新教材人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊142-第2課時-夾角問題-教學(xué)課件

1.4空間向量的應(yīng)用1.4.2

用空間向量研究距離、夾角問題第2課時夾角問題課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．會用向量法求線線、線面、面面夾角．2．能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系．1．理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關(guān)系，會用向量方法求兩異面直線所成角．(空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關(guān)系，會用向量方法求直線與平面所成角．(空間想象，數(shù)學(xué)計算)3．理解二面角大小與兩個面法向量夾角之間的關(guān)系，會用向量方法求二面角的大小．(空間想象，數(shù)學(xué)計算)平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中______________的二面角稱為平面α與平面β的夾角．不大于90°

知識點(diǎn)1兩個平面的夾角知識點(diǎn)2空間角的向量法解法|cos〈u，n〉|

題型探究題型一利用向量方法求兩異面直線所成角

如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，試求直線EF和BC1所成的角．[分析]

建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線EF和BC1的方向向量的坐標(biāo)，求它們的夾角即得直線EF和BC1所成的角．典例1[規(guī)律方法]

1．利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟．(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系．(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)．(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角．(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角．C

[解析]

如圖，分別以C1B1、C1A1、C1C為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．令A(yù)C＝BC＝C1C＝2，則A(0,2,2)、B(2,0,2)、M(1,1,0)、N(0,1,0)．令θ為AN，BM所在直線成的角，題型二利用向量方法求直線與平面所成角

如圖所示，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．(1)證明MN∥平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值．典例2[分析]

(1)線面平行的判定定理?MN∥平面PAB．(2)利用空間向量計算平面PMN與AN方向向量的夾角?直線AN與平面PMN所成角的正弦值．[規(guī)律方法]

若直線l與平面α的夾角為θ，利用法向量計算θ的步驟如下：【對點(diǎn)訓(xùn)練】?如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．

(1)證明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直線A1C

與平面BB1C1C所成角的正弦值．[解析]

(1)取AB中點(diǎn)O，連接CO、A1B、A1O，∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是正三角形，∴A1O⊥AB，∵CA＝CB，∴CO⊥AB，∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面COA1，∴AB⊥A1C．題型三利用向量方法求兩個平面的夾角

如圖，在正方體ABEF－DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點(diǎn)，求平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值．典例3[分析]

有兩種思路，一是先根據(jù)二面角平面角及兩個平面夾角的定義，在圖形中作出二面角的平面角，然后利用向量方法求出向量夾角從而得到兩平面夾角的大??；另一種是直接求出兩個面的法向量，通過法向量的夾角求得兩平面夾角的大?。逧為PC的中點(diǎn)，M為CD的中點(diǎn)，∴EM∥PD．又∵EM?平面PAD，PD?平面PAD，∴EM∥平面PAD．∵EM∩BM＝M，EM，BM?平面BEM．∴平面BEM∥平面PAD．∵BE?平面BEM，∴BE∥平面PAD．(2)連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接PO，由對稱性知，O為BD的中點(diǎn)，且AC⊥BD．∵平面PBD⊥平面ABCD，PO⊥BD，∴PO⊥平面ABCD，PO＝AO＝1，CO＝3．易錯警示

正三角形ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B(如圖②)．在圖②中求平面ABD與平面EFD所成二面角的余弦值．典例4[錯解]

∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD⊥BD，∴取D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．[辨析]