高數(shù)例題第六章定積分的應(yīng)用

高數(shù)例題第六章定積分的應(yīng)用第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二三.用定積分來表達(dá)的量應(yīng)具備的條件1.是與一個(gè)變量的變化區(qū)間有關(guān)的量。2.量對(duì)于區(qū)間具有數(shù)量的可加性。3.部分量的近似值可表示為

,其中上已知的連續(xù)函數(shù)。第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二四、求的定積分表達(dá)式的步驟（元素法）1.選取適當(dāng)?shù)姆e分變量,并確定它的變化區(qū)間。2.求出相應(yīng)于上的任意一個(gè)小區(qū)間上的部分量的近似值稱為量的元素,記作即3.以量的元素為被積表達(dá)式,在上做定積分,得,這就是所求量的積分表達(dá)式,這種方法稱作定積分的元素法(微元法)，稱為所求量的元素。第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例1．計(jì)算由兩條拋物線

所圍成的圖形的面積。第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二

§6-2定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)情形例1．計(jì)算拋物線與直線所圍成的圖形的面積。第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例2．曲線

軸所圍圖形面積，用定積分可表示

為。第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例3．設(shè)，問取何值時(shí),圖中陰影部分的面積

之和最??？第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例4.求橢圓所圍成的圖形的面積。第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二2、極坐標(biāo)情形(一)曲邊扇形的面積如圖曲邊扇形由及射線圍成，在上連續(xù),且,則曲邊扇形的面積為第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例5．計(jì)算阿基米德螺線

上相應(yīng)于

從0變到

的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積。第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例6．計(jì)算心形線

所圍成的圖形的面積。第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二

4、幾種特殊曲線的圖形

4．其它各種曲線圖形見教材。第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例7.雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為().

A.B.

C.D.第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例8.求由曲線

直線及所圍成的圖形的面積。第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二二、體積(一)旋轉(zhuǎn)體的體積1、定義：旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸。2、體積的求法(1)由連續(xù)曲線所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例9．連結(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)及點(diǎn)的直線，直線及軸圍成一個(gè)直角三角形，將它繞軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為，高為的圓錐體，計(jì)算這圓錐體的體積。

第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例10.計(jì)算由橢圓所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(叫做旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積

第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二(2)由連續(xù)曲線，直線

軸所圍成的曲邊梯形,繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例11．計(jì)算由擺線

相應(yīng)于的一拱,直線所圍成的圖形分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例12.設(shè)平面圖形A由

所確定的圖形A繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例13．在橢圓繞其長(zhǎng)軸旋轉(zhuǎn)成的橢球體上,沿長(zhǎng)軸方向打一圓孔,使剩下部分的體積恰好等于橢球體體積的一半,試求該圓孔的直徑.第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二(二)平行截面面積為已知的立體的體積

已知立體在過點(diǎn)軸的兩個(gè)平面之間，且垂直于軸的截面面積為為連續(xù)函數(shù)，

則第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例14.一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積.第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例15．求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積。第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例16.證明由平面圖形

繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二三、平面曲線的弧長(zhǎng)(一)平面曲線弧長(zhǎng)的概念1、定義：設(shè)A,B是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)，在弧上依次任取分點(diǎn)，并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小段都縮向一點(diǎn)時(shí),如果此折線的長(zhǎng)的極限存在,則稱此極限為曲線弧的弧長(zhǎng),并稱此曲線弧是可求長(zhǎng)的。第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二2、定理：光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的。(二)弧長(zhǎng)的求法1、參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程給出,其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù);且不同時(shí)為零。則第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例17.計(jì)算擺線的一拱的長(zhǎng)度。第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二2、直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程

給出

上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).則

第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二

同樣,若曲線弧的直角坐標(biāo)方程為

在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例18.計(jì)算曲線上相應(yīng)于從到的一段弧的長(zhǎng)度。第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二

例20．求曲線

的弧長(zhǎng)。第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例21．求曲線在的全長(zhǎng)第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二3、極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出，其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).則第三十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二例21.求阿基米德螺線

相應(yīng)于從0到一段的弧長(zhǎng).第三十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期二一、變力沿直線所做的功例1．把一帶電荷量+q的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周圍的電荷有作用力，由物理學(xué)知道，如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中，距離原點(diǎn)O為r的地方，那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為，當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從