2021-2022學年江西省景德鎮(zhèn)七年級（下）期末數學試卷

2021-2022學年江西省景德鎮(zhèn)一中重點班七年級（下）期末數學

試卷

一、填空題（共17小題，每小題3分，滿分51分）

1.（3分）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=.

2.（3分）在一個多邊形中，除了兩個內角外，其余內角之和為2002°,則這個多邊形的邊

數是?

3.（3分）一個正三角形各邊分別有3個三等分點，從這9個三等分點中任取3個，可以構

成個直角三角形.

4.（3分）如圖，RtZ\ABC中，/ACB=90°,ZCAB=20°,NAC8的平分線與外角/4BO

的平分線交于點E,連接AE,則/AEB的度數為____.

CRD

5.（3分）如圖，在RtZVIBC中，乙4cB=90°,，ZA<ZB,CM是斜邊AB的中線，將4

ACM沿直線CM折疊，點A落在點。處,如果CO恰好與AB垂直，則/A=_______°.

AD

CA

6.（3分）如圖，將兩個完全相同的含30°的直角三角板疊放在一起，已知每個三角板的面

積為8,貝（JS四邊形A8C￡>=______.

7.（3分）在鈍角△ABC中，若4B=4,8c=8,則AC的取值范圍是.

8.（3分）如圖，四邊形A8C￡>中，ZABC=ZCDA=90°,AD=CD=5,AB=1,BC=1,

則BD=_______

9.（3分）在△ABC中，D,E,尸分別是BC,AB,CA上的點，AE=AF,BE=BD,CF=

CD,AB-AC=2BD-DC,48=3,AC=4,則SMBC=.

10.（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,AO垂直8c于點￡）,BE垂直AC于點E,

AD與BE交于點P,BP=3,PE=1,貝ijSA8DP=.

11.（3分）在△ABC中，AB=10,AC=17,BC邊上的高為8,則aABC的面積為.

12.（3分）如圖，矩形ABCZ）中，AB=4,BC=6,點P是矩形ABC。內一動點，且必陽B

=XS?PCD,則PC+PD的最小值為.

2

13.（3分）如圖，ZDAC=2x,ZACB=4x,ZABC=3x,AD=BC,則

14.（3分）如圖，在矩形ABC。中，4B=6,BC=8,點E是BC邊上一點，連接AE,把

△ABE沿AE折疊，使點8落在F處，當aCEF為直角三角形時，BE=.

15.（3分）如圖，在△ABC中，是邊8C邊上中線，點M在邊AB上，點N在邊AC上,

并且/MON=90°,如果BM2+CN2=DM2+DM,AD=4,則以ABC最大為.

16.（3分）如圖，過△ABC內一點P作三邊垂線，垂足分別為。，E,F,已知AB=5,BC

=7,AC=6,BE-AD=1.則AQ+BE+CF=

17.（3分）如圖，正方形ABC。中，AB=2遍,。是BC邊的中點，點E是正方形內一動

點，0E=2,連接。E,將線段。E繞點。逆時針旋轉90°得。F,連接AE、CF.則線

段。尸長的最小值為

二、解答題.

18.如圖，4c與BO交于點E,J@LAC=DB,AB=DC.求證：NA=N。.

20.如圖，CE、CB分別是△ABC、△ACC的中線，且48=AC.求證：CD=2CE.

21.如圖，已知P是△ABC的角平分線A。上任一點，S.AB>AC,求證：PB-PC<AB-

B

DC

22.如圖，三所學校分別記作A,B,C,AB<AC<BC,體育場記作。，它是aABC的內心,

O,A,B,C每兩地之間有道路相連，一直長跑隊伍從體育場。出發(fā)，跑遍各校再回到

。點，指出哪條線路跑的距離最短，并說明理由.

23.如圖，ZVIBC中，ZA=100°,AB=AC,BE是△ABC的平分線.求證：AE+BE=BC.

角形，試求AABC各內角的度數.

25.如圖，ZVIE尸中，ZEAF=45°,AG_LEF于點G,現將△4EG沿AE折疊得到△AEB,

將aAFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和DF相交于點C.

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接8。分別交AE、A尸于點M、N,將繞點A逆時針旋轉，使4B與A。

重合，得到△A。“，試判斷線段MN、ND、?！敝g的數量關系，并說明理由.

(3)若EG=4,GF=6,BM=3?求AG、MN的長.

26.如圖，F為正方形ABC。邊CD上一點，連接4C,AF,延長AF交4c的平行線OE于

點E,連接CE,且AC=AE.求證：CE=CF.

2021-2022學年江西省景德鎮(zhèn)一中重點班七年級（下）期末數學

試卷

參考答案與試題解析

一、填空題（共17小題，每小題3分，滿分51分）

1.（3分）如圖，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=180°.

A

s^\c

【分析】首先證明NFMC=NA+NB,NMFC=ND+NE；結合△MFC的內角和等于

180°,即可解決問題.

【解答】解：延長BE,交AC于點M；

由三角形外角的性質得：ZFMC-ZA+ZB,NMFC=ND+NE,

ZFMC+ZMFC+ZC=180°,

AZA+ZB+ZC+ZD+Z￡=180°.

故答案為：180°.

2.（3分）在一個多邊形中，除了兩個內角外，其余內角之和為2002°,則這個多邊形的邊

數是14或15.

【分析】設除去的角為x°,y°,多邊形的邊數為〃，又0°<x<180°,0°<yV180°,

可得到關于"的不等式.注意〃為自然數的隱含條件.

【解答】解：由題意得2002°<（.n-2）X180°<2002°+360°,

可得一元一次不等式組：［（n-2）X180°>2002°

（n-2）X180°<2002°+360°

解得：13"旦<"<15—）

項90

又因為"是自然數，所以這個多邊形的邊數是14或15.

故答案是：14或15.

3.（3分）一個正三角形各邊分別有3個三等分點，從這9個三等分點中任取3個，可以構

成18個直角三角形.

【分析】以邊BC為例，分在邊BC上的兩點，邊BC上取一點，畫出圖形，找到構成直

角三角形的個數，即可求得三邊上的總個數.

【解答】解：如圖，在邊BC上的兩點，有直角三角形K/",直角三角形K/G,直角三角

形EGH,直角三角形EG/；

在邊BC上取一點，有直角三角形KEG,直角三角形EK/；

所以可以構成直角三角形3義（4+2）=18（個）.

故答案為：18.

4.（3分）如圖，RtZsABC中，ZACB=90a,ZCAB=20°,/ACB的平分線與外角/ABO

的平分線交于點E,連接4E,則NAE8的度數為45°.

【分析】作EFLAC交CA的延長線于F,EGLA8于G,8c交CB的延長線于H,

根據角平分線的性質和判定得到AE平分/R1G,求出/E48的度數，根據角平分線的定

義求出/ABE的度數，根據三角形內角和定理計算得到答案.

【解答】解：作E4C交C4的延長線于凡EGJ_AB于G,EH,8c交CB的延長線

于H

：CE平分NACB,BE平分NABD,

:.EF=EH,EG=EH,

:.EF=EF,XEFLAC,EGLAB,

平分NMG,

VZCAS=20°,：.ZBAF=l60°,

...NE4B=80°,

VZACB=90°,NC4B=20°,

AZABC=70°,

：.ZABH=liO°,又BE平分NAB。，

ZABE=55°,

：.ZAEB=1800-ZEAB-ZABE=45°,

故答案為：45°.

5.（3分）如圖，在Rt/XABC中，/ACB=90°,ZA<ZB,CM是斜邊A8的中線，將4

4cM沿直線CM折疊，點4落在點。處，如果CD恰好與AB垂直，則/4=30°.

【分析】根據折疊的性質可知，折疊前后的兩個三角形全等，則NO=/A,NMCD=N

MCA,從而求得答案.

【解答】解：法一、在RtZ\ABC中，ZA<ZB

是斜邊AB上的中線，

ACM=AM,

，NA=NACM,

將△ACM沿直線CM折疊，點A落在點。處

設NA=NACM=x度，

???ZA+ZACM=NCMB,

:?/CMB=2x,

如果CD恰好與AB垂直

在RtZXCMG中，

NMCG^NCMB=90°

即3元=90°

x=30°

則得到ZMCD=/BCD=ZACM=30°

根據CM=MD,

得到N0=NMCO=3O°=NA

NA等于30°.

法二、???CM平分NACO,

,ZACM=ZMCD

?/ZA+ZB=NB+NBCD=90°

：.ZA=ZBCD

：./BCD=ZDCM=NMCA=30°

:.乙4=30°

6.（3分）如圖，將兩個完全相同的含30°的直角三角板疊放在?起，已知每個三角板的面

積為8,貝1JS四邊形A8CD=5.

【分析】如圖，過點A作AHLGC于點H.設CD=AE=a,CG=EF=2a,AF=DG=43a,

由題意上可得片=坨應，求出△ABG的面積，可得結論.

23

【解答】解：如圖，過點A作A”，GC于點”.

設CD=4E="，CG=EF=2a,AF=DG=Ma,

?.1?CZ>OG=8,

2

.?」XaX愿。=8,

2

?〃2=

3

VZF=30°,ZADF=90Q,

.\AD=AAF=ADG=^3,￡/,

222

\'ZDAF=6Q°=NG+/ABG,NG=30°,

，/ABG=/G=30°,

：.AB=AG,

"：AH±BG,

：.AH=lAG=J^-a,

24

：.BH=GH=^-a,

4

：.BG=^.a,

2

.?.&4BG=L.BG?AH=工x&X近=^2^2=3,

222416

?'?S四邊形A8CO=SaCQG-5AABG=8-3=5，

故答案為：5.

7.（3分）在鈍角△ABC中，若AB=4,BC=8,則4c的取值范圍是4\/s<AC<14.

【分析】要求4c的范圍，就要確定對應角的范圍，當NB=90°時，根據勾股定理計算

4c的長度，根據鈍角大于90°和三角形兩邊之和大于第三邊，可以確定4c的范圍.

【解答】解：根據三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可以確定AC的

范圍為4VAe<14,

22=4

又因為當NB為直角時，AC=^4+8^5）

由于AABC是鈍角三角形，所以404遍，

整理得：AC的范圍為414.

故答案為：4代<AC<14.

8.（3分）如圖，四邊形ABCD中，/A8C=NC￡）A=90°,AO=CQ=5,AB=7,BC=1,

則BD=4A/2.

【分析】根據四邊形的內角和等于360°求出NBA￡?+NC=180°,把△88繞點。逆

時針旋轉90°可得等腰直角△BQE,求出BE,然后根據等腰直角三角形的性質求解即可.

【解答】解：：/A8C=NCZM=90°,

：.ZBAD+ZC=\S06,

把△BCD繞點D逆時針旋轉90°得等腰直角△8DE,

由旋轉的性質，BD=BE,NBDE=90°,

是等腰直角三角形，

'：AB=1,BC=1,

1+7=8,

：.BD=亞BE=亞X8=4芯,

22

故答案為：4A/2-

9.（3分）在△ABC中，D,E,尸分別是BC,AB,C4上的點，AE=AF,BE=BD,CF=

CD,AB'AC=2BD'DC,AB=3,AC=4,則SA4BC=6.

【分析】設8E=x,CF=y,則AE=4-x,AF=3-y,BE=BD=x,CF=CD=y,由A2

?AC=2BD?DC,AB=3,4c=4得BO?DC=6,再由AE=A凡得出關于x,y的一元二

次方程組，解方程組求出x,），，然后由勾股定理的逆定理，可以判斷△ABC是Rt4,然

后由三角形的面積公式計算即可.

【解答】解：D,E,F分別是3C,AB,C4上的點，如圖所示：

設8E=x,CF=y,則AE=3-x,AF=4-y,BE=BD=x,CF=CD=y,

\"AB'AC^2BD'DC,AB=3,AC=4,

:.BD?DC=6,

又

.f3-x=4-y

xy=6

解得：卜=2,

Iy=3

：.BC=5,

,：AB2+AC2=42+32=25=52=BC2,

，/XABC是RtA,

S^ABC——,AB*AC

2

FABC-X3X4=6.

2

故答案為：6.

10.（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,A。垂直8c于點。，8E垂直4c于點E,

AD與BE父子點P,BP=3,PE=1,則SMQP=

A

;

BDC

【分析】如圖，作輔助線，構建△BCE的中位線,利用三角形中位線定理易求PG、AG

的長度，并得EC=2OG,設。G=x,則EC=2x,利用同角的三角函數列式可求X的值，

最后由三角形面積公式進行解答.

【解答】解：如圖，過。作QGLAC于G,

A

BDC

*：AB=AC9AD±BCf

:?BD=CD,即點。是8C的中點，

VBE±AC,DG.LAC,

：.DG//BE,

：?GC=EG,

；.G。是△BCE的中位線,

:.DG=LBE,

2

即BE=2DG,

"：BP=3,PE=1,

；.BE=3+1=4,

：.DG=^BE=2,

2

'：PE//DG,

?PE=AE=1,

"DGAG~2

設EG=x,則EC=2x,AE=EG=x,

VZAPE^ZBPD,/AEP=NBDP=90°,

：.ZPAE^ZDBP,

，tanNDBP=tanNfi4E=￡_=E5_,

BEAE

...區(qū)”，

4x

，乂=&或彳=-&（舍去），

:.EG=?

：.SABDP=LGE?BP”X&X3=3巨；

222

故答案為：各巨.

2

11.（3分）在△ABC中，A8=10,AC=17,BC邊上的高為8,則△ABC的面積為36或

84.

【分析】根據勾股定理分別求出BO和C￡>,分A。在三角形的內部和A。在三角形的外

部兩種情況，根據三角形面積公式計算.

【解答】解：在RtaAB。中，根據勾股定理得，fiO=^AB2_AD2=6,

在Rtz^AC。中，根據勾股定理得，CD=^/AC2_AD2=15,

如圖1,當4）在三角形的內部時，BC=15+6=21,

所以△ABC的面積為：1x21X8=84；

2

如圖2,當AO在三角形的外部時，BC=15-6=9,

所以AABC的面積為：1X9X8=36,

2

故答案為：36或84.

12.（3分）如圖，矩形ABC。中，AB=4,BC=6,點P是矩形ABC。內一動點，且S△用B

=JLSMCD,則PC+PD的最小值為一粕_.

【分析】如圖，作PMLAO于M,作點。關于直線PM的對稱點E,連接PE,EC.設

AM=x.由PM垂直平分線段OE,推出PO=PE,PC+PD=PC+PE^EC,利用勾

股定理求出EC的值即可.

【解答】解：如圖，作PMLAD于M,作點D關于直線PM的對稱點E,連接PE,EC.設

AM=x.

???四邊形ABC都是矩形，

：.AB//CD,AB=CD=49BC=AD=6,

,*,S^PAB=Z-^S^PCD9

2

.*.AX4XX=AXAX4X(6-X),

222

?'?x=2,

：.AM=2,DM=EM=4,

在RtZXECD中，EC=VCD2+ED2=4V5>

垂直平分線段。E,

:.PD=PE,

PC+PD=PC+PE，EC,

:.PD+PC'4屆,

J.PD+PC的最小值為4遙.

13.（3分）如圖，/OAC=2x,ZACB=4x,/ABC=3x,AD^BC,則/區(qū)4D=18°

【分析1由“SAS”可證△ABCgAA”。，可得NACB=NAO//=4x,由三角形內角和定

理可求解.

【解答】解：如圖，作NC4”=工NCAD=x,交8c的延長線于”，

VZACB=4x,ZCAH^x,ZDAC=2x,

：.ZH=3x=ZDAH,

：.AD=DH,

'：AD=BC,

：.AD=BC=DH,

'：ZABC=ZH=3x,

：.AB^AH,

在△A8C和△AHD中，

fAB=AH

-ZABC=ZH>

BC=DH

：./\ABC^^AHD(SAS),

ZACB=ZADH=4x,

VZADC+ZACD+ZDAC=\SO°,

.?.2_r+4x+4x=180°,

；.x=18°,

：.ZABC=3x=54°,N4OC=4x=72°,

：.ZBAD=J2°-54°=18°,

故答案為：18°.

14.（3分）如圖，在矩形A8CC中，AB=6,BC=8,點E是BC邊上一點，連接AE,把

△ABE沿4E折疊，使點B落在尸處，當△（?￡：尸為直角三角形時，BE=3或6.

【分析】當△CEF為直角三角形時，有兩種情況：①當點尸落在矩形內部時，連接AC,

先利用勾股定理計算出AC=10,根據折疊的性質得/4FE=/B=90°,而當△廢尸為

直角三角形時，只能得到N￡FC=90°,所以點4、F、C共線，即NB沿AE折疊，使

點2落在對角線AC上的點F處，貝ijEgnEF,AB=AF=6,可計算出CF=4,設8E=x,

則EF=x,CE=8-x,然后在RtACEF中運用勾股定理可計算出x.②當點F落在AD

邊上時，此時四邊形ABEF為正方形.

【解答】解：當ACE尸為直角三角形時，有兩種情況:

①當點尸落在矩形內部時，如圖所示，

連接AC,

在RtZVLBC中，AB=6,BC=8,

：.AC=yjg2+g2=io,

由折疊的性質得，

:.NAFE=NB=90°,

當aCEF為直角三角形時，只能得到NEFC=90°,

...點A、F、C共線，即沿AE折疊，使點8落在對角線AC上的點F處，如圖,

：.EB=EF,AB=AF=6,

.,.CF=10-6=4,

設BE=x,貝ijEF=x,CE=8-x,

在RtaCEF中，

EF2+CF2=CE1,

即X1+42=(8-x)2,

解得x=3,

.?.BE=3；

②當點尸落在AD邊上時，如圖所示，

；.BE=AP=6.

綜上所述，BE的長為3或6.

故答案為：3或6.

15.(3分)如圖，在△ABC中，A。是邊8c邊上中線，點M在邊AB上，點N在邊AC上,

并且NMON=90°,如果BM2+CN2=DM2+DN2,AD=4,則SAABC最大為16.

A

M

（分析】過點B作AC的平行線交ND的延長線于E,連ME.證明△BED絲△CNZXSAS）.由

全等三角形的性質得出BE=NC.證明/A4C=90°,由直角三角形的性質可得出答案.

【解答】解：如圖，過點B作AC的平行線交NQ的延長線于E,連ME.

?：BD=DC,

：.ED=DN.

在△BED與△CNZ)中，

'BD=CD

<ZBDE=ZCDN)

ED=DN

：./\BED^/\CND(S4S).

：.BE=NC.

■:NMDN=90°,

為EN的中垂線.

:*EM=MN.

：.BIvfi+BEr=BM2+Nd=MD^+DN2=MN2=EM2,

.,.△BEM為直角三角形，NM8E=90°.

ZABC+ZACB=ZABC+ZEBC=90°.

：.ZBAC=90°,

'：AD=4,A。是邊BC邊上中線，

.\BC=8,

.*.當AO_LBC時，AABC有最大值，最大值為/x8X4=16.

故答案為：16.

16.（3分）如圖，過△ABC內一點P作三邊垂線，垂足分別為O,E,F,已知A8=5,BC

=7,AC=6,BE-AD=1.則7D+BE+CQ9.

A

mJ

【分析】連接AP,BP,CP,設AZ)=x.BE=y,CF=z.則8Q=5-x,CE=1-y,AF

=6-z.由勾股定理分別建立方程①②③，又BE-AD=y-x=1,即可得AD+BE+CF=

A(55-1)=9.

6

【解答】解：如圖，連接AP,BP,CP,

設BE=y,CF=z.則80=5-x,CE=7-y,AF=6-z.

在Rt/\PBD和RtAPBE中，BD2+PD2=PB1=BE^+PE2,

即(5-x)2+PD2=y2+PE2@,

同理可得(7-y)2+尸￡2=，+尸盧§),

(6-z)2+PF2^X1+PD2@,

①+②+③，得：(5-x)*+(7-y)2+(6-z)2—x2+Z2+y2)

/.5x+7y+6z=55,

9：BE-AD=y-x=l,

：.AD+BE+CF=x+y+z=l-(5x+7y+6z-(y-x))=A(55-1)=9,

66

故答案為：9.

17.（3分）如圖，正方形ABC。中，AB=2娓,。是8c邊的中點，點E是正方形內一動

點，0E=2,連接。E,將線段OE繞點。逆時針旋轉90°得。F,連接AE、CF.則線

段0一長的最小值為5最-2.

【分析】連接Q0,將線段。。繞點。逆時針旋轉90°得QM,連接OF,FM,OM,證

明△EDO0AFDM,可得FM=OE=2,由條件可得OM=5加,根據0F+MF20M,

即可得出OF的最小值.

【解答】解：如圖，連接。O,將線段。。繞點。逆時針旋轉90°得DM,連接。凡FM,

OM,

VZEDF=ZODM=90°,

：.NEDO=NFDM,

"：DE=DF,DO=DM,

:AEDOq4FDM（SAS）,

：.FM=OE=2,

?.,正方形A8CZ）中，AB=2娓,。是BC邊的中點,

<?C=V5）

????！ㄝ援a+（代）2=5,

OM=^52+52=5&,

：OF+MFNOM,

；.OF25&-2,

...線段OF長的最小值為5&-2.

故答案為：5&-2.

二、解答題.

18.如圖，AC與3。交于點E,iLAC=DB,AB=DC.求證：ZA=Z￡>.

AD

【分析】首先連接3C,由AC=￡)8,AB^DC,利用SSS,即可證得△ABC也△￡>口?,繼

而可證得：Z4=ZD.

【解答】證明：連接BC,

在△ABC和△OCB中，

AC=BD

<AB=DC>

BC=CB

...△ABCdDCB(555),

ZA=ZD.

【分析】先根據對頂角相等得到NAE8=/CEO,再根據全等三角形的判定方法A4S得

到AABE絲△￡)<:￡即可得到結論.

【解答】證明：在AABE與△OCE中，

VA=ZD

<AE=DE>

ZAEB=ZDEC

.?.△ABEg/XOCE(ASA),

：.AB=DC.

20.如圖，CE、CB分別是△ABC、△ACC的中線，且A8=AC.求證：CD=2CE.

【分析】延長CE到尸，使CE=E/,連接尸8,由△AEC彩4BE尸得出對應的邊角相等,

進而求證△CBFgaCBD,即可得出結論.

【解答】證明：延長CE到F,使EF=CE,連接EB.

是△ABC的中線，

；.AE=EB,

又?:NAEC=NBEF,

：.^AEC^/XBEF,(SAS)

AZA=ZEBF,AC=FB.

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB,

：.NCBD=ZA+ZACB=NEBF+NABC=NCBF；

；CB是△AOC的中線，

：.AB=BD,

又；AB=AC,AC=FB,

：.FB=BD,

又CB=CB,

：./\CBF^/\CBD(SAS),

CD=CF=CE+EF=2CE.

:r

f

F

21.如圖，已知尸是△ABC的角平分線4。上任一點，BLAB>AC,求證：PB-PC<AB-

AC.

【分析】首先作輔助線，在A8上取一點E,使AE=AC,連接PE.根據邊角邊定理判

斷△4EP四△ACP,得至UPE=PC.根據4E=4C（輔助線）與BE=AB-AE得到BE=

AB-AC.在△P8E中，根據三角形中兩邊之差小于第三邊，得至"BE>PB-PE,即BE

>PB-PC,將BE用A8-AE代入，即可證明.

【解答】證明：在AB上取一點E,使AE=AC,連接PE,

；AP為NBAC的平分線,

：.ZEAP^ZCAP,

在△斗￡P和△4CP中，

'AE=AC

<ZEAP=ZCAP，

AP=AP

.?.△AEP絲Z\ACP(SAS),

：.PE=PC,

,：AE^AC,

：.BE=AB-AE=AB-AC,

在△PBE中，BE>PB-PE,

：.PB-PC<AB-AC.

22.如圖，三所學校分別記作A,B,C,AB<AC<BC,體育場記作O,它是aABC的內心,

O,A,B,C每兩地之間有道路相連，一直長跑隊伍從體育場O出發(fā)，跑遍各校再回到

。點，指出哪條線路跑的距離最短，并說明理由.

【分析】先判斷出所跑的路線有三條，得出此三種路線所跑的路程，再判斷出△。48且

△OAB,OB'=OB,再比較三條路線中，最短的那條路線，即可得出結論.

【解答】解：路線O-A-B-C-0的距離最短；

理由：若不考慮順序，所跑的路線有三條：

第一條路線為：OfA-B-CfO（或OfC-O）,

所走的路程為OA+AB+BC+CO,

第二條路線為：OfA—C—Bf。（或。-C-A-0）,

所走的路程為OA+AC+CH+OB,

第三條路線為：OfBfAfC->"。（或C->A-C-*0）,

所走的路程為OB+AB+AC+CO,

如圖，由于AC>BC>A8,則在AC上取一點s，使4B'=AB,

...點。是△ABC的三條角平分線的交點，

：.ZOAB'=ZOAB,

在△0A8和△OAB中，

'AB，=AB

<NOAB'=ZOAB-

OA=OA

(SAS),

OB,=OB,

第一條路線的路程-第二條的路線的路程為：

COA+AB+BC+CO)-COA+AC+CB+OB)

=A8+C0-AC-BO

=AB+CO-AB,-B'C-B'O

=C0-(B'C+B'O)<0,

/.第一條路線的路程比第二條路線的路程短，

同理：第一條路線的路程比第三條路線的路程短,

所以，路線OfA-B-Cf。所跑的距離最短.

23.如圖，△ABC中，ZA=100°,AB=AC,BE是△ABC的平分線.求證：AE+BE=BC.

【分析】延長BE到F,使8F=BC,連接FC,由A8=AC,ZA=100°,得至Ij/ABC

=/ACB=40°,由于BE平分NABC,于是得到NABE=/EBC=20°,通過△人;￡：安

△尸CE,得到EF=EF',NEF'C=/F=80°,證得△ABE會△尸BE,于是得到

AE=EF',于是得到結論.

【解答】解：如圖，延長2E到F,使8F=BC,連接FC,

\'AB=AC,NA=100°,

；./A8C=NAC8=40°,

平分NABC,

；./ABE=NEBC=20°,

,:BF=BC,

.*.NF=NBCF=80°,

：.ZFCE=ZACB=40°,

在BC上取CF'=CF,連接EF',

'CF=CF'

在△FCE與CE中，，/F'CE=ZFCE

CE=CE

.?.△FCE絲CE(SAS),

：.EF=EF',NEF'C=ZF=80°,

AABF'E=100°,

AZA=ZBF'E,

'/A=NBF'E

在△ABE與AB尸E中，，ZABE=ZF/BE

BE=BE

.?.△ABE/BE(A4S),

：.AE=EF',

：.AE=EF,

AE+BE=BE+EF=BC.

24.在△ABC中，已知4B=4C,且過aABC某一頂點的直線可將△ABC分成兩個等腰三

角形，試求aABC各內角的度數.

【分析】因為題中沒有指明是過頂角的頂角的頂點還是過底角的頂點，故應該分四情況

進行分析，從而求解.

【解答】解：@'：AB=AC,當BD=CD,CD=AD,

：.NB=ZC=NBAD=ACAD,

VZBAC+ZB+ZC=180°,

.*.4NB=180°,

；.NB=45°,ZC=45°,NBAC=90°.

@'：AB=AC,AD=BD,AC=CD,

:.NB=NC=NBAD,ZCAD^ZCDA,

NC￡>4=

：.ZBAC=3ZB,

VZBAC+ZB+ZC=180°,

???5/3=180°,

???NB=36°,ZC=36°,ZBAC=108°.

@9：AB=AC,AD=BD=BC,

：.ZB=ZC,ZA=ZABDf/BDC=/C,

ZBDC=ZA+ZABD=2ZAf

：.ZABC=ZC=2ZA1

???N4+NABC+NC=180°,

???5NA=180°,

/.ZA=36°,ZC=72°,ZABC=12°.

9

@：AB=ACfAD=BD,CD=BC,

：.ZABC=ZC,NA=NA8。，NCDB=NCBD,

*/NBDC=ZA+ZABD=2ZA,

：.ZABC=ZC=3ZAf

VZA+ZABC+ZC=180°,

/.7ZA=180°,

AZA=(1^0)°,ZC=(-512)°,ZABC=(540)o

77"V

②

25.如圖，△AEF中，Z￡AF=45°,AGLEF于點G,現將△AEG沿AE折疊得到△A￡B,

將△AFG沿AF折疊得到△AFD,延長BE和QF相交于點C.

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接分別交AE、A尸于點M、N,將AABM繞點A逆時針旋轉，使