2022年上海莘城學(xué)校高二數(shù)學(xué)文測試題含解析

2022年上海莘城學(xué)校高二數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若實(shí)數(shù)滿足則的最小值是（

）

A.0

B.

C.1

D.2參考答案：A略2.用反證法證明某命題時(shí)，對其結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為（）A．都是奇數(shù)B．都是偶數(shù)C．中至少有兩個(gè)偶數(shù)D．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)10.計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的記數(shù)制，采用數(shù)字0-9和字母A-F共16個(gè)記數(shù)符號；這些符號與十進(jìn)制的數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如下表：十六進(jìn)制0123456789ABCDEF十進(jìn)制0123456789101112131415例如，用十六進(jìn)制表示：，則A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.函數(shù)的圖象如下圖，則（

）A、B、C、 D、參考答案：A4.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱線長為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．異面直線AE，BF所成的角為定值參考答案：D【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】利用證線面垂直，可證AC⊥BE；判斷A正確；根據(jù)正方體中上下面平行，由面面平行的性質(zhì)可證，線面平行，從而判斷B正確；根據(jù)三棱錐的底面面積與EF的位置無關(guān)，高也與EF的位置無關(guān)，可判斷C正確；例舉兩個(gè)特除位置的異面直線所成的角的大小，根據(jù)大小不同判斷D錯(cuò)誤．【解答】解：∵在正方體中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE?平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正確；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正確；∵EF=，∴△BEF的面積為定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO為棱錐A﹣BEF的高，∴三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故C正確；∵利用圖形設(shè)異面直線所成的角為α，當(dāng)E與D1重合時(shí)sinα=，α=30°；當(dāng)F與B1重合時(shí)tanα=，∴異面直線AE、BF所成的角不是定值，故D錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)評】本題考查了異面直線所成的角及求法，考查了線面垂直、面面平行的性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力及作圖分析能力．5.設(shè)為全集，為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.下面四個(gè)說法中，正確的個(gè)數(shù)為（）（1）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合（2）兩條直線可以確定一個(gè)平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，則M∈l（4）空間中，相交于同一點(diǎn)的三直線在同一平面內(nèi)．A．1B．2C．3D．4參考答案：A略7.函數(shù)f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．1＜a＜e B．1＜a＜eC．0＜a＜e D．e＜a＜e參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】原題意等價(jià)于方程ax=x3恰有兩個(gè)不同的解．分類討論結(jié)合函數(shù)思想求解當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=ax與y=x3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)a＞1時(shí)，y=ax與y=x3的圖象在x∈（﹣∞，0）上沒有交點(diǎn)，所以只考慮x＞0，于是可兩邊同取自然對數(shù)，得xlna=3lnx，即lna=，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，求解，利用導(dǎo)數(shù)求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax﹣x3（a＞0，且a≠1）恰好有兩個(gè)不同的零點(diǎn)∴等價(jià)于方程ax=x3恰有兩個(gè)不同的解．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=ax與y=x3的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)a＞1時(shí)，y=ax與y=x3的圖象在x∈（﹣∞，0）上沒有交點(diǎn)，所以只考慮x＞0，于是可兩邊同取自然對數(shù)，得xlna=3lnx，即lna=，令g（x）=，則，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時(shí)，當(dāng)g（x）＜0，x∈（e，+∞）時(shí)，g（x）單減且g（x）＞0．∴要有兩個(gè)交點(diǎn)，0＜lna＜g（e）=，即1＜a＜．故選：A8.在下列各圖中，兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是(

).A．(1)(2)

B．(1)(3)

C．(2)(4)

D．(2)(3)參考答案：9.過點(diǎn)A（，0）作橢圓的弦，弦中點(diǎn)的軌跡仍是橢圓，記為,若和的離心率分別為和，則和的關(guān)系是（

）。A

＝

B

＝2

C

2＝

D

不能確定

參考答案：正解：A。設(shè)弦AB中點(diǎn)P（，則B（

由+=1，+=1*=

誤解：容易產(chǎn)生錯(cuò)解往往在*式中前一式分子不從括號里提取4，而導(dǎo)致錯(cuò)誤。10.已知一個(gè)算法，其流程圖如下圖所示，則輸出結(jié)果是（

）A

3

B

9

C

27

D

81參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)在[1，＋∞)上的最大值為，則a的值為________．參考答案：當(dāng)x>時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)－<x<時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＝時(shí)，不合題意，∴12.有一批種子的發(fā)芽率為，每粒種子能成長為幼苗的概率為，則在這批種子中，出芽后的幼苗成活率為

。參考答案：0.8略13.在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線的距離是____________參考答案：1略14.已知向量,.若,則實(shí)數(shù)__________.參考答案：略15.將4名學(xué)生分配到3個(gè)學(xué)習(xí)小組，每個(gè)小組至少有1學(xué)生，則不同的分配方案共有__________種(用數(shù)字作答)．參考答案：36_略16.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M為AD的中點(diǎn)，若?=4，則?=．參考答案：首先由已知求出角A的余弦值，然后利用平面向量的三角形法則將?用梯形的各邊表示，展開分別求數(shù)量積即可．解：由已知得到cos∠A=，AB∥CD，AB=3，AD=2，CD=1，M為AD的中點(diǎn)，若?=4，則?=（）（）==2×3×+﹣1×3=；故答案為：．17.如果實(shí)數(shù)x、y滿足(x－2)2＋y2=3，則的最大值

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為求數(shù)列的通項(xiàng)

(2)設(shè)數(shù)列滿足參考答案：略19.某高校通過自主招生方式在貴陽招收一名優(yōu)秀的高三畢業(yè)生，經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩名學(xué)生進(jìn)入最后測試，該校設(shè)計(jì)了一個(gè)測試方案：甲、乙兩名學(xué)生各自從6個(gè)問題中隨機(jī)抽3個(gè)問題．已知這6道問題中，學(xué)生甲能正確回答其中的4個(gè)問題，而學(xué)生乙能正確回答每個(gè)問題的概率均為，甲、乙兩名學(xué)生對每個(gè)問題的回答都是相互獨(dú)立、互不影響的．（1）求甲、乙兩名學(xué)生共答對2個(gè)問題的概率．（2）請從期望和方差的角度分析，甲、乙兩名學(xué)生哪位被錄取的可能性更大？參考答案：（1）；（2）甲.【分析】（1）乙兩名學(xué)生共答對2個(gè)問題分為：甲2個(gè)乙0個(gè)，甲1個(gè)乙1個(gè)，甲0個(gè)乙2個(gè)，分別計(jì)算概率相加得答案.（2）分別計(jì)算兩個(gè)學(xué)生的期望和方差，選擇期望大，方差小的學(xué)生.【詳解】解：（1）由題意得甲、乙兩名學(xué)生共答對2個(gè)問題的概率：．（2）設(shè)學(xué)生甲答對的題數(shù)為，則的所有可能取值為1，2，3，，，，，，設(shè)學(xué)生乙答對題數(shù)為，則所有可能的取值為0，1，2，3，由題意知，，，，，∴甲被錄取的可能性更大．【點(diǎn)睛】本題考查了概率，數(shù)學(xué)期望，方差的計(jì)算，比較數(shù)據(jù)的優(yōu)劣性，首先考慮數(shù)學(xué)期望，再考慮方差.20.已知函數(shù)f（x）=alnx+x2+1．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時(shí)，求f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅲ）當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)f（x）的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)的最值在極值處與端點(diǎn)處取得，即可求得f（x）在區(qū)間[，e]上的最值；（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可確定函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，f（x）min=f（），即原不等式等價(jià)于f（）＞1+ln（﹣a），由此可求a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣時(shí)，，∴．∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），∴由f′（x）=0得x=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴f（x）在區(qū)間[，e]上的最值只可能在f（1），f（），f（e）取到，而f（1）=，f（）=，f（e）=，∴f（x）max=f（e）=，f（x）min=f（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，由f′（x）＞0得，∴或（舍去）∴f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增，在（0，）上單調(diào)遞減；當(dāng)a≤﹣1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)﹣1＜a＜0時(shí)，f（x）min=f（）即原不等式等價(jià)于f（）＞1+ln（﹣a）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣即aln+﹣+1＞1+ln（﹣a）整理得ln（a+1）＞﹣1∴a＞﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范圍為（﹣1，0）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21.（本小題滿分12分）設(shè)為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：（1），∴∴

∴

對于令可得，解得∴

（2）

①②

①-②得

∴

22.等比數(shù)列{an}中，已知a1=2，a4=16．（1）求