(完整版)第二章導(dǎo)數(shù)與微分(答案)

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x其次章導(dǎo)數(shù)與微分

(一)

fX0XfX0

I

x0

X

3.函數(shù)fx在點(diǎn)x0延續(xù)，是fx在點(diǎn)x0可導(dǎo)的（A）

5.若函數(shù)fx在點(diǎn)a延續(xù)，則fx在點(diǎn)a（D）

C.a

6.fxx2在點(diǎn)X2處的導(dǎo)數(shù)是（D）A.1B.0C.

-1D.不存在

7.曲線y2x35x24x5在點(diǎn)2,1處切線斜率等于（A）

A.8

B.12

C.-6

D.6

8.設(shè)yefx且fx二階可導(dǎo)，則y（D）

A.efx

BfXref

fX

￡

￡

f

X

丄

2

xC.efxfxD.e

fx

9.若fxax

e,x0

在x0處可導(dǎo)，則a，b的值應(yīng)為bsin2x,

(A)A.左導(dǎo)數(shù)存在；B.右導(dǎo)數(shù)存在；C.左右導(dǎo)數(shù)都存在1.設(shè)函數(shù)yfx，當(dāng)自變量x由x0轉(zhuǎn)變到

Xo

x時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的轉(zhuǎn)變量

fx0xB.

fx0xC.fx0

XfX0fX。x

2.設(shè)fx在xo處可，則lim

fX0B.

Xo

C.fX0

D.2fX0

A.須要不充分條件

B.充分不須要條件

C.充分須要條件

既不充分也不須要條件

4.設(shè)函數(shù)yfu是可導(dǎo)的，且u

x

2

，則d

y(C)

x2B.xfx2

C.

22

2xfxD.xfx

D.有定義

10?若函數(shù)fx在點(diǎn)Xo處有導(dǎo)數(shù)，而函數(shù)gx在點(diǎn)Xo處沒有導(dǎo)數(shù)，則Fxfxgx,Gxfxgx在x0處（A）

A?一定都沒有導(dǎo)數(shù)

B?—定都有導(dǎo)數(shù)

C.恰有一個(gè)有導(dǎo)數(shù)

D?至少一個(gè)有導(dǎo)數(shù)

11.函數(shù)fx與gx在x0處都沒有導(dǎo)數(shù)，則Fx

gx在xo處(D)

13.yarctg1

，貝Uy

x

A.一定都沒有導(dǎo)數(shù)

B.一定都有導(dǎo)數(shù)

C.至少一個(gè)有導(dǎo)數(shù)

D.至多一個(gè)有導(dǎo)數(shù)

12.已知Fx

fgx，在XX。處可導(dǎo)，則（A

）

gx都必需可導(dǎo)

B.fx必需可導(dǎo)

C.gx必需可導(dǎo)

D.

x都不一定可導(dǎo)

B.

1

1x2

C.

x2

1X2

2

x

2

x

14.設(shè)fx在點(diǎn)a處為二階可導(dǎo),h

hh

C.2fa

15.設(shè)fx在a,b內(nèi)延續(xù)，且X。a,b，則在點(diǎn)X。處（B

Afx

C.fx

16

.

設(shè)fX17

.

函數(shù)y

18

.

設(shè)函數(shù)19

.設(shè)函數(shù)的極限存在，且可導(dǎo)

的極限不存在

在點(diǎn)xa處可導(dǎo)，則

B.fx的極限存在，但不一定可導(dǎo)

D.fx的極限不一定存在

nmo

fafah

h

X1導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)X1o

fxsin2x，貝Uf—

24

yyX由方程xyexey0所確定，則y'0—1___o

1

lnx在點(diǎn)Pe,1處的切線方程y1xe。

e

(1)ysinx

21.若fx

xt22t，則巴

1/2。

yln1t

dx

t0

22.若函數(shù)yxecosx

sinx，貝Udy-x

2ecosx。

23.若fx可導(dǎo)，yfffx，則y

fffxffxf

x

24.曲線5y

23

2x

15在點(diǎn)0,1

1

處的切線方程是y1

2

5

53

o

0處的延續(xù)性與可導(dǎo)性:

研究下列函數(shù)在25.

xx0。

解:vlimsinx

x

sin0?-y

fx

f0

sinx

f0lim-

lim-

0處延續(xù)

xx

又0

x0

x0

sinx在x

lim

fxf0

sinx

f0lim-

lim

x0x0x0x

f0f0，故ysinx

在x

limx00處不行

導(dǎo)。

sinx1

x

.1xsin,x0,

1

解：Tlimxsin

x0x

，二函數(shù)在x0處延續(xù)又lim

x

1xsinx-0

xx

limsin-不存在。x0x

在x0處不行導(dǎo)。

20.曲線y

26.已知fsinx,x0

x,x0

4

0時(shí)，fX

cosx,x

1,

yln

』

4x

e1已知y

Ine

I

ncosx,x1,x

lne

ef

可以求得f01

1

4xIne

存在'求

..1x31

1x3

yln^xpx

已知2ln.1x33ln|x|

2

「11

3

x_3X2_

2Jx3

x

3

1x3

「

1

x37.x1x7xlnx

x7

17x

xlnx

1e

xlnxxxlnx

7

7，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得:

求dYx

ln7

解:

27.解:

28.解:

29.

解:

30.解:31.

解:

32.解:

1

x5ln1xInyIn|x214ln3x

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：

12x2

4」

3x

5」

x

4

x

5

x2x25Fl

33.設(shè)x2存在，求

解:dxx22

x,d2y

dx2

x24x22fx2。

(二)

1.設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)0可導(dǎo),f00，貝U

lim

xC

C.不存在

3，則lxm0

Xo

A.-3

B.6

C.-9

D.-12

3?若函數(shù)fx則m

H

h

-o3h

4.設(shè)fxx22x

1,

2,11則

A.不延續(xù)B

.延續(xù)，但不行導(dǎo)

C.延續(xù)，且有一階導(dǎo)數(shù)有隨意階導(dǎo)數(shù)

5.函數(shù)fxx

1

J

2

A.不延續(xù)B.延續(xù)不行導(dǎo)

C.延續(xù)且僅有一階導(dǎo)數(shù)

D.延續(xù)且有二階導(dǎo)數(shù)

6?要使函數(shù)

.1

sin,

x

0,

0處的導(dǎo)函數(shù)延續(xù)，則n應(yīng)取何

值？（D）

7.設(shè)函數(shù)fx有延續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且2，則極限x叫等于（D）

-1

8.設(shè)fx0的某領(lǐng)域內(nèi)有定

義,

0，且當(dāng)x0時(shí)，f

等價(jià)無窮小量,

C.f0不存在D.不能斷定f0的存在性

9.設(shè)fx為奇函數(shù)，且fX。2，則fxc(C)

A.-2C.2

10.設(shè)函數(shù)3x4，則f0(B)

B.24

C.36D.

48

11.已知x0時(shí)，ff0是x的等價(jià)無窮小量,f0f02h

h

A.-2

B.-

1C.

2D.不存在

12.若fx在x?？蓪?dǎo),在x。處（B）

A.必可導(dǎo)延續(xù)但不一定可導(dǎo)

C.一疋不行導(dǎo)不延續(xù)

13.若fu可導(dǎo)，且ysinfex，則dycosfexdxo

14.設(shè)yx是由方程ysinyx(01，常數(shù)）所定義的函數(shù)，則

siny

2

y

15.若fx在xa處可導(dǎo)，則lim

h0

fanhfamh

h

16.若

為二階可微函數(shù)

I

n

x2

的y

21

24x2

2

x2

x

22

4x4x2^2

x2x

17.已知fx

1.

2-sinx,x

0,

18.已知

asintacosttcosttsint

則

dx

-1。

dy

d2xdy2

&2

。

3a

19.

1155!

1

62

x16

15

5!

1

。

、6x20.

x2arctg-

x

0,

cX12xarctgx1,

2

x1x2

lim

fx

x0

0_,

21.已知fx

x2

e1

2

x

1,

解：x0時(shí),

x2

e2

x

2x3e

x2

x2

e4

x

2exx2

12

3

x

limx0xxim0

2

2xex

2x

3x2

2

|i2ex

lin

x0

x2

e

xm0

3x2

x2t

=2lim

t0

t

e

2lim2t01

2

X

e

2

22

.解:23

.證:

24

.證證:

Xa

g

2

a

2

X

m

a

Hm

a

HxX

g2

a

2

X

a

ga假如fx為偶函數(shù)，且f0存在,證實(shí)f0

0。

???f0

存在，

???f

0f0f

0，而

f0

..fxflim0

xt

lim

tf0rftf0lim

x0x0

t0

t

t0

t

???f0

f0，??f00。

設(shè)fx對(duì)隨意的實(shí)數(shù)論、x2有f捲x2fx1fx2，且f

1，試

fx

xfx

fxf

xfx

xlim

lim

x,fx0fxf0，可得f0

1。從而

fxlim

x0

x

x0上

..fxf0fxf0

fxlimx0

x

xfx。

25.已知yxarctgxIn、1x2，求y。

解:y1

xarctgx—In1

x

arctgx

x12x1x2

21x2

arctgx

26

.已知

yarCSinf^x2

，求八

解:y

2sinx12sinx

2sinx12sinx

2sinx

2cosx2sinxcos2sinx1

...2cos2

x

2

2sinx

3/322sinx

2sinx

27.設(shè)yax1a2xarccosax，求dy。2x|

aInax.arccosadx.1a2x

costcosttsint

sint

cost

dydx2

1

tcostt一

Xt

costtsintcosttsintcost

sintcost

sint

i-

1_v31

d2

y

232

2

1廠

dx2

t-

也

-

吋3

。

3

2

x

e，求y。

1

解:Iny—

x

In|x|

In|sinx|-In11ex

x

.1

11

cosxxey

y2xsinx21ex

一xsin

x：1

設(shè)28.y11

,xsomx1ctgx

21ex

29.設(shè)

Incostsinttcost

dxdx2

t-

3

解:dy

ax

■J

a2xarccosax

dx

Ina

2a2xlna

arccosa.1a2x

1a2xL

dx

2x

a

解:型覽dxxttcost

30.函數(shù)yyx由方程arctg-In.x12y2確定，求dy

。xdx

解；兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：

12

yx2y

丄弩2y

y，解得：y7。

1yx

2xy

xy

x

(三)

1.可微的周期函數(shù)其導(dǎo)數(shù)(A)A.一定仍是周期函數(shù)，且周期相同B.一定仍是周期函數(shù)，但周期不一定相同C.

一定不是周期函數(shù)D.不一定是周期函數(shù)

2.若fx為1,1內(nèi)的可導(dǎo)奇函數(shù)，貝Ufx(B)

A.必有1,1內(nèi)的奇函數(shù)C.必為l,l內(nèi)的非奇非偶函數(shù)

1

3.設(shè)fxxnsin(x0)且f0

B.必為l,l內(nèi)的偶函數(shù)

D.可能為奇函數(shù)，也可能為偶函數(shù)0,則fx在x0處(C)

C.僅有一階導(dǎo)數(shù)

D.可能有二階導(dǎo)數(shù)

(A)

A.

高階無窮小B.等價(jià)無窮小C.低價(jià)無

窮小D.不行比較

6.

函數(shù)yfx在某點(diǎn)處有增量x

0.2，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量的主部等于

0.8,

1

A.令當(dāng)limfxlimxnsin丄f0

0時(shí)才可微

x0

x0

x

B.在任何條件下都可微

C.當(dāng)且僅當(dāng)n2時(shí)才可微

1D.由于sin-在x

0處無定義，所以不行微

x

4.設(shè)fxxax，而a處延續(xù)但不行導(dǎo)，則fx在xa處

C)

A.延續(xù)但不行導(dǎo)

B.可能可導(dǎo)，也可能不行導(dǎo)5.若fx為可微分函數(shù)，當(dāng)

x

0時(shí)，貝U在點(diǎn)x處的ydy是關(guān)于x的

B.a1，b1D.a1，b1

內(nèi)有定義，若當(dāng)x,時(shí)，恒有fxx2，

則x0是fX的（C）

atgxb7.Iim

x0

cln12x

1cosx

2

2，其中a3

c2

0,則必有（

D)d(1

A\e)

A.b4d

B.b4d

C.a4c

D.a

4c

ln1x

8.設(shè)lim

x0

ax2X

bx22，則（A)

A.4

B.0.16

C.4

D.1.6

10.設(shè)fX在

,

內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)隨意

X1，

X2，當(dāng)X1

X2時(shí)，都有

fX1

fX2，則(D)

A.對(duì)隨意x，fx0

B.對(duì)隨意x，fx0

C.函數(shù)fx單調(diào)增強(qiáng)

D.函數(shù)fx單調(diào)增強(qiáng)

11.設(shè)fx可導(dǎo),

Fxfx1

sinx，若使F

X在x0處可導(dǎo)，則必有

(A)

A.f00

B.f00

C.f0f00

D.f0f0

C.左導(dǎo)數(shù)不存在，但右導(dǎo)數(shù)存在

D.左、右導(dǎo)數(shù)都不存在

12.設(shè)當(dāng)x

0時(shí)，exax2bx1是比x2高階的無窮小，則（A

)

bb

1o

aa

2

b

o

a

2

b

r*

a

9.設(shè)fx

233x

，

2

x,

x1

則fX在點(diǎn)x1處的(B)X1

A.左、右導(dǎo)數(shù)都存在

B.左導(dǎo)數(shù)存在，但右導(dǎo)數(shù)不存在1

A.a，b1

2C.a—，b1

213.設(shè)函數(shù)fx在區(qū)間

A?間斷點(diǎn)

B.延續(xù)而不行導(dǎo)點(diǎn)

0時(shí)，etgxex與xn是同階無窮小，則n為（C）

15.函數(shù)fx

x2x2x3x不行導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（B）A.3B.2C.1D.0

16.已知函數(shù)y

yx

在隨意點(diǎn)x處的增量yyx

2且當(dāng)x0時(shí),

1x2

是x的高階無窮小，y0

，則y1(D

)

A.2

B.

C.e刁

D.e刁

1COSc

,x017.

設(shè)fx、x其中g(shù)x是有界函數(shù)，則fx在x0處（D）

2

xgx,x0

A.極限不存在

B.極限存在，但不延續(xù)

C.延續(xù)，但不行導(dǎo)

D.可導(dǎo)

1

1

18.

在區(qū)間，內(nèi)，方程x$xpcosx0（C）

20.若fx是可導(dǎo)函數(shù)，且fxsin2sinx1，f0

4，則fx的反

21.若fx在xe點(diǎn)處且有延續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且fe2e1，則

dcos-Jx

limfe1__o

x0

dx

22.設(shè)fxx3311gx，其中g(shù)x在點(diǎn)x1處延續(xù)，且g1

6，則f1

1996o

C.

可導(dǎo)的點(diǎn)，且f00D?可導(dǎo)的點(diǎn)，且f0

14.設(shè)x

A.無實(shí)根

B.有且僅有一個(gè)實(shí)根

C.有且僅有兩個(gè)實(shí)根

D.有無窮多個(gè)實(shí)根

19.

Intdytm'則贏1

"，丄二時(shí),

n

dydxn

1n1mm1mn1n1!

函數(shù)x

y當(dāng)自變量取4時(shí)的導(dǎo)數(shù)值為

1sin

2sin1

a1

23.設(shè)fxcos—

—

x

0,1

則當(dāng)a的值為_>0

1

時(shí)

,

x1處延續(xù)，當(dāng)a的值為>2時(shí)

,1可導(dǎo)。

24.已知2

x2ex則y4024y50

25.

2小

xcos2x,

10022940

2ax

sin2xe

26.

上延續(xù)，則a-2a,

27

.

xm013xsinx

28.cosx2.2

1sin

—x2xsinx2sin21cosx2sin?o

xxx

29.曲線

1

t3

t2

2處的切線方程為

30.lim

x

2ax2a

ln2

。

31.

xe2

32.X211x220

33.xm0

x2

34.

1xtgx

35.曲線

y

?tsin2t

t在點(diǎn)(0,1)處的法線方程為y1

ecost

36

.

設(shè)函數(shù)yyx由方程Inx2yx3ysinx確定,則dx

37.limx

x

sinIn1sinln1

38.設(shè)Infxx存在,d2ydx2

解:

39.yx是由方程組

x

ey

3t22t

sint

所確定的隱函數(shù),

d2y

dx2

解:Xt6x2，即eysint0兩邊對(duì)x求導(dǎo)

eyyxsinteycostyt

eycost得:%1eysint

Xtyt(t

?dydxyteycost

Xt1eysint6t2

d2y

dx2

ddydx.dx

dtdt

eyytcosteysint1eysint6t2eyytsinteycost6t61yysint

esinte

23

1eysint6t2

2ee

o

44

40.設(shè)

ytft

其中ft具有二階導(dǎo)數(shù)，且ft

解:dy

dx

tft

41.解:d2y

dx2

fxy，其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，且其一階導(dǎo)數(shù)不等于

對(duì)方程yfxy兩邊求導(dǎo)得：y1,求豊o

dx

f'再求導(dǎo)

y1y

2

xy

1

42.設(shè)fx，且gx

1丄

x—，計(jì)算f

1

1

fx

x禾口g

x。

解:43.

x

gx

fx

1x1fx

1xx1

2“2>y

1x1x

1

2

fx1x

2

1fxx

1

1x

fxfx求

gx0

fx

x

2

設(shè)gx

x

fxInx

efxInfxe

2x

解:Inf

44

.

解:

2得6yy

fxfxxInfx

求寫

dx

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得:

3y2y2y2xy

3y2y2xy0，解得：y

2xy

3y2x2，

解得：y創(chuàng)

2

6yy2y

22

xyx

再求導(dǎo)

（其中

2xy

x

3y

45.驗(yàn)證函數(shù)y

e

X

滿足關(guān)系式

xyiy

證:

e

；x

X12、x

12、x4\x

1e4x

x4點(diǎn)3

14xex

1.x.xee

4x046.設(shè)曲線C的參數(shù)方程是求曲線C上對(duì)應(yīng)于

In2的

點(diǎn)

的切線方程。解:

tIn2時(shí),eln2eln2ln2

e

ln2

e

254

dydxtt

2eete故切線的斜率dydx

eln2

eln2

In2

3，于是所求的切線方

程為：y47.設(shè)fxax

b,

xo

X

。

為了使函數(shù)fx

于占

4

八、、

Xo處延續(xù)而且可

微，應(yīng)該如何選取系數(shù)解：由fX在點(diǎn)

a和

b?

x0處延續(xù)可知limfx

XX

limfx

XX0

ax0b,

xX0時(shí)，

2x,xx0由fX在點(diǎn)X

a,xX0

X

。

limfxlimfx，得2x0a，代入可得：bx0ax0x02x[

x0，故

XXo

xx

2

a2xo,b

Xo。

fx若xx

48.設(shè)Fx

'卄0，其中函數(shù)fx在xxo為左方可微分的，

axb,若xx0

應(yīng)該如何選取系數(shù)a和b，使函數(shù)Fx在點(diǎn)x0處延續(xù)且可微分。

解：由Fx在點(diǎn)x0處延續(xù)可知，limFxlimFx得，fx0ax0b，

xxo