2021年江西省九江市春橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021年江西省九江市春橋中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增的是A. B.y= C. D.參考答案：A【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式考查函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，注重對(duì)重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)的考查，蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，屬于容易題.

2.設(shè)，則=A.2 B. C. D.1參考答案：C【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算（分母實(shí)數(shù)化），求得，再求．【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的計(jì)算．本題也可以運(yùn)用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)直接求解．3.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x34557y24568則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過（）A．（5，5） B．（4.5，5） C．（4.8，5） D．（5，6）參考答案：C【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】要求y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過的點(diǎn)，需要先求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)，求出橫標(biāo)和縱標(biāo)的平均值，得到樣本中心點(diǎn)，得到結(jié)果．【解答】解：由=（3+4+5+5+7）=4.8，=（2+4+5+6+8）=5，故線性回歸方程過（4.8，5），故選：C．4.點(diǎn)P（x0，y0）在圓x2+y2=r2內(nèi)，則直線和已知圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．不能確定參考答案：A【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題．【分析】先利用點(diǎn)到直線的距離，求得圓心到直線x0x+y0y=r2的距離，根據(jù)P在圓內(nèi)，判斷出x02+y02＜r2，進(jìn)而可知d＞r，故可知直線和圓相離．【解答】解：圓心O（0，0）到直線x0x+y0y=r2的距離為d=∵點(diǎn)M（x0，y0）在圓內(nèi)，∴x02+y02＜r2，則有d＞r，故直線和圓相離，直線與圓的公共點(diǎn)為0個(gè)故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系．考查了數(shù)形結(jié)合的思想，直線與圓的位置關(guān)系的判定．解題的關(guān)鍵是看圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系．5.設(shè)全集等于 （

） A． B． C． D．參考答案：D6.在中，，，，則邊長(zhǎng)

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.設(shè)集合，那么集合A中滿足條件“”的元素個(gè)數(shù)為（

）A.60 B.65 C.80 D.81參考答案：D由題意可得，成立，需要分五種情況討論：當(dāng)時(shí)，只有一種情況，即；當(dāng)時(shí)，即，有種；當(dāng)時(shí)，即，有種；當(dāng)時(shí)，即，有種當(dāng)時(shí)，即，有16種，綜合以上五種情況，則總共為：81種，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了創(chuàng)新型問題，往往涉及方程，不等式，函數(shù)等，對(duì)涉及的不同內(nèi)容，先要弄清題意，看是先分類還是先步，再處理每一類或每一步，本題抓住只能取相應(yīng)的幾個(gè)整數(shù)值的特點(diǎn)進(jìn)行分類，對(duì)于涉及多個(gè)變量的排列，組合問題，要注意分類列舉方法的運(yùn)用，且要注意變量取值的檢驗(yàn)，切勿漏掉特殊情況.8.已知如下數(shù)據(jù)：2456830406070若求出了關(guān)于的線性回歸方程為，則表中為

(

)A.50

B.55

C.60

D.65參考答案：A9.已知橢圓(a>b>0)的半焦距為c(c>0)，左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，拋物線與橢圓交于B、C兩點(diǎn)，若四邊形ABFC是菱形，則橢圓的離心率是A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=ex+4x﹣3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A．（，） B．（﹣，0） C．（0，） D．（，）參考答案：A【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f（x）=ex+4x﹣3單調(diào)遞增，運(yùn)用零點(diǎn)判定定理，判定區(qū)間．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=ex+4x﹣3∴f′（x）=ex+4當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=ex+4＞0∴函數(shù)f（x）=ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上為f（0）=e0﹣3=﹣2＜0f（）=﹣1＞0f（）=﹣2=﹣＜0∵f（）?f（）＜0，∴函數(shù)f（x）=ex+4x﹣3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（，）故選：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)A是雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈[，]，則雙曲線離心率的取值范圍是．參考答案：[，+1]【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先求出e2=，再根據(jù)α∈[，]，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．【解答】解：設(shè)左焦點(diǎn)為F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，則|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴=4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF=2S△AOF，∴r1r2═2?c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故答案為：[，+1]．12.某程序框圖如圖所示，若輸入的a，b，c的值分別是3，4，5，則輸出的y值為．參考答案：4【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】算法的功能是求a，b，c的平均數(shù)，代入計(jì)算可得答案．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求a，b，c的平均數(shù)，∴輸出y==4．故答案為：4．13.方程表示曲線C，給出以下命題：1

曲線C不可能為圓；2

若曲線C為雙曲線，則或；3

若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則；4

曲線C可能為拋物線.其中正確命題的序號(hào)是______________（把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）．參考答案：②③14.如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器放在拋物線的焦點(diǎn)處，容器由若干根等長(zhǎng)的鐵筋焊接在一起的架子支撐。已知鏡口圓的直徑為12米,鏡深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作點(diǎn)，則每根鐵筋的長(zhǎng)度為____________米.

參考答案：6.5m米略15.已知隨機(jī)變量，且，則______．參考答案：8【分析】利用二項(xiàng)分布的期望公式求得，再根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求解即可.【詳解】由，得，所,故答案為8.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式與方程公式的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.16.如圖，小明想用圖中所示的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐，已知扇形的半徑為5cm，弧長(zhǎng)是cm，那么圍成的圓錐的體積是

cm3．參考答案：17.若圓與圓有3條公切線，則參考答案：2或略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題12分）一座拋物線形的拱橋的跨度為米，拱頂離水平面米，水面上有一竹排上放有寬10米、高6米的木箱，問其能否安全通過拱橋？參考答案：解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)A（-26，-6.5），拋物線方程為3分

把A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程得P=52，

拋物線方程為8分

當(dāng)時(shí)，，能通過.12分略19.已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點(diǎn)（，）．（1）求橢圓方程；（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線OP、OQ的斜率依次為k1、k2，滿足4k=k1+k2，試問：當(dāng)k變化時(shí)，m2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）利用已知條件列出方程組求解橢圓的幾何量，得到橢圓的方程．（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韋達(dá)定理，通過直線OP、OQ的斜率依次為k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．【解答】解：（1）依題意可得，解得a=2，b=1所以橢圓C的方程是…（2）當(dāng)k變化時(shí)，m2為定值，證明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）．則x1+x2=，x1x2=…（?）

…∵直線OP、OQ的斜率依次為k1，k2，且4k=k1+k2，∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…將（?）代入得：m2=，…經(jīng)檢驗(yàn)滿足△＞0．…【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．20.已知函數(shù)f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx．（1）若y＝f（x）在x＝2處的切線與y垂直，求a的值；（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），令f'（2）＝0，解得a；（2），對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．【詳解】（1）∵f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），，∴f'（2）＝0，即．（2）∵，①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜f（1）＝0矛盾．②當(dāng)a＞0時(shí)，，令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得．（i）當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，f'（x）＜0，即f（x）遞減，∴f（x）＜f（1）＝0矛盾．（ii）當(dāng)，即時(shí)，x∈[1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，即f（x）遞增，∴f（x）≥f（1）＝0滿足題意．綜上：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值及其切線斜率，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21.如圖，在多面體中，四邊形，，均為正方形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與平面所成角的正弦值為.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.參考答案：解：（1）因?yàn)樗倪呅?，均為正方形，所以且，且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以．?）由題意易知兩兩垂直且相等，設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)，則，因?yàn)榕c平面所成角的正弦值為，為平面的一個(gè)法向量，所以與所成角的余弦值為，所以

（1），因?yàn)?，，且，所?/p>

（2），聯(lián)立（1）（2），解得，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則有即取，得．設(shè)平面的法向量為，同理可得，設(shè)二面角的平面角為，由圖知，所以，所以二面角的大小為．22.(本小題滿分12分)給定兩個(gè)命題:：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根；：對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立.如果為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：①若為真命題，則由得------