2022年廣東省茂名市第三高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

2022年廣東省茂名市第三高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P在邊AD上，現(xiàn)有質(zhì)地均勻的粒子散落在正方形ABCD內(nèi)，則粒子落在△PBC內(nèi)的概率等于（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A根據(jù)幾何概型可知粒子落在△PBC內(nèi)的概率等于，選A.2.已知，且，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B根據(jù)題中的條件，可得為銳角，根據(jù)，可求得，而，故選B.

3.已知i是虛數(shù)單位，若則z=A．1－2i

B．2－i

C．2＋i

D．1＋2i參考答案：D4.某次測試成績滿分為150分，設(shè)名學(xué)生的得分分別為（，），（）為名學(xué)生中得分至少為分的人數(shù).記為名學(xué)生的平均成績.則（A）

（B）（C）

（D）參考答案：A略5.在邊長為的等邊中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是．參考答案：略6.已知函數(shù)f（x）=x3+（1﹣b）x2﹣a（b﹣3）x+b﹣2的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是﹣3，則不等式組所確定的平面區(qū)域在x2+y2=4內(nèi)的面積為（）A． B． C．π D．2π參考答案：B【考點(diǎn)】二元一次不等式（組）與平面區(qū)域；導(dǎo)數(shù)的幾何意義．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】根據(jù)條件求出a，b的值以及函數(shù)f（x）的表達(dá)式，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用圓的方程畫出圖形，最后利用扇形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，所以f（0）=0，即b=2．則f（x）=x3﹣x2+ax，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2﹣2x+a，因?yàn)樵c(diǎn)處的切線斜率是﹣3，即f′（0）=﹣3，所以f′（0）=a=﹣3，故a=﹣3，b=2，所以不等式組為則不等式組確定的平面區(qū)域在圓x2+y2=4內(nèi)的面積，如圖陰影部分表示，所以圓內(nèi)的陰影部分扇形即為所求．∵kOB=﹣，kOA=，∴tan∠BOA==1，∴∠BOA=，∴扇形的圓心角為，扇形的面積是圓的面積的八分之一，∴圓x2+y2=4在區(qū)域D內(nèi)的面積為×4×π=，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件求出參數(shù)a，b的是值，然后借助不等式區(qū)域求解面積是解決本題的關(guān)鍵．7.如圖，等邊三角形的中線與中位線相交于，已知是△繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是(

)A．動(dòng)點(diǎn)在平面上的射影在線段上B．恒有平面⊥平面C．三棱錐的體積有最大值D．異面直線與不可能垂直參考答案：D8.已知f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，f'（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且總有f（x）＞xf'（x），則不等式f（x）＞xf（1）的解集為（）A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（0，+∞） D．（1，+∞）參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】常規(guī)題型；轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意：x＞0時(shí)，f（x）＞xf'（x），列出不等式＜0，從而知在x＞0上單調(diào)遞減；【解答】解：由題意：x＞0時(shí)，f（x）＞xf'（x）∴xf'（x）﹣f（x）＜0?＜0?所以知：在x＞0上單調(diào)遞減；∵f（x）＞xf（1）?＞故x的取值范圍為：0＜x＜1故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式，構(gòu)造新函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)圖形特征，屬中等題．9.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A10.若x、y滿足約束條件，則的最小值為（

）A.0 B.－1 C.－2 D.－3參考答案：C【分析】畫出可行解域，畫出直線，平移直線，找到使直線在軸截距最大的點(diǎn)，把坐標(biāo)代入即可求出的最小值。【詳解】畫出可行解域如下圖：平移直線，當(dāng)經(jīng)過交點(diǎn)時(shí)，直線在軸截距最大，即有最小值，最小值為，故本題選C?！军c(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，解決此類問題的關(guān)鍵是畫出正確的可行解域.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)_______________.參考答案：

12.已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)a、b、c互不相等，且滿足f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍是．參考答案：（8，23）【考點(diǎn)】余弦函數(shù)的對稱性；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），確定a，b，c的范圍，即可得出a+b+c的取值范圍．【解答】解：作出f（x）的函數(shù)圖象，如圖：令log（x﹣3）+1=1，解得x=4．令log（x﹣3）+1=﹣1，解得x=19．設(shè)a＜b＜c，則a+b=4，4＜c＜19．∴8＜a+b+c＜23．故答案為（8，23）．13.已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中的系數(shù)相等，則＝_____________．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理J3由二項(xiàng)式定理知:的展開式中的系數(shù)為,的展開式中的系數(shù)為，于是有C解得，所以可得，故答案為.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二項(xiàng)式定理的展開式可得的展開式中的系數(shù)為,的展開式中的系數(shù)為，列的等式關(guān)系即可求解.14.已知向量=（3，1），

=（，－3），且⊥，則實(shí)數(shù)的取值為_______參考答案：1。由⊥，得，得。15.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來的一半，縱坐標(biāo)保持不變得到新函數(shù)，則的最小正周期是________．參考答案：16.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得圖象與原函數(shù)圖象重合ω最小值等于

．參考答案：3【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】函數(shù)y=sin（ωx+）的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合可判斷出是周期的整數(shù)倍，由此求出ω的表達(dá)式，判斷出它的最小值．【解答】解：∵函數(shù)y=sin（ωx+）的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合，∴=n×，n∈z，∴ω=3n，n∈z，又ω＞0，故其最小值是3．故答案為：3．17.已知命題p：?n∈N，n2＜2n，則￢p為．參考答案：?n0∈N，n02≥【考點(diǎn)】2J：命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵命題p是全稱命題，∴根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知：￢p：?n0∈N，n02≥，故答案為：?n0∈N，n02≥【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，全稱命題的否定是特稱命題，比較基礎(chǔ)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)，，（1）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a=3，且對任意的x1∈[-1，2]，總存在，使g（x1）-f（x2）=0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：（1）（2）【分析】（1）令t=x2，則t∈[1，3]，記，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=h（t）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最小值然后求解實(shí)數(shù)a的范圍．（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，記A=[1，2]，通過當(dāng)m=0時(shí)，當(dāng)m＞0時(shí)，當(dāng)m＜0時(shí)，分類求實(shí)數(shù)m的取值范圍，推出結(jié)果即可．【詳解】（1）由題意，函數(shù)，，令t=x2，則t∈[1，3]，則，要使得函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y=h（t）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?，?dāng)t∈（1，2）時(shí)，＜0；當(dāng)t∈（2，3）時(shí)，＞0，所以函數(shù)h（t）在（1，2）遞減，（2，3）遞增，從而h（t）min=h（2）=4，，h（1）=5，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，y=h（t）與y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)a的范圍為：．（2）由（1）知f（x）∈[1，2]，記A=[1，2]，當(dāng)m=0時(shí)，，顯然成立；當(dāng)m＞0時(shí)，在[-1，2]上單調(diào)遞增，所以，記，由對任意的，總存在，使成立，可得，所以且，解得，當(dāng)m＜0時(shí)，在[-1，2]上單調(diào)遞減，所以，所以且，截得，綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)取得函數(shù)的最值或值域，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．19.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且

∠ABC=60°，AB=PC=2，AP=BP=．（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．參考答案：解：（Ⅰ）如圖1所示，取AB中點(diǎn)E，連PE、CE．則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，所以PE⊥AB．PE=1，CE=，PC=2，即．由勾股定理可得，PE⊥CE．

又因?yàn)锳Bì平面ABCD，CEì平面ABCD，Ks5u且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．而PEì平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．（Ⅱ）（方法1）如圖1，在Rt△PEC中，過點(diǎn)E作EF⊥PC于點(diǎn)F，連AF．過A作平面PCD的垂線，垂足為H，連FH．因?yàn)锳E⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因?yàn)锳H⊥平面PCD，所以AH∥EF．由于AB∥平面PCD，所以A、E兩點(diǎn)到平面PCD的距離相等，故AH=EF．所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．

在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．

（方法2）以AB中點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），=（,1,0），=（,0,-1），=（0,2,0）．

設(shè)是平面PAC的一個(gè)法向量，則，即．取，可得，．

設(shè)是平面PCD的一個(gè)法向量，則，即．取，可得，．

故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．略20.已知△ABC的面積為，．（1）求AC的長；（2）設(shè)，若，求sinA．參考答案：【考點(diǎn)】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理．【分析】（1）由三角形面積公式可以得到sinB=，由余弦定理即可得到AC的長．（2）由三角恒等變換及等式得到B=．由正弦定理得到sinA=．【解答】解：（1）∵△ABC的面積為=AB?BC?sinB，．∴sinB=，∵0＜B＜π，∴B=或由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AC?BC?cosB，即AC2=1或5，∴當(dāng)B=時(shí)AC=1；當(dāng)B=時(shí)AC=．（Ⅱ）化簡得f（x）=cos2x+2sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin（+2x）．由f（B）=﹣，得sin（+2B）=﹣．由（Ⅰ）知B=或，代入上式驗(yàn)證可得B=．由，得，解得sinA=．21.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，它的長軸長，短軸長分別為，右焦點(diǎn)F（c，0），直線l：cx﹣a2=0與x軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線m與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若，求直線m的方程；（Ⅲ）過點(diǎn)P且平行于直線l的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M，求證：Q，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為（a＞），由已知解得a=，c=2，可得橢圓的方程；（Ⅱ）由（Ⅱ）可得A（3，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣3），代入橢圓方程得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0．依題意△=12（2﹣3k2）＞0，得k的范圍．設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由根與系數(shù)的位置關(guān)系可知直線PQ的方程；（Ⅲ）運(yùn)用向量的共線的坐標(biāo)運(yùn)算和韋達(dá)定理，計(jì)算化簡即可得證．【解答】（Ⅰ）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為（a＞），由已知得，解得a=，c=2，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得A（3，0），設(shè)直線PQ的方程為y=k（x﹣3），代入橢圓方程得（3k2+1）x2﹣18k2x+27k2﹣6=0，依題意△=12（2﹣3k2）＞0，得﹣＜k＜，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）則x1+x2=①x1x2=②由直線PQ的方程得y1=k（x1﹣3），y2=k（x2﹣3）于是y1y2=k2（x1﹣3）（x2﹣3）=k2[x1x2﹣3（x1+x2）+9]③因?yàn)?，所以x1x2+y1y2=0④由①②③④得5k2=1，從而k=±，所以直線m的方程為x﹣y﹣3=0或x+y﹣3=0；（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）可知x1+x2=，x1x2=，設(shè)=λ（λ＞1），即有（x1﹣3，y1）=λ（x2﹣3，y2）即x1﹣3=λ（x2﹣3），y1=λy2，設(shè)M（x1，y0），即有x12+3y02=6，即有y0=﹣y1，F(xiàn)（2，0），=（x1﹣2，﹣y1），=（x2﹣2，y2），即有y1+λy2=0，由于λ=，+=0等價(jià)為2x1x2+12﹣5（x1+x2）=0，由韋達(dá)定理代入可得2?+12﹣5?=0，則有（x1﹣2）+λ（x2﹣2）=0，故有=﹣λ，所以Q，F(xiàn)，M三點(diǎn)共線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程和