《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)》單元教學(xué)分析

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（一）教學(xué)目標(biāo)

1．結(jié)合詳細(xì)情境，通過(guò)操作活動(dòng)使同學(xué)初步熟悉幾分之一和幾分之幾；會(huì)讀、寫容易的分?jǐn)?shù)；能比較容易分?jǐn)?shù)的大小；會(huì)計(jì)算容易的同分母分?jǐn)?shù)的加、減法。

2．通過(guò)操作活動(dòng)，進(jìn)一步熟悉分?jǐn)?shù)，知道把一些物體看作一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份也可以用分?jǐn)?shù)表示，能解決有關(guān)分?jǐn)?shù)的容易實(shí)際問(wèn)題。

3．感悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和辦法，進(jìn)展數(shù)感；體味分?jǐn)?shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用和價(jià)值。

（二）內(nèi)容支配及其特點(diǎn)

1．教學(xué)內(nèi)容和作用。

從整數(shù)到分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的一次擴(kuò)展。無(wú)論在意義、讀寫辦法及計(jì)算辦法上，分?jǐn)?shù)與整數(shù)都有很大的差異。相對(duì)于整數(shù)而言，分?jǐn)?shù)概念較為抽象而且有多種理解方式。分?jǐn)?shù)并非是可以通過(guò)計(jì)數(shù)活動(dòng)得到的一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)代表了兩個(gè)量關(guān)系的相對(duì)量，并且可以從部分——整體、測(cè)量、比、算子和商等多個(gè)角度加以理解。從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將要建立一個(gè)新的數(shù)概念，是對(duì)數(shù)的熟悉的一次質(zhì)的飛躍。同學(xué)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的學(xué)問(wèn)具有一定難度。因此，整套教材將分?jǐn)?shù)的教學(xué)分為兩個(gè)階段，讓同學(xué)在三年級(jí)上學(xué)期和五年級(jí)下學(xué)期分離學(xué)習(xí)。三年級(jí)上冊(cè)主要是借助操作、直觀，從“部分——整體”的角度初步熟悉分?jǐn)?shù)。支配容易的分?jǐn)?shù)大小比較和計(jì)算的目的也是為了協(xié)助同學(xué)理解分?jǐn)?shù)的含義。五年級(jí)下冊(cè)則在此基礎(chǔ)上使同學(xué)從感性熟悉升高到理性熟悉，概括出分?jǐn)?shù)的意義，并在表達(dá)“部分——整體”的意義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從測(cè)量、比和商等角度熟悉分?jǐn)?shù)的含義；探究分?jǐn)?shù)的性質(zhì)及四則運(yùn)算的辦法。另外，分?jǐn)?shù)和小數(shù)在日常生活中應(yīng)用廣泛，在三年級(jí)學(xué)校生的日常生活中也常常會(huì)碰到需要用分?jǐn)?shù)或小數(shù)舉行表達(dá)溝通并解決實(shí)際問(wèn)題的狀況。在這里支配分?jǐn)?shù)的初步熟悉不僅為三年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)小數(shù)的初步熟悉作好學(xué)問(wèn)預(yù)備，也為提高同學(xué)用數(shù)學(xué)舉行表達(dá)溝通、解決問(wèn)題提供了學(xué)問(wèn)和豐盛的機(jī)會(huì)。

本單元教材結(jié)合生活實(shí)例和詳細(xì)操作，協(xié)助同學(xué)感觸和直觀熟悉分?jǐn)?shù)的含

義，并通過(guò)容易分?jǐn)?shù)的大小比較和計(jì)算，協(xié)助同學(xué)初步建立分?jǐn)?shù)的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)奠定基礎(chǔ)。詳細(xì)內(nèi)容支配如下。

為適應(yīng)兒童的年齡特點(diǎn)，便于接受，本單元只浮現(xiàn)常見(jiàn)的分母比較小的分?jǐn)?shù)(分母普通不超過(guò)10)。在詳細(xì)編排上分為三小節(jié)。第一小節(jié)是分?jǐn)?shù)的初步熟悉，先教學(xué)熟悉幾分之一，再熟悉幾分之幾，同時(shí)結(jié)合幾分之一和幾分之幾的熟悉說(shuō)明它們的寫法和讀法并介紹分?jǐn)?shù)各部分的名稱。結(jié)合幾分之一的熟悉，學(xué)習(xí)比較分?jǐn)?shù)是1的分?jǐn)?shù)的大小，結(jié)合幾分之幾的熟悉，學(xué)習(xí)比較同分母分?jǐn)?shù)的大小。分?jǐn)?shù)大小的比較的目的在于協(xié)助同學(xué)更好地理解分?jǐn)?shù)的含義。其次小節(jié)是容易的同分母分?jǐn)?shù)加減法，借助直觀操作理解算理、把握算法，目的也是為加深理解分?jǐn)?shù)的含義。第三小節(jié)是分?jǐn)?shù)的容易應(yīng)用，讓同學(xué)學(xué)習(xí)用分?jǐn)?shù)解決一些容易的實(shí)際問(wèn)題。為此，先讓同學(xué)了解把一些物體看作一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份也可以用分?jǐn)?shù)表示，接著通過(guò)直觀操作與已經(jīng)把握的分?jǐn)?shù)含義相結(jié)合解決容易的實(shí)際問(wèn)題。

2．教材編排特點(diǎn)。

本單元教材在編排上有下面幾個(gè)特點(diǎn)。

（1）合理確定熟悉分?jǐn)?shù)的起點(diǎn)，逐步加深對(duì)分?jǐn)?shù)的熟悉。

心理學(xué)的討論表明：分?jǐn)?shù)概念的抽象性及其理解方式的多樣性，是兒童理解分?jǐn)?shù)概念的困難所在。在分?jǐn)?shù)概念的多個(gè)含義中，“部分一整體”概念處于基礎(chǔ)地位。當(dāng)把分?jǐn)?shù)理解為表示部分與整體之間分割關(guān)系的數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)a/b表示把一個(gè)整體量分成b份，選出其中的a份。在對(duì)整體的分割中，可以產(chǎn)生整體與部分的包含、部分與部分的相等以及分割的份數(shù)與每份大小之間的補(bǔ)償?shù)榷鄠€(gè)關(guān)系。

確定整體量、推斷等分、熟悉部分與整體之間的包含與補(bǔ)償關(guān)系是理解分?jǐn)?shù)的“部分一整體”含義的關(guān)鍵。因此，教材編排既考慮到分?jǐn)?shù)概念的進(jìn)展基礎(chǔ)，又兼顧同學(xué)建構(gòu)概念的熟悉特點(diǎn)，在本單元第一次熟悉分?jǐn)?shù)時(shí)，結(jié)合生活情境，借助幾何直觀和操作，從“一個(gè)物體作整體”到“多個(gè)物體作整體”，循序漸進(jìn)地加深對(duì)分?jǐn)?shù)所表達(dá)的“部分——整體”關(guān)系的熟悉。而且全部?jī)?nèi)容的支配所有圍繞這一基本含義綻開(kāi)，無(wú)論是比較大小還是容易的分?jǐn)?shù)計(jì)算，其目的不是都單純地教學(xué)大小比較和計(jì)算的辦法，而是通過(guò)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，加深對(duì)分?jǐn)?shù)含義的熟悉。

（2）加強(qiáng)用分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題的教學(xué)。

修訂后的教材在試驗(yàn)教材“分?jǐn)?shù)的初步熟悉”的基礎(chǔ)上，增強(qiáng)了第三小節(jié)“分?jǐn)?shù)的容易應(yīng)用”。支配了“把一些物體看做一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份也可以用分?jǐn)?shù)表示”的教學(xué)內(nèi)容（例1），加深了同學(xué)對(duì)分?jǐn)?shù)含義的理解，學(xué)會(huì)用容易分?jǐn)?shù)描述一些容易的生活現(xiàn)象；接著教學(xué)解決“求一個(gè)數(shù)的幾分之一或幾分之幾”的問(wèn)題（例2），讓同學(xué)利用剛剛把握的分?jǐn)?shù)的含義，結(jié)合已有的整數(shù)除法學(xué)問(wèn)解決容易的實(shí)際問(wèn)題。不僅交流了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，加深了對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，而且也增強(qiáng)了解決實(shí)際問(wèn)題的豐盛性，培養(yǎng)了同學(xué)解決問(wèn)題的能力。

（3）結(jié)合生活閱歷，借助直觀和操作熟悉分?jǐn)?shù)。

同學(xué)在以往的學(xué)習(xí)和生活中接觸分?jǐn)?shù)的機(jī)會(huì)很少，而分?jǐn)?shù)的含義、讀寫辦法、計(jì)算辦法等內(nèi)容與同學(xué)認(rèn)識(shí)的自然數(shù)又有很大差異。因此，教材編排充分考慮同學(xué)建立起一個(gè)新的概念需要較長(zhǎng)過(guò)程這一特點(diǎn)，在熟悉分?jǐn)?shù)、容易的計(jì)算和解決問(wèn)題的過(guò)程中，都注意聯(lián)系同學(xué)的生活閱歷，提供幾何直觀和操作活動(dòng)，協(xié)助同學(xué)熟悉、感悟分?jǐn)?shù)的含義，探究解決問(wèn)題的辦法。一方面，注重借助同學(xué)的生活閱歷，緊密結(jié)合詳細(xì)情境熟悉分?jǐn)?shù)。例如，單元主題圖中創(chuàng)設(shè)了“秋游戶外野餐”的場(chǎng)景，喚起同學(xué)閱歷，激發(fā)認(rèn)知矛盾，引出新知，體味分?jǐn)?shù)產(chǎn)生于生活實(shí)踐。解決問(wèn)題的教學(xué)，也是通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活情境，引導(dǎo)同學(xué)關(guān)注生活中可以用分?jǐn)?shù)表示的狀況，體味分?jǐn)?shù)在生活中的應(yīng)用。另一方面，注重借助幾何直觀，提供充分的活動(dòng)機(jī)會(huì)協(xié)助同學(xué)熟悉分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)概念具有雙重性，既有“數(shù)的特征”，也有“形的特征”。惟獨(dú)從兩個(gè)方面熟悉分?jǐn)?shù)，才干很好地理解并把握它的本質(zhì)意義。教材借助不同的實(shí)物模型（月餅、蘋果）、面積模型（長(zhǎng)方形、正方形、圓）等，

數(shù)形結(jié)合，協(xié)助同學(xué)熟悉分?jǐn)?shù)形的特征。教材還編排了分一分、折一折、涂一涂等實(shí)踐活動(dòng)，讓同學(xué)在動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦等多種表征的聯(lián)動(dòng)中體味分?jǐn)?shù)的含義。

（三）教學(xué)建議

1．注重通過(guò)多元表征之間的轉(zhuǎn)換，逐步加深對(duì)分?jǐn)?shù)的熟悉。

兒童通過(guò)不同的方式表征同一分?jǐn)?shù)概念的能力，即表征轉(zhuǎn)換能力，代表了同學(xué)對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解水平。通過(guò)多種外在的表征方式，如分割操作、畫圖、數(shù)學(xué)符號(hào)等之間的轉(zhuǎn)化活動(dòng)，可以加深同學(xué)對(duì)分?jǐn)?shù)的熟悉。在最初接觸分?jǐn)?shù)時(shí)，先是從“行為”（平均分物體）入手，再通過(guò)圖形表征熟悉分?jǐn)?shù)，最后抽象出分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)符號(hào)。教學(xué)時(shí)要充分考慮“行為”“圖形”“符號(hào)”等表征方式的關(guān)系，努力做到“有來(lái)有回”。協(xié)助同學(xué)既能讀懂操作過(guò)程和圖示，會(huì)用符號(hào)表示；又能按照符號(hào)，用操作活動(dòng)和圖示舉行解釋。例如，熟悉幾分之一，先利用教材創(chuàng)設(shè)的

詳細(xì)情境，在4次平均分物活動(dòng)中給出分?jǐn)?shù)的“符號(hào)”，分離用“”

表示；然后，舉行變化“拿正方形紙折一折，表示出它的”則是按照給出的符號(hào)回溯操作活動(dòng)。在“有來(lái)”又“有回”的過(guò)程中，使“平均分”“分的是誰(shuí)就是誰(shuí)的幾分之幾”兩重意思的理解得到深入。老師可適當(dāng)增強(qiáng)“回”的過(guò)程，

如“想一個(gè)像這樣的分?jǐn)?shù)，用圖形紙表示出來(lái)”。讓同學(xué)充分經(jīng)受這樣的過(guò)程，建立起“行為（圖示）”與“符號(hào)”之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，協(xié)助同學(xué)逐步地理解分?jǐn)?shù)含義。

2．借助多種直觀模型和操作，理解分?jǐn)?shù)的含義。

同學(xué)對(duì)分?jǐn)?shù)的抽象理解過(guò)早或過(guò)晚都不利于同學(xué)的進(jìn)展。一方面，在分?jǐn)?shù)初步熟悉階段，同學(xué)的活動(dòng)要與直觀模型緊密結(jié)合。一開(kāi)頭需要利用不同的實(shí)物模型（月餅、蘋果）、面積模型（長(zhǎng)方形、正方形、圓），使同學(xué)對(duì)分?jǐn)?shù)有一個(gè)詳細(xì)的熟悉，并不急于抽象分?jǐn)?shù)的意義。除實(shí)物模型、面積模型外，還可適當(dāng)采納集合模型、數(shù)線模型，豐盛同學(xué)的熟悉表象，為同學(xué)全面理解分?jǐn)?shù)的含義提供多種直觀支持，避開(kāi)思維僵化。

另一方面，要為同學(xué)提供動(dòng)手操作、自立思量與合作溝通的素材。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，是同學(xué)觀看、猜想、試驗(yàn)、操作、自立思量與合作溝通的過(guò)程。教學(xué)中要依據(jù)教材，為同學(xué)提供大量學(xué)習(xí)的素材，讓同學(xué)在動(dòng)手活動(dòng)中體驗(yàn)、熟悉分?jǐn)?shù)。如“分一分”“折一折”“涂一涂”“圈一圈”“數(shù)一數(shù)”等，完成這些動(dòng)手操作，需要老師提前布置、預(yù)備必備的素材。尤其在熟悉“1”是一些物體如何用分?jǐn)?shù)表示時(shí)，由于一些物體組成的整體被平均分以后，每份里的物體都可以用整數(shù)表示它的個(gè)數(shù)，同學(xué)對(duì)用分?jǐn)?shù)表示“部分一整體”的關(guān)系感到不習(xí)慣。教學(xué)中，要通過(guò)剪一剪、涂一涂、擺一擺等多種操作活動(dòng)，循序漸進(jìn)體味整體與部分的關(guān)系，初步形成熟悉：與“1”是一個(gè)物體是相同的，平均分成幾份分母就是幾，取其中的幾份分子就是幾，取幾份就有幾個(gè)1份那么多。

3．重視主體參加，培養(yǎng)幾何直觀。

《標(biāo)準(zhǔn)（2022）》在課程目標(biāo)“數(shù)學(xué)思量”中首次明確提出“初步形成幾何直觀”的目標(biāo)。幾何直觀是指，借助于見(jiàn)到的（或想象出來(lái)的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的討論對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）舉行直接感知、整體掌握的能力。雖然同學(xué)的幾何直觀有先天的成分，但是高水平的幾何直觀的養(yǎng)成，卻是主要依靠于后天。老師不僅要注重通過(guò)示范讓同學(xué)去感觸幾何直觀的價(jià)值，更應(yīng)當(dāng)鼓舞同學(xué)樂(lè)觀利用各種圖形去直觀分析和解決問(wèn)題，堆積利用圖示學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的閱歷，在幾何直觀的樂(lè)觀嘗試中主動(dòng)地感觸幾何直觀的價(jià)值。即讓同學(xué)作為一個(gè)樂(lè)觀參加者，充分經(jīng)受幾何直觀的過(guò)程，進(jìn)而真實(shí)