2023屆天津市和平區(qū)高三下學(xué)期第三次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題及答案

高三下學(xué)期第三次質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.集合，，那么〔

〕.A.

B.

C.

D.

2.“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直〞是“直線與平面垂直〞的〔

〕A.

充分不必要條件

B.

必要不充分條件

C.

充要條件

D.

既不必要也不充分條件3.某市通過統(tǒng)計(jì)50個(gè)大型社區(qū)產(chǎn)生的日均垃圾量，繪制了如以下列圖所示的頻率分布直方圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：，，，，，，.為了鼓勵(lì)率先實(shí)施垃圾分類回收，將日均垃圾量不少于14噸的社區(qū)劃定為試點(diǎn)社區(qū)，那么這樣的試點(diǎn)社區(qū)個(gè)數(shù)是〔

〕.A.

4

B.

10

C.

19

D.

404.意大利畫家列奧納多·達(dá)·芬奇的畫作?抱銀鼠的女子?〔如下列圖〕中，女士頸部的黑色珍珠項(xiàng)鏈與她懷中的白貂形成比照.光線和陰影襯托出人物的優(yōu)雅和柔美.達(dá)·芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題〞.后人研究得出，懸鏈線并不是拋物線，而是與解析式為的“雙曲余弦函數(shù)〞相關(guān).以下選項(xiàng)為“雙曲余弦函數(shù)〞圖象的是〔

〕A.

B.

C.

D.

5.設(shè)，，，那么，，的大小關(guān)系為〔

〕.A.

B.

C.

D.

6.在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，球分別與圓柱的上、下底面及母線均有且只有一個(gè)公共點(diǎn).假設(shè)，那么圓柱的外表積為〔

〕.A.

B.

C.

D.

7.點(diǎn)F是雙曲線〔，〕的一個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)、虛軸的一個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)F恰好是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，那么雙曲線的離心率為〔

〕.A.

B.

C.

D.

8.函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，那么以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是〔

〕.A.

是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

B.

是最小正周期為的奇函數(shù)

C.

在上單調(diào)遞增

D.

先將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的，然后把所得函數(shù)圖象再向左平移個(gè)單位長度，即可得到函數(shù)的圖象9.在中，，，，假設(shè)，那么實(shí)數(shù)(

)A.

B.

C.

D.

二、填空題10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，那么z的共軛復(fù)數(shù)________.11.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是________.12.設(shè)，拋物線的準(zhǔn)線l與圓相切，那么________.13.假設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，那么的最小值是________.14.函數(shù)，假設(shè)函數(shù)使得方程恰有3個(gè)不同根，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.15.某校象棋社團(tuán)開展競賽活動(dòng)，比賽中雙方有一人獲勝或者雙方和棋那么比賽結(jié)束.根據(jù)以往比賽結(jié)果，在一局比賽中，甲戰(zhàn)勝乙的概率是，兩人和棋的概率是，那么乙戰(zhàn)勝甲的概率是________；甲乙兩人比賽2局，每局勝方記3分，負(fù)方記0分，和棋雙方各記1分，那么甲得分不少于2分的概率是________.三、解答題16.中，角，，的對(duì)邊分別為，，，假設(shè)，且，.〔Ⅰ〕求的長；〔Ⅱ〕求的值；〔Ⅲ〕求的值.17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，．過點(diǎn)做四棱錐的截面，分別交，，于點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求與平面所成角的正弦值．18.橢圓的離心率，且經(jīng)過點(diǎn).〔Ⅰ〕求橢圓的方程；〔Ⅱ〕點(diǎn)和點(diǎn)，過點(diǎn)的動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)〔在左側(cè)〕，試討論與的大小關(guān)系，并說明理由.19.是各項(xiàng)都為整數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，，，.〔Ⅰ〕求和的通項(xiàng)公式；〔Ⅱ〕設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)乘積，即，.〔ⅰ〕求；〔ⅱ〕假設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，求證：.20.函數(shù)．〔1〕求函數(shù)在處的切線方程；〔2〕證明：〔ⅰ〕；〔ⅱ〕，．

答案解析局部一、單項(xiàng)選擇題1.【解析】【解答】由題意，集合，，根據(jù)集合并集的運(yùn)算，可得。故答案為：A.

【分析】利用絕對(duì)值不等式求解集的方法求出集合A，再利用并集的運(yùn)算法那么求出集合A和集合B的并集。2.【解析】【解答】設(shè)命題：直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，命題：直線與平面垂直，那么，但，所以是的必要不充分條件.故答案為：B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷.3.【解析】【解答】解：日均垃圾量不少于14噸的組為和，頻率和為，那么個(gè)。故答案為：B.

【分析】利用條件結(jié)合頻率分布直方圖各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，從而求出日均垃圾量不少于14噸的組和的頻率和，再利用頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量，從而求出這樣的試點(diǎn)社區(qū)個(gè)數(shù)。4.【解析】【解答】令，那么該函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)，排除B選項(xiàng).由根本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，函數(shù)的最小值為，排除AD選項(xiàng).故答案為：C.

【分析】利用“雙曲余弦函數(shù)〞的定義，令，再利用偶函數(shù)的定義判斷出其為偶函數(shù)，再利用偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱性結(jié)合均值不等式求最值的方法，從而求出其最小值，進(jìn)而結(jié)合排除法選出“雙曲余弦函數(shù)〞圖象。5.【解析】【解答】指數(shù)函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，，那么，對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，那么，所以有，即。故答案為：D

【分析】利用條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合與特殊值對(duì)應(yīng)的指數(shù)與對(duì)數(shù)大小關(guān)系比較，從而比較出a,b,c的大小。6.【解析】【解答】依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以圓柱的外表積。故答案為：C.

【分析】利用條件可得圓柱的底面半徑和高，再利用圓柱的外表積公式求出圓柱的外表積。7.【解析】【解答】如下列圖：設(shè)A為實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)，B為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，那么，所以得，所以，解得。故答案為：B

【分析】設(shè)A為實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)，B為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，那么，再利用余弦函數(shù)的定義得出，再利用雙曲線的離心率公式變形結(jié)合解一元二次方程的方法，從而求出雙曲線的離心率。8.【解析】【解答】解：，當(dāng)時(shí)，取到最值，即解得，．A：，那么是圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，A符合題意；B：，故不是奇函數(shù)，B不符合題意；C：當(dāng)時(shí)，，又在上先增后減，那么在上先增后減，C不符合題意；D.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的，然后把所得函數(shù)圖象再向左平移個(gè)單位長度，得，D不符合題意．故答案為：A

【分析】利用條件結(jié)合二倍角的正弦公式和余弦公式，再結(jié)合輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求出正弦型函數(shù)的對(duì)稱軸，再利用函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為，從而求出a的值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求出正弦型函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式求出正弦型函數(shù)的最小正周期，再結(jié)合奇函數(shù)的定義，從而判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像判斷出正弦型函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象變換得出將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來的，然后把所得函數(shù)圖象再向左平移個(gè)單位長度，進(jìn)而得出函數(shù)f(x)的圖像，從而選出正確結(jié)論的選項(xiàng)。9.【解析】【解答】由，知為的重心，所以，又，所以，，

所以，.故答案為：D【分析】將、用、表示，再代入中計(jì)算即可.二、填空題10.【解析】【解答】，因此，。故答案為：。

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法那么求出復(fù)數(shù)z，再利用復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，從而求出復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)。11.【解析】【解答】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式為，

令，解得，

那么常數(shù)項(xiàng)為，

故答案為：-160

【分析】由得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令，解得，即可求出展開式中的常數(shù)項(xiàng)。12.【解析】【解答】拋物線的準(zhǔn)線l的方程為，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑長為，由于直線l與圓C相切，那么，解得。故答案為：-1。

【分析】利用條件求出拋物線的準(zhǔn)線l的方程為，再將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心坐標(biāo)和半徑長，再利用直線與圓相切的位置關(guān)系判斷方法從而求出a的值。13.【解析】【解答】解：因?yàn)?，所以，即，設(shè)，因?yàn)椋?，令，定義域?yàn)椋敲?，令，解得?舍去)，那么隨t的變化如下表，t

1

-0++

↘

↗

所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)。故答案為:。

【分析】因?yàn)?，所以，即，設(shè)，因?yàn)椋?，令，定義域?yàn)?，從而結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值，從而求出函數(shù)的最小值，進(jìn)而求出的最小值。14.【解析】【解答】由得的圖象如圖(1).〔1〕當(dāng)時(shí)，要使得方程恰有3個(gè)不同根，那么需存在，使得，即.又，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖(2)，故.〔2〕當(dāng)時(shí)，由圖(1)知需與函數(shù)相切.設(shè)切點(diǎn)為，那么，即過點(diǎn)，故，解得.因?yàn)椋?所以.〔3〕當(dāng)時(shí)，顯然符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或。故答案為：或。

【分析】利用分段函數(shù)的解析式畫出分段函數(shù)的圖像，再利用分類討論的方法結(jié)合方程的根與兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的等價(jià)關(guān)系，再結(jié)合條件函數(shù)使得方程恰有3個(gè)不同根，從而結(jié)合求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)在切點(diǎn)處的切線方程，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍。15.【解析】【解答】由題意，在一局比賽中，甲戰(zhàn)勝乙的概率是，兩人和棋的概率是，那么乙戰(zhàn)勝甲的概率是；由甲、乙兩人比賽2局，每局勝方記3分，負(fù)方記0分，和棋雙方各記1分，設(shè)甲得分不少于2分為事件A，那么事件表示乙勝或甲負(fù)且甲乙和，可得,所以甲得分不少于2分的概率是。故答案為：；。

【分析】由題意，在一局比賽中，甲戰(zhàn)勝乙的概率是，兩人和棋的概率是，再利用對(duì)立事件求概率公式，得出乙戰(zhàn)勝甲的概率，由甲、乙兩人比賽2局，每局勝方記3分，負(fù)方記0分，和棋雙方各記1分，設(shè)甲得分不少于2分為事件A，那么事件表示乙勝或甲負(fù)且甲乙和，再利用二項(xiàng)分布求概率公式結(jié)合對(duì)立事件求概率公式，從而求出甲得分不少于2分的概率。三、解答題16.【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合正弦定理，從而得出a,c的關(guān)系式，再利用余弦定理求出a的值。

〔2〕由〔1〕知，由余弦定理，可知角C的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式，從而結(jié)合角C在三角形中的取值范圍，從而求出角C的正弦值，再利用同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，從而求出角C的正切值。

〔3〕利用等邊對(duì)等角，那么由知，再利用三角形內(nèi)角和為180度的性質(zhì)，得出，因此，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的正切公式，從而求出的值。17.【解析】【分析】〔Ⅰ〕在上取點(diǎn)H，且滿足，連接，，可證是平行四邊形，即可證明結(jié)論；

〔Ⅱ〕建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用線面角公式計(jì)算即可求解18.【解析】【分析】〔1〕利用橢圓的離心率公式結(jié)合條件，從而求出a,c的關(guān)系式，再利用代入法結(jié)合條件，從而求出