高中生能聽懂的有關(guān)三大幾何作圖難題的探討

高中生能聽懂的有關(guān)三大幾何作圖難題的探討第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二1.尺規(guī)作圖的由來尺規(guī)作圖是起源于古希臘(公元前800年-公元前146年)的數(shù)學(xué)課題。只使用圓規(guī)和沒有刻度的直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題。歐幾里得在《幾何原本》中對規(guī)則作了總結(jié)。

第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二2.尺規(guī)作圖的基本方法（1）通過兩個已知點(diǎn)可作一直線。

（2）已知圓心和半徑可作一個圓。

（3）若兩已知直線相交，可求其交點(diǎn)。

（4）若已知直線和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)。

（5）若兩已知圓相交，可求其交點(diǎn)。第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二3.尺規(guī)作圖的五種基本圖形（1）作一個角等于已知角

（2）平分已知角

（3）作已知直線的垂直平分線

（4）作一條線段等于已知線段

（5）過一點(diǎn)作已知直線的垂線第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二4.三大幾何問題（1）化圓為方求作一正方形，使其面積等于一已知圓（2）三等分角分任意角為三等分（3）倍立方體求作一正方體，使其體積等于已知正方體體積的2倍。第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二作一個正方形，使它的面積等于已知圓的面積。三大幾何問題（1）：化圓為方第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二你能把長方形化為等面積的正方形嗎？作圖演示第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德（約公元前287～前212），古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家。后人常把阿基米德和牛頓、高斯并列為有史以來三個貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家。阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德螺線你能想象嗎？時鐘上的指針在作勻速轉(zhuǎn)動，假如有一只小蟲子從時鐘的中心，沿指針作勻速爬動，那么蟲子最終走出的軌跡是怎么樣的？幾何畫板演示阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖4，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖4，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖4，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。阿基米德螺線的簡單畫法

有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，如圖，用一根線纏在一個線軸上，在其游離端綁上一小環(huán)，把線軸按在一張紙上，并在小環(huán)內(nèi)套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀態(tài)，然后在紙上畫出由線軸松開的線的軌跡，就得到了阿基米德螺線。阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德螺線化圓為方阿基米德的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二達(dá)芬奇式化圓為方意大利著名藝術(shù)大師達(dá)芬奇利用巧妙方法來解決化圓為方.達(dá)芬奇的非尺規(guī)作圖“化圓為方”第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二π是一個超越數(shù)化圓為方能用尺規(guī)作圖“化圓為方”的本質(zhì)第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三大幾何問題（2）：三等分角先退一步任意給你一個角，你能把它而等分嗎？第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三大幾何問題（2）：三等分角任意給你一個角，請你把它三等分。這么簡單的事，居然是歷史難題！第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二阿基米德的非尺規(guī)作圖“三等分角”第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二非尺規(guī)作圖“三等分角”O(jiān)ABRR母線：3R底面半徑：R3R3RBAV1896年，奧布里給出圓錐妙法第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二非尺規(guī)作圖“三等分角”O(jiān)ABOAB第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二沒有有理根第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二三大幾何問題（3）：倍立方體作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二據(jù)說，公元前四百多年，在古希臘雅典流行傷寒病。萬分驚惶的雅典人，向太陽神阿波羅祈禱消除災(zāi)難。太陽神指示：要消災(zāi)免禍，必須把殿前立方體香案的體積擴(kuò)大兩倍。雅典人聽了非常高興，覺得這個要求很容易辦到。于是就把香案的各條棱都擴(kuò)大了兩倍，做了個新立方體香案。不料太陽神大為震怒。原來新香案的體積并不是舊香案的兩倍，而是舊香案的八倍。那么，怎樣才能把立方體香案的體積正好擴(kuò)大兩倍呢？如果設(shè)原來香案的棱長為1，新香案的棱長就必須是2的立方根。當(dāng)時沒人能解決的。于是，只好去請教久負(fù)盛名的大學(xué)者柏拉圖。非尺規(guī)作圖“倍立方體”第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二柏拉圖先畫了兩條互相垂直相交于O點(diǎn)的直線m和l，在l上截取線段OC＝1；在m上截取線段OD＝2。再把兩個木匠用的角尺，像下圖那樣放在上面，使兩把角尺的直角點(diǎn)A、B，分別在兩條直線上，并且另外兩條臂分別通過C、D兩點(diǎn)(如圖)：非尺規(guī)作圖“倍立方體”第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍不是有理根第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二（1）三等分任意角（2）倍立方直尺與圓規(guī)不能做出一般的立方根（無理數(shù)）三等分任意角和倍立方不可能尺規(guī)作圖（3）化圓為方π是一個超越數(shù)，即是一個不能通過有理系數(shù)求根得到的數(shù)?；瘓A為方也不可能尺規(guī)作圖第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期二從方程角度理解“尺規(guī)作圖”（1）通過兩個已知點(diǎn)可作一直線。

（2）已知圓心和半徑可作一個圓。

（3）若兩已知直線相交，可求其交點(diǎn)。

（4）若已知直線和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)。

（5）