概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)32-離散型隨機(jī)變量及其分布律課件

2.2離散型隨機(jī)變量及其分布律二、兩點(diǎn)分布三、二項(xiàng)分布四、泊松分布五、幾何分布一、離散型隨機(jī)變量的分布律定義如果一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H可能取得有限個(gè)或可列個(gè)數(shù)值，并且所有的數(shù)可按一定的順序排列，則稱該隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量X其可能的取值為稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或概率函數(shù)，也稱為分布列或分布律一、離散型隨機(jī)變量的分布律表格形式分布列的性質(zhì)：用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是分布律概率直方圖另外還可用圖形來(lái)表示分布律：線條圖、概率直方圖.0.20.40.60120.0750.3250.6線條圖0.20.40.6012PXPX0.0750.3250.6

012

X例袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次不放回地從中任取一個(gè)球，直至取得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的概率分布.解設(shè)X為取到白球時(shí)的取球次數(shù)因此,所求的概率分布為123450.20.20.20.20.2解:

依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

c≥0,從中解得即例設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)c.定義若一個(gè)隨機(jī)變量只有兩個(gè)可能的取值,其分布為且特別地,點(diǎn)分布,即參數(shù)為的兩則稱服從處的兩點(diǎn)分布.參數(shù)為若服從處則稱服從參數(shù)為的分布.二、兩點(diǎn)分布

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說(shuō)明例200

件產(chǎn)品中,有196件是正品,則服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布.于是,4件是次品,今從中隨機(jī)地抽取一件,若規(guī)定復(fù)習(xí)：伯努利模型如果一個(gè)試驗(yàn)在給定的條件下獨(dú)立重復(fù)n次,且滿足:(1)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果:且則稱這樣的試驗(yàn)為n重伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)(2)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率相等,

定理(伯努利定理)設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為則在重貝努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為三、二項(xiàng)分布定義

若隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,,n,其概率分布為…

性質(zhì)(1)(2)特別地，當(dāng)n=1時(shí)即P{X=0}=1-p,P{X=1}=p(0-1)分布二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)則稱為最可能出現(xiàn)的次數(shù)例

一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確．某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4道題的概率是多少？解

則解：將每次射擊看成一次試驗(yàn),設(shè)擊中的次數(shù)為X,則X~B(400,0.02),某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.02，獨(dú)立射擊400次，求至少擊中兩次的概率。所求概率為泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震火山爆發(fā)特大洪水

在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中

,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.隨機(jī)變量X所有可能取值為0,1,2,…,取各個(gè)值的概率稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記為X~P().(1)P{X=k}0.四、泊松(Poisson)分布性質(zhì)例一輸電網(wǎng)一年中意外輸電中斷的次數(shù)服從參數(shù)為6的Poisson分布，問(wèn)一年中不多于兩次意外斷電的概率.解設(shè)一年中的意外斷電次數(shù)為X所以,一年中不多于兩次斷電的概率為=0.06197查表(累積概率)二項(xiàng)分布的泊松逼近對(duì)二項(xiàng)分布當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，計(jì)算其概率很麻煩.例如，要計(jì)算n=5000泊松定理在重伯努利實(shí)驗(yàn)中，事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為若當(dāng)時(shí)，為常數(shù)),則有證明:例

一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過(guò)去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來(lái)描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品多少件?解設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為已知服從參數(shù)的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)該種商品件,求滿足的最小的即查泊松分布表,得于是得件.例

設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機(jī)變量

X,已知X~P()，且每個(gè)蟲卵發(fā)育成幼蟲的概率為p。設(shè)各個(gè)蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是相互獨(dú)立的，求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù)Y

的概率分布。

解一只昆蟲X

個(gè)蟲卵Y個(gè)幼蟲已知對(duì)k用全概率公式得：保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤(rùn)，需要計(jì)算投保人在一年內(nèi)死亡若干人的概率。設(shè)某保險(xiǎn)公司的某人壽保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保,每個(gè)人一年內(nèi)死亡的概率為0.005個(gè)，試求在未來(lái)一年中在這些投保人中死亡人數(shù)不超過(guò)10人的概率．對(duì)每個(gè)人而言，在未來(lái)一年是否死亡相當(dāng)于做一次伯努利試驗(yàn)，1000人就是做1000重伯努利試驗(yàn)，因此X~B(1000,0.005)，解由泊松定理考慮可列重伯努利試驗(yàn)，事件A發(fā)生稱為“成功”，①②k-1k稱隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為

p

的幾何分布。且記為五、幾何分布定理幾何分布的無(wú)記憶性設(shè)隨機(jī)變量X

服從參數(shù)為p

的幾何分布，則對(duì)任何正整數(shù)m、n，有P(X>m+n

|X>m

)=P(X>n

)。證明∵隨機(jī)變量

X

服從參數(shù)為p

的幾何分布：P(X=k)=pqk

1

，k=1，2，…（0<p<1，q=1p

）∴對(duì)任何正整數(shù)m、n，有反之，具有無(wú)記憶性的離散分布一定是幾何分布P29充分性證明交例