：C（2）（2005浙江卷）已知向量≠，||＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，則(A)⊥(B)⊥(－)(C)⊥(－)(D)(＋)⊥(－)答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)39】向量與三角函數(shù)求值、運(yùn)算的交匯例、，與的夾角為θ1，與的夾角為θ2，且的值.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在解答過(guò)程中，學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來(lái)，注意在用已知角表示兩組向量的夾角的過(guò)程中，易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。解析：故有因，從而【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交匯性，向量是新課程新增內(nèi)容，具體代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系這些知識(shí)的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢(shì)。高考對(duì)三角的考查常常以向量知識(shí)為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的?；蛳蛄康倪\(yùn)算來(lái)進(jìn)行考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力?！揪殹浚?）（2005高考江西）已知向量,令是否存在實(shí)數(shù),使（其中是的導(dǎo)函數(shù)）？若存在,則求出的值；若不存在,則證明之答案：存在實(shí)數(shù)使等式成立。（2）（2005山東卷）已知向量和，且求的值.答案：?！疽族e(cuò)點(diǎn)40】向量與解三角形的交匯。例、ΔABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=eq\o(\s\up6(→),0)。①求數(shù)量積，eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)，eq\o(\s\up6(→),OB)·eq\o(\s\up6(→),OC)，eq\o(\s\up6(→),OC)·eq\o(\s\up6(→),OA)；②求ΔABC的面積?！舅季S分析】第1由題意可知3eq\o(\s\up6(→),OA)、4eq\o(\s\up6(→),OB)、5eq\o(\s\up6(→),OC)三向量的模，故根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律將一向量移項(xiàng)平方即可。第2問(wèn)據(jù)題意可將已知三角形分割成三個(gè)小三角形利用正弦理解答。解析：①∵|eq\o(\s\up6(→),OA)|=|eq\o(\s\up6(→),OB)|=|eq\o(\s\up6(→),OC)|=1由3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=eq\o(\s\up6(→),0)得：3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)=－5eq\o(\s\up6(→),OC)兩邊平方得：9eq\o(\s\up6(→),OA)2＋24eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)＋16eq\o(\s\up6(→),OB)2=25eq\o(\s\up6(→),OC)2∴eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)=0同理：由4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=－3eq\o(\s\up6(→),OA)求得eq\o(\s\up6(→),OB)·eq\o(\s\up6(→),OC)=－eq\f(4,5)由3eq\o(\s\up6(→),OA)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=－4eq\o(\s\up6(→),OB)求得eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OC)=－eq\f(3,5)②由eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)=0,故=eq\f(1,2)|eq\o(\s\up6(→),OA)||eq\o(\s\up6(→),OB)|=eq\f(1,2)由eq\o(\s\up6(→),OB)·eq\o(\s\up6(→),OC)=－eq\f(4,5)得cos∠BOC=－eq\f(4,5)∴sin∠BOC=－eq\f(3,5)∴=eq\f(1,2)|eq\o(\s\up6(→),OB)||eq\o(\s\up6(→),OC)|sin∠BOC=eq\f(3,10)，由eq\o(\s\up6(→),OC)·eq\o(\s\up6(→),OA)=－eq\f(3,5)得cos∠COA=－eq\f(3,5)∴sin∠COA=eq\f(4,5)∴=eq\f(1,2)|eq\o(\s\up6(→),OC)||eq\o(\s\up6(→),OA)|sin∠COA=eq\f(2,5)即=＋＋=eq\f(1,2)＋eq\f(3,10)＋eq\f(2,5)=eq\f(6,5)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題考查了向量的模、向量的數(shù)量積的運(yùn)算，用于表達(dá)三角形的內(nèi)角、面積。【練】（1）（2005全國(guó)卷Ⅲ）△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a,b,c，已知a,b,c成等比數(shù)列，且cosB＝。（1）求cotA+cotC的值；（2）設(shè)，求的值。答案：（1）（3）。（2）已知向量=（2，2），向量與向量的夾角為，且·=－2，①求向量；②若，其中A、C是△ABC的內(nèi)角，若三角形的三內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，試求|+|的取值范圍.答案：①或②【易錯(cuò)點(diǎn)41】與向量相結(jié)合的三角不等式，學(xué)生的綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力不夠。例、已知二次函數(shù)f(x)對(duì)任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，設(shè)向量eq\o(\s\up6(→),a)=(sinx,2)，eq\o(\s\up6(→),b)=(2sinx,eq\f(1,2))，eq\o(\s\up6(→),c)=(cos2x,1)，eq\o(\s\up6(→),d)=(1,2)，當(dāng)x∈[0,π]時(shí)，求不等式f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))＞f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))的解集.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】易忽視二次函數(shù)的開(kāi)口方向的討論和三角、向量、函數(shù)三者的綜合程度不夠。解析：設(shè)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為m，其圖象上的兩點(diǎn)為A(1－x,y1)、B(1＋x,y2)，因?yàn)閑q\f((1－x)＋(1＋x),2)=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，若m＞0，則x≥1時(shí)，f(x)是增函數(shù)；若m＜0，則x≥1時(shí)，f(x)是減函數(shù)。∵eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b)=（sinx，2）·（2sinx,eq\f(1,2)）=2sin2x＋1≥1，eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d)=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴當(dāng)m＞0時(shí)，f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))＞f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋,k∈zkπ＋＜x＜kπ＋,k∈z∵0≤x≤π∴＜x＜當(dāng)m＜0時(shí)，同理可得0≤x＜或＜x≤π綜上所述，不等式f(eq\o(\s\up6(→),a)·eq\o(\s\up6(→),b))＞f(eq\o(\s\up6(→),c)·eq\o(\s\up6(→),d))的解集是：當(dāng)m＞0時(shí)，為{x|＜x＜；當(dāng)m＞0時(shí)，為{x|0≤x＜或＜x＜π?！局R(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】在運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式時(shí)，一定要明確函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間或定義域上的單調(diào)性如何（不可忽視定義域的限制），通過(guò)本題要很好的體會(huì)向量、不等式、函數(shù)三者的綜合，提高自已應(yīng)用知識(shí)解決綜合問(wèn)題的能力?！揪殹咳粼诙x域（－1，1）內(nèi)可導(dǎo),且，點(diǎn)A(1,());B((－),1)，對(duì)任意∈(－1，1)恒有成立，試在內(nèi)求滿足不等式(sincos)+(cos2)>0的的取值范圍.答案：，()【易錯(cuò)點(diǎn)42】向量與解析幾何的交匯例42、（03年新課程高考）已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O以c+λi為方向向量的直線與經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中λ∈R.試問(wèn)：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題綜合程度較高，一方面學(xué)生對(duì)題意的理解如對(duì)方向向量的概念的理解有誤，另一面在向量的問(wèn)題情景下不能很好的結(jié)合圓錐曲線的定義來(lái)解答，使思維陷入僵局。解析：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）因此，直線OP和AP的方程分別為和.消去參數(shù)λ，得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.整理得……①因?yàn)樗缘茫海╥）當(dāng)時(shí)，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F；（ii）當(dāng)時(shí)，方程①表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，方程①也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。在高考中向量與圓錐曲線的結(jié)合是成為高考命題的主旋律，在解題過(guò)程中一方面要注意在給出的向量問(wèn)題情景中轉(zhuǎn)化出來(lái)另一方面也要注意應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決解析幾何問(wèn)題如：線段的比值、長(zhǎng)度、夾角特別是垂直、點(diǎn)共線等問(wèn)題，提高自已應(yīng)用向量知識(shí)解決解析幾何問(wèn)題的意識(shí)?！揪殹浚?）（2005全國(guó)卷1）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線。（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。答案：（1）（2）=1（2）（02年新課程高考天津卷）已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），且點(diǎn)P使·，·,·成公差小于零的等差數(shù)列（1）點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為（），記為與的夾角，求；答案：①點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的右半圓②tan=|y|（3）（2001高考江西、山西、天津）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2x與過(guò)焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，則等于（）A.B.－C.3D.－3答案：B【易錯(cuò)點(diǎn)43】解析幾何與向量的數(shù)量積的性質(zhì)如涉及模、夾角等的結(jié)合。例、已知橢圓C：上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn),其中的距離的最小值為1.（1）請(qǐng)確定M點(diǎn)的坐標(biāo)（2）試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)M點(diǎn)的直線,使與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)A、B滿足條件（O為原點(diǎn)）,若存在,求出的方程,若不存在請(qǐng)說(shuō)是理由。【思維分析】此題解題關(guān)鍵是由條件知從而將條件轉(zhuǎn)化點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算再結(jié)合韋達(dá)定理解答。解析：設(shè)，由得故由于且故當(dāng)時(shí)，的最小值為此時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值為解得不合題意舍去。綜上所知當(dāng)是滿足題意此時(shí)M的坐標(biāo)為（1，0）。（2）由題意知條件等價(jià)于，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，與C的交點(diǎn)為，此時(shí)，設(shè)的方程為，代入橢圓方程整理得，由于點(diǎn)M在橢圓內(nèi)部故恒成立，由知即，據(jù)韋達(dá)定理得，代入上式得得不合題意。綜上知這樣的直線不存在?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】在解題過(guò)程中要注意將在向量給出的條件轉(zhuǎn)化向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而與兩交點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)才自然應(yīng)用韋達(dá)定理建立起關(guān)系式。此題解答具有很強(qiáng)的示范性，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真體會(huì)、融會(huì)貫通?！揪殹恳阎獧E圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，以右焦點(diǎn)為圓心，過(guò)另一焦點(diǎn)的圓被右準(zhǔn)線截的兩段弧長(zhǎng)之比2:1,為此平面上一定點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程（2）若直線與橢圓交于如圖兩點(diǎn)A、B，令。求函數(shù)的值域答案：（1）（2）[易錯(cuò)點(diǎn)44]牢記常用的求導(dǎo)公式，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥】掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法關(guān)鍵在于分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，適當(dāng)選定中間變量，分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)，而其中要特別注意的是中間變量的系數(shù)。【易錯(cuò)點(diǎn)45】求曲線的切線方程。例、（2005高考福建卷）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1，f（－1））處的切線方程為.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；【思維分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答。解析：（Ⅰ）由的圖象經(jīng)過(guò)P（0，2），知d=2，所以由在處的切線方程是，知故所求的解析式是【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)處的切線的斜率．由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為特別地，如果曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線平行于y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程為。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義作為解題工具，有可能出現(xiàn)在解析幾何綜合試題中，復(fù)習(xí)時(shí)要注意到這一點(diǎn).【練】（2005福建卷）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)M（－1，f(x)）處的切線方程為x+2y+5=0.（Ⅰ）求函數(shù)y=f(x)的解析式；答案：（2）（2005高考湖南卷）設(shè)，點(diǎn)P（，0）是函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.（Ⅰ）用表示a，b，c；答案：故，，【易錯(cuò)點(diǎn)46】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域。例、(2005全國(guó)卷III)已知函數(shù)，（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和值域；（Ⅱ）設(shè)，函數(shù)，若對(duì)于任意，總存在使得成立，求的取值范圍。【易錯(cuò)點(diǎn)分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間仍然要樹(shù)立起定義域優(yōu)先的意識(shí)，同時(shí)要培養(yǎng)自已的求導(dǎo)及解不等式的運(yùn)算能力第（Ⅱ）問(wèn)要注意將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的值域是函數(shù)的值域的子集，從而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在區(qū)間上的值域。解析(Ⅰ)，令解得或,在，所以為單調(diào)遞減函數(shù)；在，所以為單調(diào)遞增函數(shù)；又，即的值域?yàn)閇-4，-3]，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的值域?yàn)閇-4，-3].(單調(diào)區(qū)間為閉區(qū)間也可以).（Ⅱ）∵,又，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，有.又，即當(dāng)時(shí)，有，任給，有，存在使得，則又，所以的取值范圍是?！局R(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具出現(xiàn)，側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與解析幾何中的應(yīng)用，主要有以下幾個(gè)方面：①運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)最值問(wèn)題，一直是高考長(zhǎng)考不衰的熱點(diǎn)內(nèi)容．另一方面，從數(shù)學(xué)角度反映實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，順利地解決函數(shù)的最大值與最小值問(wèn)題，從而進(jìn)一步地解決實(shí)際問(wèn)題．用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，因此，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作為2006年高考命題重點(diǎn)應(yīng)引起高度注意．單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程，已知（1）分析的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)（3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域